目錄
第1章 線性方程組的消元法與矩陣的初等變換 1
1.1 n元線性方程組的消元法 1
1.1.1 二元、三元線性方程組的消元法 1
1.1.2 n元線性方程組的消元法 3
1.2 矩陣及其初等變換 5
1.2.1 矩陣的概念 5
1.2.2 矩陣的初等變換 6
綜合復(fù)習(xí)題1 10
第2章 行列式 12
2.1 二、三階行列式 12
2.1.1 二階行列式 12
2.1.2 二階行列式 13
2.2 n階行列式 15
2.2.1 排列與逆序 15
2.2.2 n階行列式的定義 16
2.2.3 對(duì)換 18
2.3 行列式的性質(zhì) 20
2.4 行列式的計(jì)算 30
2.5 克拉默法則 37
綜合復(fù)習(xí)題2 41
第3章 矩陣 45
3.1 矩陣的概念和運(yùn)算 45
3.1.1 號(hào)|例 45
3.1.2 矩陣的運(yùn)算 46
3.1.3 矩陣的轉(zhuǎn)置 52
3.2 幾種特殊矩陣及性質(zhì) 54
3.2.1 對(duì)角矩陣 54
3.2.2 三角矩陣 56
3.2.3 對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣 57
3.2.4 方陣的行列式 57
3.2.5 伴隨矩陣 59
3.3 逆矩陣 61
3.4 分塊矩陣 69
3.4.1 分塊矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 71
3.4.2 分塊對(duì)角矩陣 73
3.4.3 上(下)三角分塊矩陣 75
3.4.4 按行列分塊及其應(yīng)用 76
3.5 初等短陣 79
3.5.1 初等矩陣 79
3.5.2 利用初等矩陣求逆矩陣 81
3.6 矩陣的秩 86
綜合復(fù)習(xí)題3 91
第4章 線性方程組 94
4.1 線性方程組的解 94
4.2 向量組及其線性組合 102
4.2.1 n維向量的概念 102
4.2.2 向量的運(yùn)算 102
4.2.3 向量組的線性組合 103
4.2.4 向量組的等價(jià) 105
4.3 向量組的線性相關(guān)性 107
4.3.1 向量組的線性相關(guān)性的概念 107
4.3.2 向量組的線性相關(guān)性的判定 108
4.3.3 向量組的線性相關(guān)性的若干定理 110
4.4 向量組的秩 114
4.4.1 向量組的最大無(wú)關(guān)組 114
4.4.2 向量組的秩 115
4.4.3 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 115
4.5 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 119
4.5.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 119
4.5.2 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 124
綜合復(fù)習(xí)題4 128
第5章 特征值與特征向量 132
5.1 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性 132
5.1.1 內(nèi)積及其性質(zhì) 132
5.1.2 向量的長(zhǎng)度與性質(zhì) 133
5.1.3 正交向量組 133
5.1.4 施密特正交化方法 134
5.1.5 正交矩陣與正交變換 135
5.2 方陣的特征值與特征向量 137
5.2.1 引例——下個(gè)月的心情如何？ 137
5.2.2 特征值與特征向量的概念 138
5.2.3 特征值與特征向量的計(jì)算 138
5.2.4 特征值與特征向量的性質(zhì) 140
5.3 相似矩陣 矩陣的對(duì)角化 143
5.3.1 相似矩陣的定義和性質(zhì) 143
5.3.2 矩陣的相似對(duì)角化 144
5.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣 149
5.4.1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量 149
5.4.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化理論 150
5.4.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化方法 150
綜合復(fù)習(xí)題5 154
第6章 二次型 157
6.1 二次型及其矩陣表示 合同變換和合同矩陣 157
6.1.1 二次型及其矩陣表示 157
6.1.2 線性變換 160
6.1.3 矩陣的合同 161
6.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 163
6.2.1 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 163
6.2.2 拉格朗日配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 165
6.2.3 初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 167
6.3 慣性定理二次型的有定性 170
6.3.1 慣性定理和規(guī)范形 170
6.3.2 二次型的有定性的概念 172
6.3.3 二次型的有定性的判別法 173
綜合復(fù)習(xí)題6 178
第7章 線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 180
7.1 投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型 180
7.1.1 價(jià)值型投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型 180
7.1.2 模型的平衡方程組 181
7.1.3 直接消耗系數(shù) 183
7.1.4 平衡方程組的解 184
7.1.5 完全消耗系數(shù) 187
7.2 線性規(guī)劃模型 189
7.2.1 問(wèn)題的提出 189
7.2.2 線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法 191
7.2.3 線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形 192
7.2.4 單純形法 193
附錄A 大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo) 197
實(shí)驗(yàn)1 行列式與矩陣 197
實(shí)驗(yàn)2 矩陣的秩與向量組的最大無(wú)關(guān)組 201
實(shí)驗(yàn)3 解線性方程組 203
實(shí)驗(yàn)4 線性方程組的應(yīng)用 205
實(shí)驗(yàn)5 矩陣的方冪和矩陣的特征值的應(yīng)用 209
附錄B 習(xí)題參考答案 215