目錄
序言
前言
第1章 實(shí)分析基礎(chǔ) 1
1.1 集合與映射 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 映射 3
1.1.3 集合的基數(shù) 4
1.2 實(shí)數(shù)與函數(shù)的有關(guān)定理 7
1.2.1 實(shí)數(shù)的有關(guān)定理 7
1.2.2 函數(shù)的有關(guān)概念與定理 11
1.3 直線(xiàn)上的開(kāi)集和閉集 15
1.3.1 開(kāi)集和閉集的概念 15
1.3.2 開(kāi)集和閉集的性質(zhì) 17
1.3.3 開(kāi)集和閉集的結(jié)構(gòu) 19
1.4 可測(cè)集 20
1.4.1 有界開(kāi)集和閉集的測(cè)度 20
1.4.2 可測(cè)集的概念 22
1.4.3 可測(cè)集的性質(zhì) 24
1.5 可測(cè)函數(shù) 25
1.5.1 可測(cè)函數(shù)的概念 25
1.5.2 可測(cè)函數(shù)的性質(zhì) 27
1.5.3 幾乎處處收斂和測(cè)度收斂 29
1.6 Lebesgue積分 31
1.6.1 Riemann積分 31
1.6.2 Lebesgue積分的概念 33
1.6.3 Lebesgue積分的性質(zhì) 35
1.6.4 Lp空間 37
習(xí)題 1 38
第2章 距離空間 41
2.1 距離空間的定義和例子 41
2.1.1 距離空間的定義 41
2.1.2 距離空間的實(shí)例 41
2.2 度量空間中的點(diǎn)集 47
2.2.1 距離拓?fù)?47
2.2.2 稠密集與可分性 48
2.3 完備距離空間 49
2.3.1 距離空間的完備化 52
2.4 緊性與列緊性 54
2.5 Banach空間 60
2.6 不動(dòng)點(diǎn)原理及其應(yīng)用 68
2.6.1 Banach不動(dòng)點(diǎn)原理及迭代方法 68
2.6.2 壓縮映像原理在積分方程理論中的應(yīng)用 72
2.6.3 利用不動(dòng)點(diǎn)定理求解常微分方程 74
2.7 有界線(xiàn)性泛函與Hahn-Banach擴(kuò)張定理 76
2.7.1 有界線(xiàn)性算子 76
2.7.2 Hahn-Banach定理 84
習(xí)題 2 100
第3章 Hilbert空間 107
3.1 內(nèi)積空間 107
3.1.1 內(nèi)積空間的概念和性質(zhì) 107
3.1.2 常見(jiàn)的內(nèi)積空間 110
3.2 幾個(gè)常用的Hilbert空間 112
3.3 正交分解 115
3.3.1 正交與正交補(bǔ) 115
3.3.2 變分原理與正交分解定理 117
3.3.3 正交分解定理的應(yīng)用 120
3.4 Hilbert空間中的Fourier分析 123
3.4.1 標(biāo)準(zhǔn)正交系 123
3.4.2 Fourier級(jí)數(shù) 126
3.5 Hilbert空間的同構(gòu) 129
習(xí)題 3 131
第4章 有界線(xiàn)性算子 135
4.1 一致有界原理，開(kāi)映射定理和閉算子定理 135
4.1.1 一致有界原理 135
4.1.2 開(kāi)映射定理，閉算子定理 139
4.2 共軛空間與共軛算子 141
4.2.1 共軛空間 141
4.2.2 共軛算子 143
4.2.3 算子的值域與核空間 145
4.3 算子的譜 147
4.3.1 譜的定義和性質(zhì) 147
4.3.2 具體算子的譜 149
4.4 緊算子 152
4.4.1 緊算子的定義及性質(zhì) 152
4.4.2 緊算子的譜 155
4.5 自伴算子，射影算子 156
4.5.1 自伴算子的定義及性質(zhì) 157
4.5.2 射影 161
4.5.3 不變子空間與約化子空間 164
習(xí)題 4 165
附錄 Sobolev空間 168
A.1 Sobolev空間 168
A.1.1 廣義導(dǎo)數(shù) 168
A.1.2 Sobolev空間 170
A.1.3 Sobolev空間 171
A.2 正規(guī)正交基的存在性與Parseval公式 174
A.2.1 正規(guī)正交基的存在性 174
A.2.2 Parseval公式 174
A.3 共軛雙線(xiàn)性泛函 176
A.4 Hilbert共軛算子與Lax-Milgram定理 178
A.4.1 Hilbert共軛算子 178
A.4.2 Lax-Milgram定理 182
A.4.3 算子的矩陣表示 185
A.5 二次變分問(wèn)題 187
A.5.1 雙線(xiàn)性形式 187
A.5.2 二次變分問(wèn)題的主定理 188
A.6 從泛函分析角度考察Dirichlet原理 190
A.6.1 經(jīng)典的歐拉{拉格朗日方程 191
A.6.2 廣義邊界值 194
A.6.3 Poincarffe-Friedrichs不等式 194
A.6.4 Dirichlet問(wèn)題的解的存在性 196
參考文獻(xiàn) 199
索引 200