第一部分同步練習
　　第8章空間解析幾何與向量代數
　　8.1知識要點
　　8.1.1向量的概念及線性運算
　　1.向量及其表示
　�。�1）向量：既有大小又有方向的量稱為向量，記為a.向量的大小稱為向量的模,記作‖a‖或|a|.
　�。�2）向量的表示：向量在幾何上可用有向線段來表示，以點M為起點，點N為終點的有向線段是一個向量，記為MN.數學上研究與起點無關的自由向量.
　�。�3）向量的坐標與模長：在空間直角坐標系下，設點M的坐標為(a1,b1,c1)，點N的坐標為(a2,b2,c2)，則向量MN的坐標為(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，該向量的模長為
　　|MN|=(a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2．
　　（4）方向余弦：向量a=(ax,ay,az)的方向余弦為
　　cosα=ax|a|,cosβ=ay|a|,cosγ=az|a|．
　　方向余弦滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1．
　　2.向量的運算
　　圖8.1
　�。�1）加法與減法．向量的加減法滿足平行四邊形法則，如圖8.1所示：
　　AB+AD=AC，AD-AB=BD．
　　設向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，則a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz).
　�。�2）向量的數乘．設向量a=(ax,ay,az)，λ為實數，則λa=(λax,λay,λaz).
　�。�3）向量a與b的數量積為a·b=|a|·|b|·cosθ，式中θ為向量a與b的夾角.設向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，則a·b=axbx+ayby+azbz.
　�。�4）向量a與b的向量積為a×b=|a|·|b|·sinθ·ec，其中θ為向量a與b的夾角，ec為同時垂直于a與b的向量，向量a，b，ec成右手系；|a×b|等于以a和b為鄰邊的平行四邊形面積.
　　設向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，則
　　a×b=ijk
　　axayaz
　　bxbybz=ayaz
　　bybz,azax
　　bzbx,axay
　　bxby．
　　*（5）向量a，b，c的混合積為［a,b,c］=a×b×c．設向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)，則
　　a×b×c=axayaz
　　bxbybz
　　cxcycz．
　　|a×b×c|等于以a,b和c為邊的平行六面體的體積.
　　3.向量間的關系
　　設a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)均為非零向量.
　　（1）向量a=b的充分必要條件為ax=bx,ay=by,az=bz.
　�。�2）cosθ=a·b|a||b|，式中θ為向量a與b的夾角.
　�。�3）射影表示式為：當a≠0時，a·b=|a|Prjab；當b≠0時，a·b=|b|Prjba.
　　（4）a與b平行的充要條件是axbx=ayby=azbz．
　�。�5）a與b垂直的充要條件是axbx+ayby+azbz=0．
　�。�6）向量a，b，c共面的充要條件為
　　axayaz
　　bxbybz
　　cxcycz=0．
　　8.1.2曲面及其方程
　　曲面的一般方程為
　　F(x,y,z)=0或z=f(x,y)等.
　　（1）球面：一般方程為x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0，�；癁闃藴史匠�
　　(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2，
　　其中(x0,y0,z0)為球心;R為半徑.
　�。�2）旋轉曲面：F(y,z)=0
　　x=0繞y軸旋轉一周所得曲面為F(y,±z2+x2)=0，繞z軸旋轉一周所得曲面為F(±y2+z2,z)=0；類似可得其他坐標平面上的曲線繞同一坐標平面內的坐標軸旋轉一周所得曲面的方程.
　�。�3）柱面：方程F(x,y)=0表示母線平行于z軸，準線為F(x,y)=0
　　z=0的柱面；方程F(y,z)=0表示母線平行于x軸，準線為F(y,z)=0
　　x=0的柱面；方程F(z,x)=0表示母線平行于y軸，準線為F(z,x)=0
　　y=0的柱面.
　　（4）常見二次曲面的標準方程
　　橢圓錐面x2a2+y2b2=z2；橢球面：x2a2+y2b2+z2c2=1；
　　單葉雙曲面：x2a2+y2b2-z2c2=1；雙葉雙曲面：x2a2-y2b2-z2c2=1；
　　橢圓拋物面：x2a2+y2b2=z；雙葉拋物面：x2a2-y2b2=z．
　　8.1.3空間曲線及其方程
　�。�1）兩張曲面的交線為曲線．其一般方程為F(x,y,z)=0
　　G(x,y,z)=0．
　�。�2）參數式方程為
　　x=x(t),
　　y=y(t),
　　z=z(t).
　　這里為t參數．
　�。�3）空間曲線在坐標平面上的投影
　　設l:F(x,y,z)=0
　　G(x,y,z)=0，消去z，得H(x,y)=0，則曲線H(x,y)=0
　　z=0為曲線l在xOy面上的投影．在其余面上的投影方法類似．
　　8.1.4平面及其方程
　　平面與三元一次方程一一對應.
　　1.平面的點法式方程
　　過點(x0,y0,z0)，以非零向量r=(A,B,C)為法向量的平面方程為A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
　　2.平面的一般式方程
　　在點法式方程中，令D=-(Ax0+By0+Cz0)，得到形如Ax+By+Cz+D=0的方程.
　　3.平面的截距式方程
　　平面在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a,b,c，當abc≠0時，平面的方程為xa+yb+zc=1.
　　4.平面的三點式方程
　　設Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)為平面上不共線的三點，則有平面方程
　　x-x1y-y1z-z1
　　x2-x1y2-y1z2-z1
　　x3-x1y3-y1z3-z1=0.
　　5.兩個平面之間的關系
　　設平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)為平面的法向量；平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)為平面的法向量.
　�。�1）平行：π1∥π2�趎1∥n2�趎1=λn2(λ≠0)�趎1×n2=0�贏1A2=B1B2=C1C2；
　�。�2）垂直：π1⊥π2�趎1⊥n2�趎1·n2=0�贏1A2+B1B2+C1C2=0；
　　（3）相交：A1A2=B1B2=C1C2不成立；
　　（4）重合：A1A2=B1B2=C1C2=D1D2.
　　6.兩平面的夾角
　　設平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)為平面的法向量；平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)為平面的法向量.θ為兩平面的夾角，則
　　cosθ=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21A22+B22+C22.
　　7.點到平面的距離公式
　　點P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為
　　d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2．
　　8.兩個平行平面之間的距離公式
　　設平面π1:Ax+By+Cz+D1=0，平面π2:Ax+By+Cz+D2=0，其中r=(A,B,C)為這兩個平面的法向量.則兩個平面之間的距離為
　　d=|D1-D2|A2+B2+C2．
　　8.1.5直線及其表示
　�。�1）直線的一般式方程：兩張平面交于一條直線，得直線方程
　　A1x+B1y+C1z+D1=0
　　A2x+B2y+C2z+D2=0.
　�。�2）直線的點向式方程（標準式方程）：過點P(x0,y0,z0)，方向為τ=(m,n,p)的直線方程為
　　x-x0m=y-y0n=z-z0p.
　　（3）直線的參數式方程：點向式方程中，令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t，得
　　x=x0+mt,
　　y=y0+nt,
　　z=z0+pt,
　　其中t為參數．
　�。�4）兩條直線之間的關系
　　設直線l1:x-x1m1=y-y1n1=z-z1p1，其中s1=(m1,n1,p1)為直線的方向向量；直線l2:x-x2m2=y-y2n2=z-z2p2，其中s2=(m2,n2,p2)為直線的方向向量.
　�、倨叫校簂1∥l2�趕1∥s2�趕1=λs2(λ≠0)�趕1×s2=0�趍1m2=n1n2=p1p2；
　�、诖怪保簂1⊥l2�趕1⊥s2�趕1·s2=0�趍1m2+n1n2+p1p2=0.
　�、蹆芍本�的夾角：記θ為兩直線的夾角，則
　　cosθ=|m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21m22+n22+p22.
　�。�5）點到直線的距離：直線L的方向向量為τ，P為L上一點，則點Q到直線L的距離為
　　d=|PQ×τ||τ|．
　�。�6）兩條異面直線間的距離：M1為直線L1上一點，M2為直線L2上一點，L1與L2的方向分別為τ1與τ2，則直線L1和L2的公垂線長
　　d=|P1P2·(τ1×τ2)||τ1×τ2|．
　�。�7）直線與平面的關系
　　設平面π:Ax+By+Cz+D=0，其中n=(A,B,C)為平面的法向量，直線l:x-x0m=y-y0n=z-z0p，其中s=(m,n,p)為直線的方向向量.
　　①平行：π∥l�趎⊥s�趎·s=0�贏m+Bn+Cp=0；
　�、诖怪保害小蚻�趎∥s�趎=λs(λ≠0)�趎×s=0�贏m=Bn=Cp；
　�、壑本�在平面上：n·s=0，且Ax0+By0+Cz0+D=0.
　�。�8）過直線l：A1x+B1y+C1z+D1=0
　　A2x+B2y+C2z+D2=0的平面束方程是
　　λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0
　　或
　　A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0，
　　其中λ和μ為參數.
　　注第二個式子中不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0.
　　8.2典型例題分析
　　8.2.1題型一向量代數的相關問題
　　例8.1若a=4m-n,b=m+2n,c=2m-3n,式中|m|=2,|n|=1,(m,n)=π2,化簡表達式a·c+3a·b-2b·c+1.
　　解a·c+3a·b-2b·c+1
　　=(4m-n)·(2m-3n)+3(4m-n)·(m+2n)-2(m+2n)·(2m-3n)+1
　　=16|m|2+9|n|2+1=16×4+9×1+1=74.
　　例8.2設a,b為兩個非零向量，λ為非零常數，若向量a+λb垂直于向量b，則λ等于（）.
　�。ˋ）a·b|b|2；（B）-a·b|b|2；（C）1；（D）a·b.
　　解所給向量為抽象向量，宜用向量運算公式．如果a+λb垂直于向量b，因此應有(a+λb)·b=0，整理得a·b+λb·b=0，即
　　a·b+λ|b|2=0，
　　由于b為非零向量，因而應有λ=-a·b|b|2，故應選（B）.
　　例8.3設A=2a+b,B=ka+b,其中|a|=1，|b|=2，a⊥b，問k為何值時,A與B為鄰邊的平行四邊形面積為6.
　　解由于
　　A×B=(2a+b)×(ka+b)=(2-k)(a×b)，
　　平行四邊形面積為A×B的模.所以
　　6=|A×B|=|2-k|·|a‖b|sin(a,b)=|2-k|·2,
　　即有k-2=±3,所以
　　k1=5,k2=-1.
　　8.2.2題型二空間曲線與曲面的相關問題
　　例8.4求旋轉拋物面z=x2+y2與平面y+z=1交線在xOy平面上投影方程.
　　解從曲線方程z=x2+y2
　　y+z=1中消去z，得曲線向xOy平面得投影柱面方程x2+y2+y=1.于是曲線在xOy平面得投影曲線的方程為
　　x2+y+122=54
　　z=0.
　　例8.5求由上半球面z=4-x2-y2和錐面z=3(x2+y2)所圍成立體在xOy面上的投影.
　　解由方程z=4-x2-y2和z=3(x2+y2)消去z得到x2+y2=1.這是一個母線平行于z軸的圓柱面，這恰好是半球面與錐面的交線C關于xOy面的投影柱面，因此交線C在xOy面上的投影曲線為
　　x2+y2=1
　　z=0.
　　這是xOy面上的一個圓，于是所求立體在xOy面上的投影，就是該圓在xOy面上所圍的部分x2+y2≤1.
　　例8.6求直線L:x=1-2t
　　y=3+t
　　z=2-3t在三個坐標面上的投影.
　　解在三個坐標面上的投影分別為
　�。�1）在xOy平面上：x=1-2t
　　y=3+t
　　z=0；
　�。�2）在xOz平面x=1-2t
　　y=0
　　z=2-3t；
　�。�3）在yOz平面上x=0
　　y=3+t
　　z=2-3t.
　　8.2.3題型三平面方程的求解
　　例8.7求通過三平面2x+y-z=0,x-3y+z+1=0和x+y+z-3=0的交點,且平行于平面x+y+2z=0的平面方程.
　　解所求平面平行于x+y+2z=0,所以該平面的法向量為(1,1,2).三平面的交點為
　　2x+y-z-2=0
　　x-3y+z+1=0
　　x+y+z-3=0,
　　解得x=1,y=1,z=1.所以所求平面為
　　(x-1)+(y-1)+2(z-1)=0，
　　即x+y+2z-4=0.
　　例8.8一平面通過兩點M1(1,1,1)，M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z-4=0，求它的方程.
　　解由已知條件知，向量M1M2=(-1,0,-2)與平面x+y+z-4=0的法向量n=(1,1,1)的向量積M1M2×n即為所求平面的法向量
　　M1M2×n=ijk
　　-10-2
　　111=(2,-1,-1)，