幾十年來，數(shù)學的主要興趣集中在與線性算子有關的問題上，以及將線性代數(shù)已知結(jié)果推廣到無窮維情況。這極具遠見灼識，而由此發(fā)展出來的豐富理論對整個數(shù)學科學都有深遠的影響。在剔除線性這一假設條件時，有關的算子理論以及許多與這種理論有關的具體問題描繪出了數(shù)學研究的前景。迄今為止，在這方面已獲得的基本結(jié)果構成了線性理論深刻而又完美的拓展。正如線性情況一樣，這些結(jié)果源于數(shù)學分析中的具體問題，并與之密切相關。展現(xiàn)于此的這本講義，其目的是系統(tǒng)地描述這些基本的非線性結(jié)果及其對各種來自數(shù)學分析不同領域的具體問題的應用。
此外，我在盡可能廣泛的意義下使用“數(shù)學分析”這一術語，而這個用法遵循著Henri Poincare（我們這個學科的偉大先驅(qū)之一）的思想。事實上，仔細審視自然出現(xiàn)在實和復流形微分幾何、經(jīng)典的和現(xiàn)代的數(shù)學物理以及變分學的研究中特定的非線性問題，就能發(fā)現(xiàn)必然會導致深刻數(shù)學結(jié)果的那些反復出現(xiàn)的模型，
從抽象觀點出發(fā)，主要有兩種手段處理該課題，如上所述，第一種手段是將Fredholm，Hilbert，Riesz，Banach和von Neu-mann等人線性泛函分析的特定結(jié)果推廣到更一般的非線性情況。第二種手段是視該學科為流形及流形間映射的無窮維微分幾何學。顯然，這些手段密切相關，而當它們與現(xiàn)代拓撲結(jié)合在一起使用時，就成了強有力的數(shù)學思維模式。
最后，在上述兩種手段之外，還存在著真正適合既是非線性的又是無窮維的現(xiàn)象，能認清這些事實的那個框架仍在發(fā)展中。
本書的內(nèi)容分為三個部分來講述，而每一部分均含兩章。第一部分首先涉及到研究的動因和理解本書后面展開的內(nèi)容所必需的數(shù)學預備知識，其后提供非線性算子基本的微積分內(nèi)容并對其分類。第二部分涉及到局部分析。在第三章，我們討論經(jīng)典反函數(shù)定理和隱函數(shù)定理的各種無窮維推廣。同時，為了研究算子方程，也討論了Newton法，最速下降法和強函數(shù)法。第四章，我們將注意力轉(zhuǎn)向與分歧和奇異擾動問題有關的那些依賴于參數(shù)的擾動現(xiàn)象，這一章中，拓撲（“超越”）方法的應用是它首次成功的亮相，這本書的第三部分和最后部分講述了大范圍分析，并指出了將具體分析與超越方法相結(jié)合的必要性。第五章發(fā)展了可用于一般算子類的全局性方法，特別是討論了映射度的各種理論和應用及其與球面高階同倫群有關的最新進展，還討論了線性化方法和投影法，第六章講述大范圍變分學及其在現(xiàn)代臨界點理論中的最新進展，這個材料很自然地來自與臨界點有關的極小化問題和等周問題。
本書的一個主要課題是將得到的抽象結(jié)果用于解決幾何與物理中引人人勝的問題。書中提到的應用是這樣選擇的：既考慮其內(nèi)在意義，也考慮它們與本書中提到的抽象內(nèi)容的關系。在很多情況下，特定的例子需要理論的推廣，從而為進一步的發(fā)展提供動力，我們希望，提到的那些較深刻較復雜的應用將能提高這門快速發(fā)展的學科的價值及意義。
此外，我們選取一些非線性問題作為抽象的模型。這包括
�。╥）確定非線性常微分方程組的周期解；
（ii）各種半線性橢圓型偏微分方程的Dirichlet問題；
�。╥ii）在給定的緊流形上，確定“最簡”度量的微分幾何問題（在這里，“最簡”是指常曲率）；
（iv）非線性彈性vonKarman方程的解結(jié)構。
所有這些模型說明，需要發(fā)展新的理論和需要更精妙敏銳的研究方法。此外，這些問題的經(jīng)典的性質(zhì)表明，對于不太經(jīng)典的非線性問題抽象本質(zhì)的研究來說，有著廣闊領域。
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