《現(xiàn)代幾何學：方法與應用 第一卷 曲面幾何、變換群與場（第5版）》是莫斯科大學數(shù)學力學系對幾何課程現(xiàn)代化改革的成果，作者之一的諾維可夫是1970年菲爾茲獎和2005年沃爾夫獎得主。
　　《現(xiàn)代幾何學：方法與應用 第一卷 曲面幾何、變換群與場（第5版）》力求以直觀的和物理的視角闡述，是一本難得的現(xiàn)代幾何方面的好書。內(nèi)容包括張量分析、曲線和曲面幾何、一維和高維變分法(第1卷)，微分流形的拓撲和幾何(第二卷)，以及同調(diào)與上同調(diào)理論(第三卷)。

　　在準備本書的第2版時，作者考慮了讀者的許多意見和要求：從大學生和研究生到知名學者，數(shù)學家和物理學家。我們在最大范圍內(nèi)系統(tǒng)地進行了重組章節(jié)：處理了相空間的幾何理論和哈密頓系統(tǒng)，并系統(tǒng)闡述了無窮維的(場論方式的)廣義哈密頓系統(tǒng)；另外，作為反稱張量的一個應用，在§18中加進了所謂的反交換變量的積分。系統(tǒng)改進的章節(jié)還包括高維變分法。真正的擴充是從第二卷開始的，是為了用初等的方法把讀者進一步引進到流形的概念中去。還糾正了關(guān)于劉維爾完全可積系統(tǒng)的證明中的某些錯誤，也清除了另外一些錯誤以及明顯的一些排版錯誤，并且還擴充了文獻的目錄量。
　　作者感謝澤勒羅維奇，在我們?yōu)楸緯�的英文和法文版作準備時他的一些意見使其中許多地方的敘述得以改進(顯然，由于這些改進才構(gòu)成了現(xiàn)在的這個版本)。作者還要感謝本書修訂版的審閱人波哥雷洛娃和雷舍特尼亞克所做出的一系列有益的評注。

俄羅斯數(shù)學教材選譯》序
再版序言
第一版序言
第九章 連續(xù)映射(一般理論)
§1．度量空間
1．定義和例子
2．度量空間中的開集和閉集
3．度量空間的子空間
4．度量空間的直積
練習
§2．拓撲空間
1．基本定義
2．拓撲空間的子空間
3．拓撲空間的直積
練習
§3．緊集
1．緊集的定義和一般性質(zhì)
2．度量緊集
練習
§4．連通的拓撲空間
練習
§5．完備的度量空間
1．基本定義和例子
2．度量空間的完備化
練習
§6．拓撲空間的連續(xù)映射
映射的極限
2．連續(xù)映射
練習
§7．壓縮映像原理
練習

《俄羅斯數(shù)學教材選譯》序
第2版前言
第1版前言
第一章 空間區(qū)域中的幾何．基本概念
§1．坐標系
§2．歐氏空間
§3．黎曼和偽黎曼空間
§4．歐氏空間的最簡單的變換群
甄弗萊納公式
§6．偽歐幾里得空間
第二章 曲面論
§7．空間曲面的幾何
§8．第二基本型
§9．球面的度量
§10．在偽歐氏空間中的類空曲面
§11．幾何中的復語言
§12．解析函數(shù)
§13． 曲面度量的共形形式
§14．作為Ⅳ維空間中的曲面變換群
§15．高維歐氏空間和偽歐氏空間的共形變換
第三章 張量．代數(shù)理論
§16．張量的例子
§17．張量的一般定義
§18．(O，k)型張量
§19．黎曼和偽黎曼空間中的張量
§20．晶體群和平面與空間旋轉(zhuǎn)群的有限子群．不變張量的例子
§21．偽歐氏空間的二階張量和它們的特征值
§22．在映射下張量的行為
§23．向量場
§24．李代數(shù)
第四章 張量的微分學
§25．反稱張量的微分
§26．反稱張量和積分理論
§27．復空間中的微分形式
§28．共變微分
§29．共變微分和度量
§30．曲率張量
第五章 變分法原理
§31．一維變分問題
§32．守恒定律
§33．哈密頓體系
§34．相空間的幾何理論
§35．曲面的拉格朗日函數(shù)
§36．測地方程的二階變分
第六章 高維變分問題．場及幾何不變量
§37．最簡單的高維變分問題
§38．拉格朗日的例子
§39．廣義相對論的最簡單概念
§40．群SO(3)和O(3，1)的旋量表示．狄拉克方程和它的性質(zhì)
§41．具有任意對稱性的場的共變微分
§42．度規(guī)不變的泛函的例子．麥克斯韋和楊一米爾斯方程．具恒等于零的變分導數(shù)的泛函(示性類)
參考文獻
索引