本書包含復變函數、矢量分析與場論、數學物理方法三部分。復變函數部分的基本內容有： 復數與復變函數的基本概念、復變函數的導數與積分、解析函數的性質和應用、復變函數的冪級數表示方法、留數定理及其應用等。矢量分析與場論部分介紹矢量函數及其導數與積分、梯度、散度和拉普拉斯算符在正交曲線坐標系中的表達式，以及算子方程等。數學物理方法部分的基本內容包括： 波動方程、熱傳導方程、穩(wěn)定場位勢方程的導出、定解問題的提法； 分離變量法求解定解問題的過程和步驟； 二階線性常微分方程的冪級數解法和斯圖姆劉維爾本征值問題； 貝塞爾函數和勒讓德函數的定義、性質與應用； 求解定解問題的行波法、積分變換法和格林函數法等。
本書可以作為理科非數學專業(yè)和工科各專業(yè)本科生的教材或教學參考書。
結合工程數學學時少的實際，本書將復變函數、場論與實量分析、數學物理方法合在一起講述。另外，講解中還借助Maple軟件來處理繁瑣的計算與推導過程。
本書是在郭玉翠編著、清華大學出版社出版的《工程數學復變函數與數學物理方法》基礎上，經過5年教學實踐的磨練，增刪部分內容編寫而成的，現呈現給廣大同學和讀者朋友。與清華大學出版社出版的《工程數學復變函數與數學物理方法》相比，有以下一些改變。
1. 增加了矢量分析與場論一章內容和習題。從數學角度希望讀者對這部分內容有深入了解，也為工科學生后繼課程打下基礎。
2. 調整了復變函數部分的內容，有些內容重新用定理描述，比如復合閉路定理，各類型孤立奇點的判定定理等，方便理解和總結歸納。
3. 增加了若干例題和習題。由于數學概念和定理很抽象，理解起來困難，為此增加例題的講解，以方便讀者學習和掌握。
4. 原有附錄A和矢量分析與場論內容有關，故刪去。閱讀和學習數學物理方法部分時，常用到常微分方程求解的方法，為了讓讀者閱讀和學習無障礙，增加了附錄A常微分方程簡介。
在本書的使用過程中，北京郵電大學的許多老師提出了具體的意見和建議。劉文軍副教授、李莉副教授審閱了部分稿件。清華大學出版社給與了大力支持，在此一并表示衷心的感謝。
我們衷心期望使用和關心該教材的師生，對本書提出寶貴意見和建議。
田玉郭玉翠2018年6月
第1篇復變函數
第1章復變函數及其導數與積分
1.1引言
1.2復數與復變函數
1.2.1復數
1.2.2復平面
1.2.3復數加法的幾何表示
1.2.4復平面上的點集
1.2.5復變函數
1.3復變函數的極限與連續(xù)
1.4復球面與無窮遠點
1.5解析函數
1.5.1復變函數的導數與微分
1.5.2解析函數的概念及其簡單性質
1.5.3柯西黎曼條件
1.6復變函數的積分
1.6.1復變函數積分的概念與計算
1.6.2復變函數積分的簡單性質
1.6.3柯西積分定理及其推廣
1.6.4柯西積分公式及其推論
習題1
第2章復變函數的冪級數
2.1復數序列和復數項級數
2.1.1復數序列及其收斂性
2.1.2復數項級數及其收斂性
2.1.3復數項級數的絕對收斂性
2.2復變函數項級數和復變函數序列
2.3冪級數
2.4冪級數和函數的解析性
2.5解析函數的泰勒展開式
2.6解析函數零點的孤立性及唯一性定理
2.7解析函數的洛朗級數展開式
2.7.1洛朗級數
2.7.2解析函數的洛朗展開式
2.7.3洛朗級數與泰勒級數的關系
2.7.4解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展開式
2.8解析函數的孤立奇點及其分類
2.8.1可去奇點
2.8.2極點
2.8.3本性奇點
2.8.4復變函數在無窮遠點的性態(tài)
習題2
第3章留數及其應用
3.1留數與留數定理
3.2留數的計算
3.2.1一級極點的情形
3.2.2高級極點的情形
3.3無窮遠點處的留數
3.4留數在定積分計算中的應用
3.4.1形如20R(cos,sin)d的積分
3.4.2形如 -R(x)dx的積分
3.4.3形如 -P(x)Q(x)eimxdx的積分
3.5復變函數在物理中的應用簡介
3.5.1解析函數的物理解釋
3.5.2兩種特殊區(qū)域上解析函數的實部和虛部的關系泊松積分公式
習題3
第2篇矢量分析與場論
第4章矢量分析與場論初步
4.1矢量函數及其導數與積分
4.1.1場與矢量函數
4.1.2矢量函數的極限與連續(xù)性
4.1.3矢量函數的導數
4.1.4矢量函數的積分
4.2梯度、散度與旋度在正交曲線坐標系中的表達式
4.2.1直角坐標系下三度及哈密頓算子
4.2.2正交曲線坐標系下的三度
4.3正交曲線坐標系下的拉普拉斯算符、格林第一公式和格林第二公式
4.4算子方程
習題4
第3篇數學物理方法
第5章數學物理方程及其定解條件
5.1數學物理基本方程的建立
5.1.1波動方程
5.1.2熱傳導方程和擴散方程
5.1.3泊松方程和拉普拉斯方程
5.1.4亥姆霍茲方程
5.2定解條件
5．2．1初始條件
5.2.2邊界條件
5.3定解問題的提法
5.4二階線性偏微分方程的分類與化簡解的疊加原理
5.4.1含有兩個自變量二階線性偏微分方程的分類與化簡
5.4.2線性偏微分方程的疊加原理
習題5
第6章分離變量法
6.1(1 1)維齊次方程的分離變量法
6.1.1有界弦的自由振動
6.1.2有限長桿上的熱傳導
6.2二維拉普拉斯方程的定解問題
6.3非齊次方程的解法
6.4非齊次邊界條件的處理
習題6
第7章二階常微分方程的級數解法本征值問題
7.1二階常微分方程的級數解法
7.1.1常點鄰域內的級數解法
7.1.2勒讓德方程的級數解
7.1.3正則奇點和非正則奇點附近的級數解
7.1.4貝塞爾方程的級數解
7.2施圖姆劉維爾本征值問題
7.2.1施圖姆劉維爾方程
7.2.2本征值問題的一般提法
7.2.3本征值問題的一般性質
習題7
第8章貝塞爾函數及其應用
8.1貝塞爾方程的引入
8.2貝塞爾函數的性質
8.2.1貝塞爾函數的基本形態(tài)及本征值問題
8.2.2貝塞爾函數的遞推公式
8.2.3貝塞爾函數的正交性和模方
8.2.4按貝塞爾函數的廣義傅里葉級數展開
8.3貝塞爾函數在定解問題中的應用
*8.4修正貝塞爾函數
8.4.1第一類修正貝塞爾函數
8.4.2第二類修正貝塞爾函數
*8.5可化為貝塞爾方程的方程
8.5.1開爾文方程
8.5.2其他例子
8.5.3含貝塞爾函數的積分
習題8
第9章勒讓德多項式及其應用
9.1勒讓德方程與勒讓德多項式的引入
9.2勒讓德多項式的性質
9.2.1勒讓德多項式的微分表示
9.2.2勒讓德多項式的積分表示
9.2.3勒讓德多項式的母函數
9.2.4勒讓德多項式的遞推公式
9.2.5勒讓德多項式的正交歸一性
9.2.6按Pn(x)的廣義傅里葉級數展開
9.2.7一個重要公式
9.3勒讓德多項式的應用
*9.4關聯勒讓德多項式
9.4.1關聯勒讓德函數的微分表示
9.4.2關聯勒讓德函數的積分表示
9.4.3關聯勒讓德函數的正交性與模方
9.4.4按Pml(x)的廣義級數展開
9.4.5關聯勒讓德函數的遞推公式
*9.5其他特殊函數方程簡介
9.5.1埃爾米特多項式
9.5.2拉蓋爾多項式
習題9
第10章行波法與積分變換法
10.1一維波動方程的達朗貝爾公式
10.2三維波動方程的泊松公式
10.2.1三維波動方程的球對稱解
10.2.2三維波動方程的泊松公式
10.2.3泊松公式的物理意義
10.3傅里葉積分變換法求解定解問題
10.3.1預備知識傅里葉變換及性質
10.3.2傅里葉變換法
10.4拉普拉斯變換法求解定解問題
10.4.1拉普拉斯變換及其性質
10.4.2拉普拉斯變換法
習題10
第11章格林函數法
11.1引言
11.2函數的定義與性質
11.2.1函數的定義
11.2.2廣義函數的導數
11.2.3函數的傅里葉變換
11.2.4高維函數
11.3泊松方程的邊值問題
11.3.1格林公式
11.3.2解的積分形式格林函數法
11.3.3格林函數關于源點和場點是對稱的
11.4格林函數的一般求法
11.4.1無界區(qū)域的格林函數
11.4.2用本征函數展開法求邊值問題的格林函數
11.5用電像法求某些特殊區(qū)域的狄利克雷格林函數
11.5.1泊松方程的狄利克雷格林函數及其物理意義
11.5.2用電像法求格林函數
習題11
附錄A常微分方程簡介
附錄B函數的定義和基本性質
附錄C通過計算留數求拉普拉斯變換的反演
附錄D傅里葉變換和拉普拉斯變換簡表
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