第3章耦合微帶線

　　3.1概述

　　第1章主要對(duì)單根均勻微帶線的特性和基本參量進(jìn)行了討論，并且曾經(jīng)指出，由于微帶線本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及高次波型的影響，微帶電路各部分之間有可能存在耦合，因而降低了電路的性能。如果我們適當(dāng)?shù)剡x取微帶線的參量，使高次波型不能存在，因此抑止了那些雜散的、無規(guī)律的耦合，而充分利用有規(guī)律的且其特性可以控制的耦合，則可以利用它來構(gòu)成各種耦合微帶線元件，其電性能和結(jié)構(gòu)都很適合微帶電路的要求�，F(xiàn)在，這種元件已廣泛應(yīng)用于濾波器和定向耦合器中。因此本章將討論耦合微帶線的基本特性和等效電路，為以后章節(jié)討論有關(guān)元件設(shè)計(jì)時(shí)打下一個(gè)基礎(chǔ)。

　　圖3.1耦合微帶線

　　圖3.1是耦合微帶線的結(jié)構(gòu)。兩根相同參量的微帶線相互隔開距離s平行排列，即構(gòu)成了耦合微帶線。這彼此耦合的兩根線也并非參量必須相同，在帶狀線元件中，某些情況下是不同的； 但在微帶線元件中，以相同情況為主，因此在下面均按相同微帶線的耦合來進(jìn)行分析。

　　上面說過，我們需要的是有規(guī)律、可以控制的耦合，這種耦合就是TEM波的耦合，或類似靜電、靜磁的耦合。更通俗地說，就是通過兩根線之間的互電容和互電感進(jìn)行耦合。如圖3.2所示的那樣，整個(gè)一對(duì)耦合線，成了彼此之間具有分布互電容和互電感的分布參數(shù)系統(tǒng)。圖3.3則表示出耦合線的等效電路，其中的分布互電容和分布互電感分別表示兩根線之間的電耦合和磁耦合。

　　圖3.2微帶線之間的電耦合和磁耦合

　　圖3.3耦合微帶線的等效電路

　　耦合微帶線上的電壓和電流的分布遠(yuǎn)比單根線的情況復(fù)雜，因?yàn)閱胃鶄鬏斁�是孤立的分布參數(shù)系統(tǒng)，被激勵(lì)后得到單一的電壓波和電流波； 而耦合微帶線除了也是分布參數(shù)外，還具有彼此間的耦合，因此兩根線上的電壓波和電流波有相互影響。例如，兩根耦合線中的一根受到信號(hào)源激勵(lì)時(shí)，其一部分能量將通過分布參數(shù)的耦合逐步轉(zhuǎn)移到另一根線上，因?yàn)檫@個(gè)轉(zhuǎn)移過程是在整個(gè)耦合長(zhǎng)度上連續(xù)地進(jìn)行，還受著各口所接負(fù)載的影響，并且被耦合線還將通過線間的耦合，又把部分能量“反轉(zhuǎn)移”回到*根線。因此耦合線上的電壓電流分布規(guī)律，將是相當(dāng)復(fù)雜的。怎樣從復(fù)雜的耦合線問題中，找到較簡(jiǎn)單解決的方法，使之便于設(shè)計(jì)耦合線元件，關(guān)于非正弦波通過線性電路的問題，在這方面給我們以啟發(fā)。一個(gè)復(fù)雜的周期振蕩波形，根據(jù)諧波分析的方法，可分解成一系列的基波和諧波振蕩分量之和； 而線性電路對(duì)一個(gè)總的信號(hào)的響應(yīng)，等于其各個(gè)分量各自響應(yīng)的總和。線性電路對(duì)諸諧波分量的響應(yīng)是很容易求出的，迭加后就得到對(duì)復(fù)雜波形的總響應(yīng)。這種把復(fù)雜的事物分解成各個(gè)簡(jiǎn)單的問題來逐個(gè)加以解決的辦法，在

　　解決耦合微帶線問題時(shí)，也是行之有效的。這就是目前廣泛應(yīng)用的所謂“奇偶模參量法”。

　　圖3.4耦合微帶線段

　　耦合微帶線包括相互耦合的兩根微帶線，共有四個(gè)引出口，是一個(gè)典型的四口網(wǎng)絡(luò)，如圖3.4所示�，F(xiàn)在首先要解決的是，當(dāng)對(duì)任意一個(gè)口（例如1口）以信號(hào)源加以激勵(lì)時(shí)，通過長(zhǎng)度為l的線間耦合，如何求得主線和輔線（即不接信號(hào)源的線）的各個(gè)引出口的響應(yīng)？此時(shí)，考慮到耦合線結(jié)構(gòu)的上下對(duì)稱性，如果在1、4兩口輸入一對(duì)相互對(duì)稱的信號(hào)（例如兩個(gè)相同的電壓U），或者是一對(duì)相互反對(duì)稱的信號(hào)（例如兩個(gè)幅度相等、相位相反的電壓U與-U），則由于耦合線上電磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性，對(duì)偶模來說，兩根線的電場(chǎng)是偶對(duì)稱分布的，對(duì)于奇模，則是奇對(duì)稱分布。總而言之，從電磁場(chǎng)的圖形來說，是完全相同的，這就使上下兩部分可在中心線上對(duì)稱分開，只需研究一半即可。于是四口網(wǎng)絡(luò)的問題就可作為二口網(wǎng)絡(luò)來研究，比較簡(jiǎn)單地就能得到結(jié)果。我們把上述兩種激勵(lì)情況分別稱為偶對(duì)稱激勵(lì)和奇對(duì)稱激勵(lì)，或稱奇偶模激勵(lì)。當(dāng)然，奇偶模激勵(lì)只是一種特殊情況，在一般情況下往往并不是奇偶模激勵(lì)。但是在1、4口上，任意一對(duì)輸入電壓U1、U4，總可以分解成一對(duì)奇偶模分量，因而使U1等于兩分量之和，U4等于兩分量之差。如以U+表示等幅等相的偶對(duì)稱激勵(lì)電壓（偶模分量），U-表示等幅反相激勵(lì)的電壓分量（奇模分量），則

　　U1=U++U-

　　U4=U+-U-(3.1)

　　因而得到

　　U+=U1+U42

　　U-=U1-U42(3.2)

　　式（3.2）說明了任意一對(duì)輸入電壓U1和U4總可分解成一對(duì)U+和U-分量。在特殊情況下，當(dāng)U4=0，相應(yīng)于只在1口上接信號(hào)源激勵(lì)時(shí)，則U+=（U1+0）/2=U1/2，U-=（U1-0）/2=U1/2，即其奇偶模分量相等。

　　必須指出，奇偶模激勵(lì)時(shí)，耦合線上的狀況及其參量是不相同的。因此，在分解成奇偶模分量以后，必須用奇偶模各自的參量進(jìn)行電路分析，*后再把結(jié)果疊加而得到耦合線的解，其具體過程將在以后進(jìn)行討論。

　　還應(yīng)指出，并非只對(duì)耦合微帶線才采取奇偶模的分析方法，對(duì)所有具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的四口網(wǎng)絡(luò)（例如以后要提到的分支線定向耦合器）以及部分三口網(wǎng)絡(luò)（例如以后要提到的三線功率分配器），都可應(yīng)用此方法，從而使分析過程大大簡(jiǎn)化。

　　3.2均勻介質(zhì)耦合微帶線奇偶模激勵(lì)下的微分方程

　　上節(jié)曾經(jīng)提到，應(yīng)用奇偶模分析時(shí)，可以使過程簡(jiǎn)化。下面就來看耦合微帶線工作于奇偶模激勵(lì)狀態(tài)下的特性以及奇偶模參量和線間耦合參量之間的關(guān)系。

　　由于耦合微帶線系工作于部分充填介質(zhì)的情況，其奇偶模工作狀態(tài)比較復(fù)雜。為此，作為一個(gè)特例，我們先考慮均勻介質(zhì)的情況（即全空間是單一介質(zhì)），就是把介質(zhì)基片移去后的空氣耦合微帶線，然后再討論加入非均勻介質(zhì)所引起的影響。

　　在單根微帶線中，可以解傳輸線方程（或稱長(zhǎng)線方程）求得其基本特性和求出其基本參量，如特性阻抗、傳播常數(shù)等。

　　在耦合微帶線中．也可用類似方法研究其特性。在這里，首先假定以下條件：

　�。�1) 線上為TEM波，即線間耦合等同于靜電和靜磁耦合。可以用互電容和互電感表示。其他各種高次波型的雜散耦合可以忽略不計(jì)；

　　（2） 兩根微帶線的參量相同，結(jié)構(gòu)對(duì)稱；

　�。�3） 微帶線完全置于空氣中，因此系工作于均勻介質(zhì)狀態(tài)；

　�。�4） 微帶線的損耗可忽略不計(jì)；

　　（5） 耦合微帶線只工作于偶模（或稱同相型）及奇模（或稱反相型）的工作狀態(tài)。

　　參照?qǐng)D3.3，給出下列耦合微帶線的參量：

　　Co、Lo為兩根耦合微帶線相隔無限遠(yuǎn)時(shí)，每根線的分布電容和分布電感，即相當(dāng)于單根微帶線的分布電容、分布電感。

　　C、L為一根微帶線的旁邊有另一相同微帶線與之耦合、但未被激勵(lì)情況下的單根線的分布電容和分布電感。C、L雖然也是單根線的分布電容、分布電感，但由于另一根線的影響（因?yàn)榱硪桓�線的存在，顯然使電磁場(chǎng)的分布變形），和該線單獨(dú)存在時(shí)的相應(yīng)參量Co、Lo自然有所不同。

　　Cm為兩根微帶線之間的耦合分布電容或互分布電容，表示兩線間的電場(chǎng)耦合。

　　Lm為兩根微帶線的耦合分布電感或互分布電感，表示兩線之間的磁場(chǎng)耦合。

　　CmC=KC稱為電容耦合系數(shù)。

　　LmL=KL稱為電感耦合系數(shù)。

　　根據(jù)上面給出的參量，并考慮到耦合線工作于奇偶模情況，可寫出耦合線微分方程如下：

　　�礥1�祕(mì)+L�礗1�祎+Lm�礗2�祎=0

　　�礗1�祕(mì)+C�礥1�祎-Cm�礥2�祎=0

　　�礥2�祕(mì)+L�礗2�祎+Lm�礗1�祎=0

　　�礗2�祕(mì)+C�礥2�祎-Cm�礥1�祎=0(3.3)

　　圖3.5耦合線上電壓電流

　　正方向的規(guī)定

　　其中，U1、I1、U2、I2分別為線1和線2上的電壓和電流，如圖3.5所示。z為沿線方向的坐標(biāo)。在上述微分方程中，Lm及Cm前面的符號(hào)相反，這是因?yàn)殡婑詈虾痛篷詈暇哂邢喾吹男再|(zhì)。例如對(duì)于偶模，如對(duì)線1、2上的電壓、電流規(guī)定相同的正方向，則由磁耦合的特點(diǎn)，i2對(duì)時(shí)間變化率在線1上產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)，和i1對(duì)時(shí)間變化率在線1上本身產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)同方向，故兩者取相同的符號(hào)； 而電壓U2通過耦合電容Cm產(chǎn)生一流入線1的位移電流，U1本身通過線1自電容產(chǎn)生一流出線1的分路電流，二者方向正好相反。因此，在方程組（3.3）的（2)(4）式中，兩位移電流方向彼此相反，上述關(guān)系對(duì)奇模也是一樣。

　　在考慮到耦合線只工作于偶模和奇模時(shí)，線1和線2的電壓、電流有下列關(guān)系

　　U1U2=I1I2=±1（3.4)

　　其中，比值1對(duì)應(yīng)于偶模，比值-1對(duì)應(yīng)于奇模。在此種情況下，求方程式（3.3）的特解時(shí)，考慮到式（3.4）所表示的兩線間電壓、電流之間的關(guān)系，以及KC、KL的定義，則方程(3.3）可簡(jiǎn)化為

　　�礥�祕(mì)+L（1±KL）�礗�祎=0

　　�礗�祕(mì)+C（1�篕C）�礥�祎=0(3.5)

　　和單根傳輸線的微分方程相比，只是方程后項(xiàng)的系數(shù)有了改變。對(duì)于偶模，分別以L(1+KL)及C(1-KC）代替原來的L、C； 對(duì)于奇模，則分別以L(1-KL）及C(1+KC）代替原來的L、C。

　　在式（3.5）中，用類似于單根傳輸線微分方程的求解過程，可得出對(duì)奇偶模的入射波分量和反射波分量以及相應(yīng)的相位常數(shù)和特性阻抗，它們分別為

　　k±=ωLC（1±KL）（1�篕C）(3.6)

　　在式(3.6)中括弧內(nèi)取上面符號(hào)得到k+，為偶模的相位常數(shù)； 取下面符號(hào)得k-，為奇模的相位常數(shù)。于是根據(jù)相速vφ=ωk的關(guān)系，可求得奇偶模相速為

　　v±φ=1LC（1±KL）（1�篕C）(3.7)

　　同樣也可求得奇偶模的特性阻抗，通常分別以Z0e（偶模）和Z0o（奇模）表示，它們分別為

　　Z0e=LC·1+KL1-KC

　　Z0o=LC·1-KL1+KC（3.8)

　　從式（3.8）可知，由于奇偶模是不同的激勵(lì)，故此時(shí)每根線上的行波電壓和行波電流情況不同，因而所得出的奇偶模特性阻抗也不同。在式（3.7）中，由于事先假定耦合線工作于TEM波的情況，故對(duì)于空氣介質(zhì)，奇偶模的相速均應(yīng)等于光速，亦即

　　v+φ=v-φ=c（3.9)

　　為了滿足式（3.9），在式（3.7）中，只有當(dāng)KL=KC=K才有可能，亦即空氣耦合微帶線的電容耦合系數(shù)和電感耦合系數(shù)兩者應(yīng)該相等。

　　此時(shí)式（3.7）成為

　　v±φ=c=1LC（1-K2）(3.10)

　　與此相應(yīng)，奇偶模的特性阻抗為

　　Z0e=LC·1+K1-K=Z′01+K1-K(3.11)

　　Z0o=LC·1-K1+K=Z′01-K1+K(3.12）

　　其中，Z′0=L/C，為考慮到另一根耦合線影響時(shí)的單根線特性阻抗，它和孤立單線的特性阻抗Z0=L0/C0是不同的�，F(xiàn)在考慮C0和C、L0和L以及Z0和Z′0之間的關(guān)系。

　　由于孤立單線的相速為vφ=1/L0C0=c，應(yīng)和式（3.10）得出的奇偶模相速相同，因此有

　　L0C0=LC（1-K2）(3.13)

　　而根據(jù)磁場(chǎng)分布的特點(diǎn)，當(dāng)存在另一根線的耦合時(shí)，由于該線一般并非導(dǎo)磁體，其磁場(chǎng)分布圖形受到影響不大，故可認(rèn)為

　　L0≈L(3.14)

　　而電容的變化較大，因?yàn)閷?dǎo)體對(duì)電場(chǎng)的分布影響比較顯著，因而得

　　C=C01-K2(3.15)

　　故有

　　Z′0=LC=L0C0（1-K2）=Z01-K2(3.16)

　　因此奇偶模特性阻抗Z0o、Z0e又為

　　Z0e=Z′01+K1-K=Z0（1+K）(3.17）

　　Z0o=Z′01-K1+K=Z0（1-K）(3.18）

　　以上分別得出了Z0、Z′0，Z0e、Z0o四個(gè)不同的特性阻抗之間的關(guān)系。

　　將式（3.17）和式（3.18）聯(lián)立求解，得

　　Z0e·Z0o=Z′20(3.19)

　　及

　　K=Z0e-Z0oZ0e+Z0o（3.20)

　　此兩式表明了Z0e、Z0o、Z′0及耦合系數(shù)K之間的關(guān)系，是十分重要的。式(3.19）說明了奇偶模特性阻抗雖然隨耦合情況而變，但其乘積應(yīng)等于存在另一根線的影響時(shí)的單線特性阻抗的平方。式(3.20）則更進(jìn)一步說明了耦合系數(shù)和奇偶模特性阻抗的關(guān)系。由此可知，將耦合線分解成奇偶模，不僅使分析過程簡(jiǎn)化，而且的確說明了用奇偶模的特性參量是可以說明耦合特性的。式（3.20)表示當(dāng)耦合越緊時(shí)，Z0e和Z0o之間的差值應(yīng)越大； 反之則應(yīng)越小。當(dāng)耦合十分微弱，因而K→0時(shí)，則Z0o=Z0e。再考慮到式（3.19），并注意當(dāng)K→

　　0時(shí)，Z′0=Z0，因而Z0o=Z0e=Zo。也就是說，當(dāng)兩根微帶線相距較遠(yuǎn)，以致耦合相當(dāng)微弱時(shí)，其奇偶模特性阻抗值就相互接近，并趨向于孤立單根微帶線的特性阻抗。

　　根據(jù)第1章中所指出的特性阻抗和分布電容的關(guān)系式（1.3)，奇偶模特性阻抗又可表為

　　Z0e=1v+φC0e(3.21)

　　Z0o=1v-φC0o(3.22)

　　其中，v+φ、v-φ分別為偶奇模相速，C0e、C0o則分別為偶、奇模激勵(lì)時(shí)的單根線的分布電容。

　　3.3非均勻介質(zhì)的耦合微帶線

　　前節(jié)分析了均勻介質(zhì)（空氣介質(zhì)）的耦合微帶線情況。對(duì)于實(shí)際的微帶線，由于存在介質(zhì)基片而屬于非均勻介質(zhì)狀態(tài)。這時(shí)微帶線橫截面空間分成空氣及介質(zhì)兩部分，我們應(yīng)考慮由此引起的影響。在討論單根微帶線時(shí)，曾提出過有效介電常數(shù)εe的概念，它表示了介質(zhì)對(duì)微帶的有效影響，并由εe可直接求得相速。對(duì)于耦合微帶線，也可采用此概念，但耦合微帶線和單根微帶線有所區(qū)別。εe說明了電場(chǎng)在介質(zhì)中和在空氣中分布的相對(duì)比值。對(duì)于耦合微帶線，其奇偶模電場(chǎng)分布很不相同（這一點(diǎn)在下節(jié)要講到），介質(zhì)基片的引入對(duì)電場(chǎng)的影響也不相同，如仍采用有效介電常數(shù)這一參量，則相應(yīng)于奇偶模的情況應(yīng)有不同的值εeo和εee，因此奇偶模的相速就不會(huì)相等，即

　　v+φ=cεee(3.23)

　　v-φ=cεeo(3.24)

　　其中，εee、εeo分別為偶奇模的有效介電常數(shù)。

　　因v+φ≠v-φ，故從式（3.6)，已不能推出KL=KC的關(guān)系，亦即KL≠KC。此時(shí)已不再存在一個(gè)統(tǒng)一的耦合系數(shù)K，而應(yīng)分別考慮電感耦合和電容耦合兩種情況。同時(shí)也不能用式(3.20）表示出KL、KC對(duì)Z0e、Z0o的關(guān)系。但如把奇偶模參量稍加改變，則仍可建立起它們之間的聯(lián)系。假設(shè)令C0o(1）和C0e(1）分別為空氣介質(zhì)時(shí)的奇偶模分布電容，C0o(εr）和C0e（εr）分別為引入相對(duì)介電常數(shù)為εr的介質(zhì)時(shí)的奇偶模分布電容，則在有介質(zhì)基片存在時(shí)，其奇偶模特性阻抗為

　　Z0e=1v+φC0e（εr）(3.25)

　　Z0o=1v-φC0o（εr）(3.26)

　　此時(shí)KL和空氣介質(zhì)的情況無差別，因?yàn)橐�入電介質(zhì)時(shí)，對(duì)磁場(chǎng)分布毫無影響。故求KL時(shí)仍可按空氣線考慮。如在式（3.20）中，按式（1.6）考慮到空氣微帶線的奇偶模特性阻抗和奇偶模分布電容C0o(1)、C0e(1）的關(guān)系Z0e=1cC0e（1）及Z0o=1cC0o（1）,則KL可表示成

　　KL=LmL=C0o（1）-C0e（1）C0o（1）+C0e（1）(3.27)

　　仿照式（3.27），也可用奇偶模分布電容來表示存在介質(zhì)基片的耦合微帶線的電容耦合系數(shù)KC，但應(yīng)該以C0o（εr）和C0e(εr）代替C0o(1)、C0e(1),C0o(εr)、C0o(εr)分別表示介質(zhì)不均勻時(shí)的奇偶模分布電容。

　　KC=CmC=C0o（εr）-C0e（εr）C0o（εr）+C0e（εr）（3.28）

　　式(3.27)和式(3.28）表示了介質(zhì)不均勻的耦合微帶線的耦合參量和奇偶模參量的關(guān)系。由于對(duì)一定的介質(zhì)基片，在不同的耦合線尺寸參量時(shí)，可計(jì)算出C0o(1)、C0e(1)、C0o（εr）、C0e（εr）（下節(jié)要討論到），故可分別算出KL及KC。由于C0o（εr）=εe0C0o（1），C0e（εr）=εeeC0e（1）而εeo-≠εee，故KL和KC也不相同。圖3.6和圖3.7畫出了εr=9.6時(shí)，KL、KC對(duì)耦合微帶線尺寸參量的關(guān)系曲線。

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