本書是《有向幾何學》系列成果之二。在《平面有向幾何學》等研究的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地、廣泛地運用有向面積法和有向面積定值法，對平面有關(guān)問題進行研究，得到了一系列的有關(guān)三角形、多邊形和多角形有向面積的定值理，揭示了這些定理與經(jīng)典數(shù)學問題、數(shù)學定理和一大批數(shù)學競賽題之間的聯(lián)系，使這些經(jīng)典數(shù)學問題、數(shù)學定理和數(shù)學競賽題得到了推廣、證明或加強，較為系統(tǒng)、深入地闡述了平面有向面積的基本理論、基本思想和基本方法。它對開拓數(shù)學的研究領(lǐng)域，揭示事物之間本質(zhì)的聯(lián)系，探索數(shù)學研究的新思想、新方法具有重要的理論意義；對豐富幾何學各學科，以及相關(guān)數(shù)學學科的教學內(nèi)容，促進大學和中學數(shù)學教學內(nèi)容改革的發(fā)展具有重要的現(xiàn)實意義；此外，有向幾何學的研究成果和研究方法，對數(shù)學定理的機械化證明也具有重要的應(yīng)用和參考價值。
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目錄
第1章 多邊形有向面積公式 1
1.1 多邊形面積的概念與性質(zhì) 1
1.1.1 多邊形 (多角形) 的基本概念 1
1.1.2 多邊形面積的基本概念 2
1.1.3 三角形面積公式與性質(zhì) 3
1.1.4 多邊形面積公式與性質(zhì) 5
1.2 三角形的有向面積 7
1.2.1 三角形有向面積的概念與性質(zhì) 7
1.2.2 三角形有向面積公式的簡單應(yīng)用 10
1.3 多邊形的有向面積 20
1.3.1 多邊形有向面積的概念與性質(zhì) 20
1.3.2 多邊形面積與有向面積的簡單應(yīng)用 23
1.3.3 矢量形式的多邊形有向面積公式與應(yīng)用 28
第2章 多邊形有向面積公式的應(yīng)用 33
2.1 三角形有向面積公式在數(shù)學證明中的應(yīng)用 33
2.1.1 三角形有向面積公式在幾何定理證明中的應(yīng)用 33
2.1.2 三角形有向面積公式在定值定理證明中的應(yīng)用 39
2.1.3 三角形有向面積公式在三角公式證明中的應(yīng)用 44
2.1.4 三角邊形有向面積公式在不等式證明中的應(yīng)用 45
2.2 多邊形有向面積公式在幾何定理證明中的應(yīng)用 48
2.2.1 多邊形有向面積公式在定值問題證明中的應(yīng)用 48
2.2.2 多邊形有向面積公式在面積問題和數(shù)學競賽題證明中的應(yīng)用 53
2.3 有向面積公式在共線定理證明中的應(yīng)用 56
2.3.1 平面上多點共線的充要條件 56
2.3.2 平面上多點共線充要條件的應(yīng)用 57
第3章 定比分點多邊形有向面積公式與應(yīng)用 65
3.1 定比分點三角形有向面積公式與應(yīng)用 65
3.1.1 定比分點三角形的概念 65
3.1.2 定比分點三角形有向面積公式 65
3.1.3 定比分點三角形有向面積公式的應(yīng)用 67
3.2 多邊形定比分點多邊形有向面積公式與應(yīng)用 76
3.2.1 定比分點多邊形 (多角形) 的基本概念 77
3.2.2 定比分點四邊形有向面積公式與應(yīng)用 78
3.2.3 對角線定比分點六邊形有向面積公式與應(yīng)用 84
3.2.4 對角線定比分點四邊形有向面積公式 85
3.3 六邊形定比分點多邊形有向面積公式與應(yīng)用 86
3.3.1 六邊形三對對頂點連線的中點三角形有向面積公式與應(yīng)用 87
3.3.2 六邊形中一頂點為定比分點的邊三角形有向面積公式與應(yīng)用 89
第4章 定比分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 93
4.1 多邊形定比分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 93
4.1.1 定比分點線三角形的概念 93
4.1.2 四邊形邊三角形和對角線定比分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 93
4.1.3 完全四邊形對角線定比分點線三角形有向面積公式與應(yīng)用 98
4.1.4 三角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 101
4.2 多角形定比分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 103
4.2.1 四角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 103
4.2.2 四角形定比分點線三角形和對角線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 107
4.2.3 五角形對角線定比分點三角形有向面積公式與應(yīng)用 113
4.3 六角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 116
4.3.1 六角形中點線三角形有向面積的定值定理 116
4.3.2 六角形中點線三角形有向面積定值定理的應(yīng)用 117
4.4 退化六角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 120
4.4.1 五角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 120
4.4.2 四角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 124
4.5 十角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 126
4.5.1 十角形中點線三角形有向面積的定值定理 126
4.5.2 十角形中點線三角形有向面積定值定理的應(yīng)用 129
4.6 退化十角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 133
4.6.1 九角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 133
4.6.2 八角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 139
4.6.3 七角形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 143
第5章 平行多邊形分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 148
5.1 平行六邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 148
5.1.1 平行2n邊形的概念 148
5.1.2 平行六邊形中點線三角形有向面積的定值定理 149
5.1.3 平行六邊形中點線三角形有向面積定值定理的應(yīng)用 151
5.1.4 平行六邊形的性質(zhì)定理與應(yīng)用 152
5.2 退化平行六邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 153
5.2.1 一類五邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 153
5.2.2 平行四邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 157
5.2.3 三角形中線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 160
5.3 正多邊形和菱形分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 161
5.3.1 正2n邊形分點線三角形有向面積的定值定理 161
5.3.2 正2n邊形分點線三角形有向面積定值定理的應(yīng)用 163
5.3.3 菱形分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 166
5.4 平行4n邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 169
5.4.1 平行4n邊形中點線三角形有向面積的定值定理 169
5.4.2 平行4n邊形中點線三角形有向面積定值定理的應(yīng)用 172
5.4.3 一類4n-1邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 176
5.5 平行4n+2邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 181
5.5.1 平行4n+2邊形中點線三角形有向面積的定值定理 181
5.5.2 平行4n+2邊形中點線三角形有向面積定值定理的應(yīng)用 184
5.5.3 一類4n+1邊形中點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 186
第6章 頂分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 190
6.1 三角形頂分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 190
6.1.1 三角形頂分點線三角形的概念 190
6.1.2 三角形頂分點線三角形有向面積的定值定理 191
6.1.3 三角形頂分點線三角形有向面積定值定理的應(yīng)用 192
6.2 多邊形頂分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 195
6.2.1 多邊形 (多角形) 頂分點線三角形的概念 195
6.2.2 n 邊形頂分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 195
6.2.3 四邊形頂分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 198
6.3 多角形中線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 199
6.3.1 2n+1角形中線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 199
6.3.2 n角形中線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 202
6.4 多角形頂分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 205
6.4.1 四角形頂分點線三角形有向面積公式與應(yīng)用 205
6.4.2 六角形頂分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 206
6.4.3 十角形頂分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 209
第7章 角平分線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 212
7.1 三角形角平分線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 212
7.1.1 三角形角平分線三角形的概念與記號 212
7.1.2 三角形內(nèi)角平分線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 213
7.1.3 三角形內(nèi)、外角平分線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 215
7.2 多角形角平分線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 220
7.2.1 n角形角平分線和角平分線三角形的概念與記號 220
7.2.2 n角形內(nèi)角平分線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 221
7.2.3 n角形內(nèi)外角平分線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 225
7.3 三角形角平分點線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 230
7.3.1 三角形角平分點線三角形和角平分點三角形的概念與記號 230
7.3.2 三角形內(nèi)角平分點線三角形有向面積的公式與應(yīng)用 231
7.3.3 三角形外角平分點線三角形有向面積的公式與應(yīng)用 235
7.3.4 三角形內(nèi)外角平分點線三角形有向面積的公式與應(yīng)用 238
7.3.5 角平分點線三角形另一種形式的有向面積公式與應(yīng)用 242
7.4 圓內(nèi)接多角形角平分點線三角形有向面積公式與應(yīng)用 249
7.4.1 多角形角平分點線三角形和角平分點多角形的概念與記號 250
7.4.2 圓內(nèi)接多角形內(nèi)角平分點線三角形有向面積公式與應(yīng)用 250
7.4.3 圓內(nèi)接多角形外角平分點線三角形有向面積的公式與應(yīng)用 254
第8章 高線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 258
8.1 三角形高線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 258
8.1.1 三角形高線三角形的概念 258
8.1.2 三角形高線三角形有向面積的定值定理 259
8.1.3 三角形高線三角形有向面積定值定理的應(yīng)用 261
8.2 2n+1角(2n+1邊)形高線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 263
8.2.1 2n+1角(2n+1邊)形的高和高線三角形的概念與記號 263
8.2.2 圓內(nèi)接2n+1角形高線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 264
8.2.3 圓內(nèi)接2n+1邊形高線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 269
8.3 高足線三角形有向面積的定值定理與應(yīng)用 271
8.3.1 高足線三角形和高足多角形的概念與記號 271
8.3.2 三角形高足線三角形有向面積公式與應(yīng)用 271
第9章 心坐標公式、心三角形有向面積公式與應(yīng)用 278
9.1 心坐標公式與應(yīng)用 278
9.1.1 三角形內(nèi)心和旁心的坐標公式與應(yīng)用 278
9.1.2 三角形垂心的坐標公式與應(yīng)用 281
9.2 三角形內(nèi)旁心(旁心)線三角形有向面積公式與應(yīng)用 286
9.2.1 三角形內(nèi)旁心(旁心)線和內(nèi)旁心(旁心)線三角形的概念 286
9.2.2 三角形內(nèi)旁心三角形和旁心三角形有向面積公式 286
9.2.3 三角形內(nèi)旁心(旁心)線三角形有向面積公式與應(yīng)用 289
9.3 心三角形有向面積公式與應(yīng)用 292
9.3.1 三角形心三角形的概念 292
9.3.2 雙心三角形有向面積公式與應(yīng)用 293
9.3.3 三心三角形有向面積公式與應(yīng)用 296
參考文獻 307
名詞索引 310
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