數(shù)學已經(jīng)滲入每一個需要費盡心思的科學領(lǐng)域，并且在生物學、物理、化學、經(jīng)濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數(shù)學說明夕陽色彩分布的情況，也可以用來說明人類的大腦結(jié)構(gòu)。數(shù)學幫助我們打造超音速飛機跟云霄飛車，模擬地球天然資源流轉(zhuǎn)的方式，進入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想象遙遠的銀河系。數(shù)學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中，我希望運用少量數(shù)學公式提供一點數(shù)學品位，而鼓勵讀者發(fā)揮想象力。對大多數(shù)讀者而言，這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元，根據(jù)美國教育部實際調(diào)查的結(jié)果顯示，能夠順利完成高中數(shù)學課程的學生升上大學后不論選讀哪一個專業(yè)，都能夠展現(xiàn)出比較優(yōu)秀的學習能力。

數(shù)學的實用性讓我們可以建造宇宙飛船，探索所處宇宙的幾何結(jié)構(gòu)。數(shù)字也可能是我們跟有智能的外星生物間所采用的第一種溝通手段 。有些物理學家認為掌握更高空間維度和拓樸學（topology ，探索形狀與彼此間相互關(guān)系的一門學問），或許有一天當現(xiàn)在這個宇宙處于在極熱或極冷的末日之際 ，我們就能逃出，在不同的時空環(huán)境下安身立命 。

數(shù)學史上不乏許多人同步有重大發(fā)現(xiàn)的例子 ，就以這本書里面的莫比烏斯帶（The Mobius Strip）為例 。德國數(shù)學家莫比烏斯（August Mobius）和當時另一位德國數(shù)學家利斯廷（Johann Benedict Listing ） 同時在公元 1858 年各自發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶 （一個只有單面，神奇的扭曲物體）。這種同步發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象就跟英國博學多聞的牛頓 （Isaac Newton ）與德國數(shù)學家萊布尼茲 （Gottfried Wilhelm Leibniz ）各自同時發(fā)現(xiàn)微積分的例子相似 。這些例子讓我不禁懷疑科學領(lǐng)域為何經(jīng)常有不同人，在相同時間，獨立發(fā)現(xiàn)同一件事情的情況？其他例子還包括英國博物學家達爾文（Charles Darwin ）和華萊士（Alfred Wallace ）都在相同時間各別提出演化論的觀點，匈牙利數(shù)學家鮑耶 （János Bolyai ）和俄羅斯數(shù)學家羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky ）似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法 。

最有可能解釋同步重大發(fā)現(xiàn)的理由，是因為人類在那些時間點對于即將誕生的發(fā)現(xiàn) ，已經(jīng)累積足夠的知識，這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來；可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響 。另一種帶有神秘色彩的解釋，會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納（Paul Kammerer ）曾表示：或許我們可以說，盡管打散 、重組的過程在現(xiàn)實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變?nèi)f化中不斷重復發(fā)生，但是物以類聚的現(xiàn)象也會同時在這些過程中產(chǎn)生；卡梅納把現(xiàn)實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端，彼此間看起來各自孤立，毫無瓜葛，不過根據(jù)他充滿爭議性的理論，我們其實只看到上層的波浪，卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制，詭譎地把世上各種重大事件串在一起，才顯現(xiàn)出這種一波又一波的風潮。

易法拉（Georges Ifrah）在 《數(shù)目溯源》 （The Universal History of Numbers）一書中談論馬雅數(shù)學時，順便論及了這種同步情況 ：

我們因此又再一次地見證到，散居在廣大時空環(huán)境的下互不認識的人……也會有非常類 似甚至是一模一樣想法。……有些例子的解釋；是因為他們接觸了另一群不一樣的人并受到 對方的影響，……真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合：智人（Homo sapiens）這種生物的智力具有共通性，把世界各個角落統(tǒng)整串連的潛力非�？捎^。

古代的希臘人深深受到數(shù)目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代，會不會只有數(shù)目字才是唯一恒常不變的？對于源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言，數(shù)目字是具體不變、和緩永恒的比所有朋友更值得信賴，卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數(shù)有關(guān) ，聰穎的數(shù)學家艾狄胥（Paul Erdos）醉心于數(shù)論有關(guān)于整數(shù)課題的研究，他經(jīng)常能輕易使用整數(shù)提出問題，盡管問題的陳述很簡單，但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數(shù)學問題提出后經(jīng)過一個世紀依然無解的話，那一定是個跟數(shù)論有關(guān)的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數(shù)表達之，譬如用整數(shù)描述菊花花瓣構(gòu)成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦，以及周期表元素間的關(guān)系。德國代數(shù)學家暨數(shù)論大師克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）曾經(jīng)說過 ：只有整數(shù)來自于上帝 ，其他都是人造的 。這句話也暗示整數(shù)是一切數(shù)學的最主要根源 。

自從畢達哥拉斯的年代以來，按照整數(shù)比例演奏出的音樂，就相當受歡迎，更重要的是，在人類理解科學的演進過程中，整數(shù)也扮演著相關(guān)關(guān)鍵的角色，像是法國化學家拉瓦節(jié) （Antoine Lavoisier）就是依照整數(shù)比調(diào)配組成化合物的元素，顯示出原子存在的強烈證據(jù)。公元 1925 年，激態(tài)原子放射出一定整數(shù)比的光譜波長，也是當時發(fā)現(xiàn)原子結(jié)構(gòu)的一項證據(jù)。幾乎按照整數(shù)比呈現(xiàn)的原子量，顯示原子核是由整數(shù)個數(shù)的相似核子（質(zhì)子跟中子）所組成，與整數(shù)比的誤差則促成同位素（基本元素的變形體，擁有幾乎一樣的化學特性，只在中子數(shù)的個數(shù)上有所差異）的發(fā)現(xiàn) 。

純同位素 （pure isotope ）原子量無法完全以整數(shù)比呈現(xiàn)的微小差異 ，確認了愛因斯坦 （Albert Einstein）著名方程式E＝mc2是成立的，也顯示出生產(chǎn)原子彈的可能。在原子物理領(lǐng)域隨處可見整數(shù)的存在 。整數(shù)關(guān)系是組成數(shù)學最基本的一股勢力或者引用高斯 （Carl Friedrich Gauss ）的說法 ：數(shù)學是所有科學的女王而數(shù)論則是數(shù)學中的天后 。

用數(shù)學描述宇宙這門學科成長迅速，但是，我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出新的數(shù)學，但是，我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經(jīng)有人針對數(shù)學史上幾個最著名問題提出證明，可是，他們的論證方式非常冗長又復雜 ，就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數(shù)學家哈里斯（Thomas Hales）將一篇幾何學論文投稿到世界頂級數(shù)學雜志《數(shù)學年刊》 （Annals of Mathematics）后 ，整整花了五年的時間等待專家審查意見專家們最后的結(jié)論是找不到這篇論文哪里有錯，建議該期刊加以發(fā)表，可是必須加上免責聲明他們無法肯定這個證明是對的！另一個例子來自數(shù)學家德福林（Keith Devlin），他在 《紐約時報》（New York Times）刊出的文章中承認 ：數(shù)學已經(jīng)進展到一個相當抽象的程度 ，甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什么 。如果就連專家都有這樣的困擾，想要把這些信息傳遞給普羅大眾當然更是困難重重，我們只好竭盡所能，盡力而為。雖然數(shù)學家們在建構(gòu)理論、執(zhí)行運算這些方面很在行，不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為模擬。當海森堡 （Werner Heisenberg）擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎么一回事時，波耳（Niels Bohr）顯得相對樂觀。公元 1920 年，波耳在一封回給海森堡的信中提到 ：我認為這是有可能的 ，但是要配合我們重新認識理解這個詞匯真正意涵的過程 。我們現(xiàn)在使用計算機進行研究的真正原因，是因為我們直觀能力有限，透過計算機實驗實際上已經(jīng)讓數(shù)學家們?nèi)〉酶�進一步的發(fā)現(xiàn)與洞見，這是在計算機普及以前作夢也想不到的結(jié)果。計算機及其繪圖功能，讓數(shù)學家們早在有辦法正式完成證明之前，就先看到結(jié)果，也開啟了一項全新的數(shù)學研究領(lǐng)域，就連電子表格這種簡單的計算機工具，也能讓現(xiàn)代數(shù)學家擁有高斯、歐拉 （Leonhard Euler）、牛頓等人渴望的數(shù)學功力。隨便舉個例子 20世紀90年代末由貝利（David Bailey）跟佛格森（Helaman Ferguson）兩人設計的計算機程序用一條新公式把圓周率 、log 5和其他兩個常數(shù)串在一塊，如同克拉瑞克 （Erica Klarreich ）在 《科學新知》（Science News）上的報導，只要計算機能把公式先找出來，事后完成證明的工作就簡單多了， 畢竟在完成數(shù)學證明的過程中，簡單地知道答案這項工作，通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時候會用數(shù)學理論預測某些要經(jīng)過好幾年后才能確認的現(xiàn)象，譬如以物理學家馬克斯韋爾（James Clerk Maxwell）命名的馬克斯韋爾方程式（Maxwell equation）預測了無線電波的存在；愛因斯坦場論方程式 （fields equation ）指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克（Paul Dirac）曾說過，今天研究的數(shù)學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論，事實上，狄拉克的方程式預測了之后才陸陸續(xù)續(xù)發(fā)現(xiàn)的反物質(zhì)（antimatter）存在。數(shù)學家羅巴切夫斯基也說過類似的話：就算再抽象的數(shù)學分支 ，也總有一天會運用在詮釋現(xiàn)實世界的物理現(xiàn)象上。