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激波（或稱沖擊波）的產(chǎn)生與傳播是一個(gè)普遍的物理現(xiàn)象。例如在連續(xù)介質(zhì)中的爆破通常會(huì)產(chǎn)生一個(gè)激波由爆破源往外傳播，在超過音速的高速飛行物體前方通常也總會(huì)有一個(gè)激波隨之一起運(yùn)動(dòng)。在空氣動(dòng)力學(xué)的研究中激波的運(yùn)動(dòng)（包括其生成、傳播、反射等）占著極其重要的地位，對(duì)激波運(yùn)動(dòng)的理論研究涉及許多困難的數(shù)學(xué)問題。本書以偏微分方程為主要工具對(duì)激波反射所涉及的數(shù)學(xué)問題做深入的分析。為方便讀者，本書結(jié)合以后展開討論的需要先介紹流體力學(xué)方程組以及激波的一些基本事項(xiàng)，然后對(duì)定常與非定常的激波反射，正則反射與馬赫反射都逐一進(jìn)行分析，并對(duì)其中一些重點(diǎn)的問題給出詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明。同時(shí)，本書也提出一些未解決的問題并指出其中會(huì)遇到的困難，期待后續(xù)研究能有新的推進(jìn)。本書適合有關(guān)專業(yè)的研究生與科研人員、工程技術(shù)人員閱讀，希望能有助于讀者迅速進(jìn)入這一研究領(lǐng)域。

在連續(xù)介質(zhì) (如流體)的運(yùn)動(dòng)中激波 (或稱沖擊波)的產(chǎn)生與傳播是一個(gè)普遍的物理現(xiàn)象.例如，在連續(xù)介質(zhì)中的爆破通常會(huì)產(chǎn)生一個(gè)激波由爆破源往外傳播.在

超過音速的高速飛行物體前方通常也總會(huì)有一個(gè)激波隨之一起運(yùn)動(dòng).激波的特點(diǎn)是在一個(gè)很薄的運(yùn)動(dòng)介質(zhì)薄層中介質(zhì)的狀態(tài)發(fā)生急劇變化，從而在激波的前方與后方，介質(zhì)的物理參量例如速度、壓力、密度、溫度等均會(huì)有顯著的變化.激波的出現(xiàn)對(duì)其周圍運(yùn)動(dòng)介質(zhì)的物理狀態(tài)將會(huì)產(chǎn)生極大的影響.當(dāng)激波運(yùn)動(dòng)遇上障礙物被反射時(shí)，其反射會(huì)表現(xiàn)出巨大的威力或破壞力.因此，對(duì)于激波的生成、傳播以及反射過程的深入了解極其重要，它也往往是相關(guān)的工程技術(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)，受到特別的關(guān)注.由于激波以及它可能遇到的障礙物類型各異，所以由激波反射所導(dǎo)致的流場(chǎng)與非線性波結(jié)構(gòu)可以十分復(fù)雜，從而精確地了解激波反射的過程及其所導(dǎo)致的效應(yīng)既十分重要又相當(dāng)困難.

通常人們通過理論、實(shí)驗(yàn)以及計(jì)算三種方法對(duì)流體力學(xué)的各類問題包括激波運(yùn)動(dòng)展開研究.理論研究提供研究對(duì)象的定性特征，從而為實(shí)驗(yàn)與計(jì)算研究提供理論支持，其成果廣泛地應(yīng)用于工程技術(shù).由于理論研究往往是在許多理想的假定下進(jìn)行的，實(shí)際問題往往比這些理想的假定條件要復(fù)雜得多，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與研究的深入，對(duì)理論研究的要求也越來越高.例如，在激波反射問題中當(dāng)假設(shè)入射激波與作為障礙物的表面都是平面時(shí)，現(xiàn)有的理論分析可以準(zhǔn)確地給出反射激波的位置以及波后的流動(dòng)狀態(tài).但一般情形下入射激波與障礙物的表面不是平面，那時(shí)就必須用更深入的數(shù)學(xué)工具，將所研究的問題歸結(jié)為偏微分方程的邊值問題來處理.這時(shí)，關(guān)于相應(yīng)問題解的存在性、穩(wěn)定性等理論分析成果還是相當(dāng)欠缺的.可以說與實(shí)驗(yàn)和計(jì)算技術(shù)相比，現(xiàn)有的理論研究還相對(duì)比較粗糙，特別是用數(shù)學(xué)分析方法進(jìn)行精確理論分析的研究是相對(duì)滯后的.

實(shí)驗(yàn)或數(shù)值計(jì)算雖然能提供發(fā)展工程技術(shù)所需要的數(shù)據(jù)，但實(shí)驗(yàn)或數(shù)值計(jì)算正是在正確的理論指導(dǎo)下展開的.由于近代工程技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)據(jù)的要求越來越高，如果能用近代的數(shù)學(xué)工具提供精確的理論分析，將能為實(shí)驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，或有可能提供新的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)性地增強(qiáng)所獲得成果的可靠性.著名的數(shù)學(xué)家與力學(xué)家R.Courant在其名著《超音速流與激波》(Supersonic Flow and Shock Waves)[31]中這樣寫：工程師與物理學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)分析結(jié)果的信心最終應(yīng)依賴于證明所得到的解是由問題的資料所唯一決定.為將本書中所介紹的理論發(fā)展到這樣一個(gè)層次，使它滿足應(yīng)用的需要，又符合自然科學(xué)發(fā)展的要求，尚需做出巨大的努力.這段話應(yīng)該是對(duì)于用數(shù)學(xué)分析方法對(duì)諸多物理問題進(jìn)行理論研究重要性的很好的詮釋.

本書將以偏微分方程為主要工具對(duì)激波反射所涉及的數(shù)學(xué)問題做深入的分析.我們知道，激波反射一般是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程，因此它在流體力學(xué)問題的研究中屬于與時(shí)間相關(guān)的非定常流問題.然而，在特定的條件下，它可以關(guān)于時(shí)間是穩(wěn)定不變的，或者可以選取跟隨質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系使得在此坐標(biāo)系中激波及其周圍流場(chǎng)參量與時(shí)間無關(guān)，從而可以作為定常流問題進(jìn)行討論.本書中將先后對(duì)定常流與非定常流中的激波反射現(xiàn)象進(jìn)行討論.

激波反射現(xiàn)象的一個(gè)特點(diǎn)是隨著激波入射角的不同，在反射點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)完全不同的非線性波結(jié)構(gòu).通常有類似于線性波反射的正則反射結(jié)構(gòu)與完全不同于前者的含三叉交點(diǎn)的Mach結(jié)構(gòu).含Mach結(jié)構(gòu)的激波反射稱為Mach反射，Mach結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，使得對(duì)于激波反射的研究陡增了復(fù)雜性.我們將在本書中對(duì)于正則反射與Mach反射局部解的存在性與穩(wěn)定性給予證明，它對(duì)于了解與建立激波反射完整的數(shù)學(xué)理論是基本的.

激波反射問題的求解不僅與反射點(diǎn)附近的給定條件有關(guān)，它通常還依賴于遠(yuǎn)處的環(huán)境條件，所以必須研究激波反射問題的整體解.但由于大范圍的條件往往十分復(fù)雜且不容易確定，故整體解的研究也更為困難.可喜的是，現(xiàn)在對(duì)一些特定的問題的研究已有了一定的進(jìn)展.

本書第一章先介紹流體力學(xué)方程組以及激波的一些基本事項(xiàng)，它在后續(xù)討論中被反復(fù)用到，其主要內(nèi)容可以在[31]、[60]中找到.第二章集中討論激波極線的性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)于研究激波運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)分析是必要的，但以往這些性質(zhì)的闡述或證明常散見于不同的文獻(xiàn)中，在本書中我們對(duì)此做了集中的歸納，有些性質(zhì)

(特別是關(guān)于位勢(shì)流方程激波極線的性質(zhì))是第一次明確地提出與證明.第三章介紹定常激波正則反射的數(shù)學(xué)分析，由于這個(gè)問題與超音速流對(duì)于具尖前緣楔形物體的繞流問題在數(shù)學(xué)處理上本質(zhì)上一致，故在討論二維空間中定常激波反射問題時(shí)采用了[48]中發(fā)展的方法，在討論三維空間中定常激波反射問題時(shí)采用了[17]中發(fā)展的方法.第四章介紹定常激波Mach反射的數(shù)學(xué)分析，按物理問題的不同特性可分為E{E型的Mach反射與E{H型的Mach反射，這一章的內(nèi)容主要取自[19]與[24].第五章討論非定常激波反射的數(shù)學(xué)分析，其各節(jié)內(nèi)容分別取自[15]、[10]、[20].第六章中列出了一些尚未解決而頗具挑戰(zhàn)性的問題，對(duì)激波反射問題的研究今后的發(fā)展做了展望.G.Ben-Dor在其著作《激波反射現(xiàn)象》(Shock Waves Reection Phenomena)一書中詳細(xì)地介紹與分析了激波反射中出現(xiàn)的各種現(xiàn)象與實(shí)驗(yàn)研究成果[5].從中更可以看到利用以偏微分方程為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)理論對(duì)激波反射中諸多問題的研究還處于起步階段，很多問題有待研究與解決.筆者希望本書的出版能引起讀者的興趣，并為其進(jìn)入這一研究領(lǐng)域作必要的準(zhǔn)備，更期待后續(xù)研究能有新的推進(jìn).

在本書的寫作中筆者還參考了許多其他文獻(xiàn)中的方法與成果，均在引用時(shí)有所注明.此外，筆者還與學(xué)術(shù)界同行有過許多討論，得益匪淺，在此一并表示感謝.然而由于筆者能力與知識(shí)的局限，在本書的取材與闡述上仍有很多不足之處.懇切地盼望讀者們能給予指正與幫助.

陳恕行

2018年2月1日

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