適讀人群 :本書可作為高等工科院校各專業(yè),尤其是自動控制、通信、電子信息、機械工程、地球物理勘探、地球物理測井等本科生的專業(yè)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教材,也可供科技、工程技術(shù)人員參考閱讀.
本書在內(nèi)容的選擇上力圖通俗易懂,密切與專業(yè)聯(lián)系,包括復(fù)變函數(shù)和積分變換2個部分共8章,包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)及其應(yīng)用、共形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換等.每章后精心選擇了大量難度適中的習(xí)題,書后附有參考答案.書末附有傅里葉變換簡表和拉普拉斯變換簡表,便于讀者查閱使用.
前言
復(fù)變函數(shù)與積分變換是運用復(fù)變函數(shù)的理論知識解決微分方程和積分方程等實際問題的一門基礎(chǔ)課程,是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的重要理論基礎(chǔ).本書根據(jù)教育部高等院校復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的基本要求,依據(jù)工科數(shù)學(xué)《復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)大綱》,并結(jié)合本學(xué)科的發(fā)展趨勢,在積累多年教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上編寫而成.復(fù)變函數(shù)具有嚴謹且優(yōu)美的理論體系,在應(yīng)用方面有著獨到的作用,它既能簡化計算,又能體現(xiàn)明確的物理意義,在許多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用,如電氣工程、通信與控制、信號分析與圖像處理、流體力學(xué)、地質(zhì)勘探與地震預(yù)報等工程技術(shù)領(lǐng)域等.通過本課程的學(xué)習(xí),不僅可以掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基礎(chǔ)理論及工程技術(shù)中的常用數(shù)學(xué)方法,同時還可以為后續(xù)有關(guān)課程的學(xué)習(xí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).
基于全國高等院校普遍壓縮學(xué)時的大環(huán)境,本書利用有限的學(xué)時對復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)及其應(yīng)用、共形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換等內(nèi)容作了較為系統(tǒng)的介紹.在基本概念的引入盡可能做到深入淺出,突出其物理意義;基本理論的推導(dǎo)循序漸進,適合工科專業(yè)的特點;基本方法的闡述簡潔明了,富有啟發(fā)性,以期達到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的目的.為了使學(xué)生更好地理解復(fù)變函數(shù)的方法與應(yīng)用,提高學(xué)生掌握教學(xué)內(nèi)容并提升自身實際應(yīng)用能力,我們選擇了較多的典型例題.為使理論嚴謹完善,我們適當增加了些超出教學(xué)大綱的內(nèi)容,這部分的內(nèi)容在書中以“☆”作標注,可供有關(guān)專業(yè)選用.本書內(nèi)容較多,但采用不同編排方法,以適應(yīng)不同的專業(yè)和學(xué)校、不同的學(xué)時要求.本書可以適用于32~48學(xué)時等不同層次的教學(xué)要求.
本書是作者多年教學(xué)的一些心得體會,由馮建中任主編,李小飛、朱智慧、胡中波任副主編.其中第1、3、4、7、8章由馮建中編寫;第5章由李小飛編寫;第2章、本書的大部分習(xí)題采集和整理及部分圖稿由朱智慧完成;第6章由胡中波編寫.全書由長江大學(xué)何先平教授和趙天玉教授主審,由馮建中統(tǒng)稿.在審稿過程中,趙教授身體有恙仍堅持通讀全部書稿,提出了很多中肯的、建設(shè)性的修改意見,向兩位審稿教授表示敬意與謝忱,并預(yù)祝趙教授早日康復(fù).在編寫的過程中得到了長江大學(xué)教務(wù)處的大力支持與資助,長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院各位同仁對本書的完成做出了很大的貢獻,在此表示衷心感謝.本書中引用了參考文獻中的眾多內(nèi)容以及例題、習(xí)題,在此謹向各位作者表示感謝.
本書寫作期間,恰逢2017年春節(jié),河南老家的父親已是惡性腫瘤晚期,含著眼淚將父母接到荊州,一起渡過這說不清味道的新春佳節(jié).本書完成之時,父親已在天國.父愛如山,愿父親一路走好,天堂沒有病痛!
限于作者自身水平,書中疏漏及不妥之處在所難免,故懇請讀者不吝賜教批評指正,以期日后進一步修改完善.
編者
2017年2月于長江大學(xué)
目錄
第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)()
1.1復(fù)數(shù)的概念及運算()
1.1.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算()
1.1.2復(fù)數(shù)的幾何表示()
1.1.3復(fù)數(shù)的三角表示與指數(shù)表示()
1.1.4復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)球面()
1.1.5復(fù)數(shù)的乘冪與方根()
1.2復(fù)平面上的點集()
1.2.1復(fù)平面上點集的基本概念()
1.2.2區(qū)域、曲線()
1.3復(fù)變函數(shù)()
1.3.1復(fù)變函數(shù)的概念()
1.3.2復(fù)變函數(shù)的極限()
1.3.3復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性()
第2章解析函數(shù)()
2.1解析函數(shù)的概念()
2.1.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分()
2.1.2解析函數(shù)的概念()
2.2解析函數(shù)的充要條件()
2.3初等函數(shù)()
2.3.1指數(shù)函數(shù)()
2.3.2對數(shù)函數(shù)()
2.3.3乘冪ab與冪函數(shù)()
2.3.4三角函數(shù)與雙曲函數(shù)()
2.3.5反三角函數(shù)()
第3章復(fù)變函數(shù)的積分()
3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念()
3.1.1復(fù)變函數(shù)積分的定義()
3.1.2復(fù)積分的存在條件及計算()
3.1.3復(fù)積分的性質(zhì)()
3.2柯西古薩基本定理與復(fù)合閉路定理()
3.2.1柯西古薩基本定理()
3.2.2復(fù)合閉路定理()
3.3原函數(shù)與不定積分()
3.4柯西積分公式()
3.5解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)()
3.6調(diào)和函數(shù)及其與解析函數(shù)的關(guān)系()
第4章級數(shù)()
4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)()
4.1.1復(fù)數(shù)列的極限()
4.1.2復(fù)數(shù)項級數(shù)()
4.1.3復(fù)變函數(shù)項級數(shù)()
4.2冪級數(shù)()
4.2.1冪級數(shù)的斂散性()
4.2.2冪級數(shù)的運算和性質(zhì)()
4.3泰勒級數(shù)()
4.3.1泰勒定理()
4.3.2一些初等函數(shù)的泰勒展開式()
4.4洛朗級數(shù)()
4.4.1雙邊冪級數(shù)()
4.4.2洛朗展開定理()
4.4.3函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)的方法()
第5章留數(shù)及其應(yīng)用()
5.1孤立奇點()
5.1.1孤立奇點的分類()
5.1.2解析函數(shù)極點級別的判斷方法()
5.1.3函數(shù)在窮孤立奇點的性質(zhì)()
5.2留數(shù)及其計算()
5.2.1留數(shù)與留數(shù)定理()
5.2.2留數(shù)的具體計算()
5.2.3窮遠點處留數(shù)()
5.3留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用()
5.3.1形如∫2π0R[cosθ,sinθ]dθ的計算()
5.3.2形如∫+∞-∞R(x)dx積分的計算()
5.3.3形如∫+∞-∞R(x)eiaxdx(a>0)積分的計算()
5.3.4其他綜合實例()
第6章共形映射()
6.1共形映射的概念()
6.1.1解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義()
6.1.2共形映射的概念()
6.2分式線性映射()
6.2.1分式線性映射的概念()
6.2.2分式線性映射的性質(zhì)()
6.3唯一決定分式線性映射的條件()
6.4幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射()
6.4.1冪函數(shù)w=zn()
6.4.2指數(shù)函數(shù)w=ez()
第7章傅里葉變換()
7.1傅里葉積分與傅里葉變換()
7.1.1傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式()
7.1.2非周期函數(shù)的傅里葉積分()
7.1.3傅里葉積分存在定理()
7.1.4傅里葉積分的幾種形式()
7.1.5傅里葉變換()
7.2單位脈沖函數(shù)與頻譜函數(shù)()
7.2.1單位脈沖函數(shù)δ(t)的定義及性質(zhì)()
7.2.2周期函數(shù)的頻譜()
7.2.3非周期函數(shù)的頻譜()
7.3傅里葉變換的性質(zhì)()
7.4卷積與卷積定理()
7.4.1卷積的定義及性質(zhì)()
7.4.2卷積定理()
7.4.3相關(guān)函數(shù)()
7.4.4傅里葉變換綜合舉例()
第8章拉普拉斯變換()
8.1拉普拉斯變換的概念()
8.1.1拉普拉斯變換的定義()
8.1.2拉普拉斯變換的存在定理()
8.1.3周期函數(shù)的拉普拉斯變換()
8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)()
8.3拉普拉斯逆變換的概念()
8.4卷積與卷積定理()
8.4.1拉普拉斯變換意義下的卷積概念()
8.4.2拉普拉斯變換意義下的卷積定理()
8.5拉普拉斯變換的應(yīng)用()
習(xí)題()
習(xí)題答案()
附錄()
附錄Ⅰ傅里葉變換簡表()
附錄Ⅱ拉普拉斯變換簡表()
參考文獻()