目錄
前言
第1章 高維系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題 1
1.1 種群與傳染病動力學中的微分方程模型 1
1.2 穩(wěn)定性的概念 9
1.3 問題的闡述 20
附錄 22
第2章 預備知識 24
2.1 向量與矩陣范數 24
2.1.1 賦范線性空間 24
2.1.2 誘導范數 27
2.1.3 矩陣的Lozinskii測度 30
2.2 函數的半連續(xù)性 31
2.3 Dini導數與函數的單調性 38
2.3.1 Dini導數的概念 38
2.3.2 連續(xù)單調函數與Dini導數 41
2.3.3 半連續(xù)單調函數與Dini導數 45
2.4 Gronwall-Bellman不等式 47
2.4.1 純量函數型 47
2.4.2 向量函數型 51
2.5 外代數 58
2.5.1 對偶空間 58
2.5.2 多重線性函數 60
2.5.3 張量積 63
2.5.4 交錯張量與k-形式 67
2.6 微分形式 77
2.6.1 切空間與余切空間 77
2.6.2 微分形式與外微分(導數)82
2.6.3 Lie導數 90
2.6.4 k-形式上的積分 93
2.6.5 外微分的應用 95
2.7 復合矩陣及其性質 97
第3章 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 103
3.1 解的結構 103
3.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念 107
3.3 Lappo-Danilevskii系統(tǒng)的穩(wěn)定性 113
3.4 擾動系統(tǒng)的穩(wěn)定性 116
3.5 解的指數估計 121
3.6 線性周期系數系統(tǒng) 136
第4章 Lyapunov-LaSalle穩(wěn)定性定理 146
4.1 線性化方法——Lyapunov間接法 146
4.2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 150
4.3 LaSalle不變性原理 161
4.3.1 極限集及其性質 161
4.3.2 半動力系統(tǒng)的持久生存 166
4.3.3 Krasovskii-Barbasin定理 186
4.3.4 LaSalle不變性原理 190
4.4 經典Lyapunov函數的構造 197
4.4.1 常系數線性系統(tǒng)的Barbasin分式 197
4.4.2 二次型方法的推廣 200
4.4.3 變梯度法 201
第5章 軌道漸近穩(wěn)定與全局漸近穩(wěn)定 206
5.1 軌道穩(wěn)定性概念 206
5.2 基于Poincare-Bendixson性質的全局穩(wěn)定性判定 221
5.3 例題分析 223
第6章 Bendixson準則與全局穩(wěn)定性 228
6.1 Bendixson準則 229
6.1.1 平面系統(tǒng)的Bendixson-Dulac準則 229
6.1.2 Butler-Schmid-Waltman判據 232
6.1.3 Busenberg Driessche準則 235
6.1.4 Li-Muldowney準則 241
6.1.5 Leonov-Boichenko準則 249
6.1.6 Bendixson準則的一些推廣 256
6.2 全局漸近穩(wěn)定性的一般原理 262
6.3 全局漸近穩(wěn)定性的幾何準則 263
6.4 不變流形系統(tǒng)的穩(wěn)定性 271
第7章 Gompterz模型的穩(wěn)定性問題 278
7.1 Gompterz模型的建立 278
7.2 Gompterz三維競爭模型的分類 280
7.3 Gompterz模型的全局穩(wěn)定性 281
7.4 Jiang-Niu-Zhu的公開問題的解答 285
第8章 傳染病模型的全局穩(wěn)定性 289
8.1 Lyapunov函數與全局穩(wěn)定性的判定 290
8.1.1 SIR傳染病模型的全局穩(wěn)定性 290
8.1.2 SIRS傳染病模型的全局穩(wěn)定性 291
8.1.3 SEIR傳染病模型的全局穩(wěn)定性 293
8.2 Li-Muldowney幾何判據與全局穩(wěn)定性 295
8.2.1 具有常數遷入的SEIRS模型 295
8.2.2 總人口變動的SEIRS模型 301
8.3 一些公開問題的解答 303
8.3.1 Liu-Hethcote-Levin猜想 303
8.3.2 Li-Graef-Wang-Karsai問題 304
8.4 具短暫免疫與總人口變動的SEIRS模型 308
第9章 Lotka-Volterra模型的全局穩(wěn)定性 323
9.1 單調性原理與全局穩(wěn)定性的判定 323
9.1.1 合作系統(tǒng)的單調性定理 323
9.1.2 K-單調系統(tǒng)的單調性定理 327
9.1.3 擬單調系統(tǒng)的單調性定理 340
9.1.4 離散擴散Lotka-Volterra系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性 352
附錄 357
9.2 Lyapunov函數的構造與全局穩(wěn)定性的判定 360
9.2.1 Volterra的Lyapunov函數 360
9.2.2 Chenciner的Lyapunov函數 363
9.2.3 MacArthur的Lyapunov函數 364
9.2.4 對角占優(yōu)矩陣 366
9.3 Li-Muldowney幾何方法與全局穩(wěn)定性的判定 369
9.4 一些公開問題的解答 374
9.4.1 Wolkowicz問題 374
9.4.2 Zeemans猜想 375
9.4.3 Driessche-Zeeman猜想 375
9.4.4 Hofbauer-Sigmund猜想 376
9.4.5 Li-Wang猜想 377
參考文獻 379