第1章　熱傳導(dǎo)方程1
1.1　引言1
1.2　一維桿中熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)2
1.3　邊界條件11
1.4　平衡溫度分布14
1.4.1　給定溫度14
1.4.2　絕熱邊界16
1.5　二維或三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)19
第2章　分離變量法32
2.1　引言32
2.2　線性性質(zhì)32
2.3　在有限端處具有零溫度的熱傳導(dǎo)方程35
2.3.1　概述35
2.3.2　分離變量35
2.3.3　時(shí)變常微分方程37
2.3.4　邊值問題38
2.3.5　乘積解和疊加原理43
2.3.6　正弦函數(shù)的正交性46
2.3.7　實(shí)例48
2.3.8　小結(jié)50
2.4　有關(guān)熱傳導(dǎo)方程的例子：其他邊值問題55
2.4.1　絕熱端桿中的熱傳導(dǎo)55
2.4.2　細(xì)絕熱圓環(huán)中的熱傳導(dǎo)59
2.4.3　邊值問題小結(jié)64
2.5　拉普拉斯方程：求解和定性性質(zhì)67
2.5.1　矩形區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程67
2.5.2　圓盤內(nèi)的拉普拉斯方程72
2.5.3　繞過圓柱體的流體流動(dòng)（升力）76
2.5.4　拉普拉斯方程的定性性質(zhì)79
第3章　傅里葉級數(shù)86
3.1　引言86
3.2　收斂定理88
3.3　傅里葉余弦級數(shù)和傅里葉正弦級數(shù)92
3.3.1　傅里葉正弦級數(shù)92
3.3.2　傅里葉余弦級數(shù)102
3.3.3　用正弦級數(shù)和余弦級數(shù)表示f(x)105
3.3.4　偶部和奇部106
3.3.5　連續(xù)傅里葉級數(shù)107
3.4　傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)微分112
3.5　傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)積分123
3.6　傅里葉級數(shù)的復(fù)形式127
第4章　波動(dòng)方程：振動(dòng)弦與振動(dòng)膜130
4.1　引言130
4.2　弦振動(dòng)方程的建立130
4.3　邊界條件133
4.4　端點(diǎn)固定的振動(dòng)弦137
4.5　振動(dòng)膜143
4.6　電磁波與聲波的反射與折射145
4.6.1　斯涅耳折射定律146
4.6.2　反射波與折射波的強(qiáng)度（振幅）148
4.6.3　內(nèi)部全反射149
第5章　施圖姆–劉維爾特征值問題151
5.1　引言151
5.2　例子151
5.2.1　非均勻桿內(nèi)的熱流151
5.2.2　圓對稱熱流153
5.3　施圖姆–劉維爾特征值問題155
5.3.1　一般分類155
5.3.2　正則施圖姆–劉維爾特征值問題156
5.3.3　定理的舉例和說明157
5.4　例子：非均勻桿中的無熱源熱流163
5.5　自伴算子和施圖姆–劉維爾特征值問題167
5.6　瑞利商184
5.7　例子：非均勻弦的振動(dòng)189
5.8　第三類邊界條件192
5.9　大特征值（漸近行為）207
5.10　逼近性質(zhì)211
第6章　偏微分方程的有限差分?jǐn)?shù)值法217
6.1　引言217
6.2　有限差分與截?cái)嗵├占墧?shù)217
6.3　熱傳導(dǎo)方程224
6.3.1　概述224
6.3.2　偏差分方程224
6.3.3　計(jì)算226
6.3.4　傅里葉–馮·諾伊曼穩(wěn)定性分析228
6.3.5　偏差分方程的分離變量和常差分方程的解析解235
6.3.6　矩陣記號238
6.3.7　非齊次問題242
6.3.8　其他數(shù)值格式242
6.3.9　其他類型的邊界條件243
6.4　二維熱傳導(dǎo)方程247
6.5　波動(dòng)方程250
6.6　拉普拉斯方程253
6.7　有限元法260
6.7.1　非正交函數(shù)逼近（偏微分方程的弱形式）260
6.7.2　最簡三角形有限元263
第7章　高維偏微分方程268
7.1　引言268
7.2　時(shí)間變量的分離269
7.2.1　振動(dòng)膜：任意形狀269
7.2.2　熱傳導(dǎo)：任意區(qū)域271
7.2.3　小結(jié)272
7.3　振動(dòng)矩形膜272
7.4　特征值問題?φ+φ= 0的定理敘述和說明282
7.5　格林公式、自伴算子和多維特征值問題287
7.6　瑞利商和拉普拉斯方程293
7.6.1　瑞利商293
7.6.2　依賴時(shí)間的熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程294
7.7　振動(dòng)圓形膜和貝塞爾函數(shù)295
7.7.1　概述295
7.7.2　分離變量296
7.7.3　特征值問題（一維情形）297
7.7.4　貝塞爾微分方程299
7.7.5　奇異點(diǎn)和貝塞爾微分方程299
7.7.6　貝塞爾函數(shù)及其漸近性質(zhì)（在z=0附近）301
7.7.7　涉及貝塞爾函數(shù)的特征值問題302
7.7.8　振動(dòng)圓形膜的初值問題304
7.7.9　圓對稱情形305
7.8　貝塞爾函數(shù)的進(jìn)一步討論312
7.8.1　貝塞爾函數(shù)的定性性質(zhì)312
7.8.2　特征值的漸近公式313
7.8.3　貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)曲線314
7.8.4　貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示316
7.9　圓柱體上的拉普拉斯方程319
7.9.1　概述319
7.9.2　分離變量320
7.9.3　側(cè)面及頂部或底部為零溫度的情形322
7.9.4　頂部和底部為零溫度的情形323
7.9.5　修正貝塞爾函數(shù)326
7.10　球內(nèi)的問題和勒讓德多項(xiàng)式330
7.10.1　概述330
7.10.2　分離變量和一維特征值問題330
7.10.3　連帶勒讓德函數(shù)和勒讓德多項(xiàng)式332
7.10.4　徑向特征值問題335
7.10.5　乘積解、振動(dòng)模式和初值問題335
7.10.6　球內(nèi)部的拉普拉斯方程336
第8章　非齊次問題341
8.1　引言341
8.2　有源熱流與非齊次邊界條件341
8.3　帶齊次邊界條件的特征函數(shù)展開法（微分特征函數(shù)的級數(shù)）347
8.4　利用格林公式的特征函數(shù)展開法（帶或不帶齊次邊界條件）353
8.5　受迫振動(dòng)膜與共振358
8.6　泊松方程366
第9章　定常問題的格林函數(shù)374
9.1　引言374
9.2　一維熱傳導(dǎo)方程374
9.3　常微分方程邊值問題的格林函數(shù)379
9.3.1　一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程379
9.3.2　參數(shù)變易法379
9.3.3　格林函數(shù)的特征函數(shù)展開法382
9.3.4　狄拉克δ函數(shù)及其與格林函數(shù)的關(guān)系384
9.3.5　非齊次邊界條件391
9.3.6　小結(jié)392
9.4　弗雷德霍姆擇一性與廣義格林函數(shù)398
9.4.1　概述398
9.4.2　弗雷德霍姆擇一性400
9.4.3　廣義格林函數(shù)402
9.5　泊松方程的格林函數(shù)409
9.5.1　概述409
9.5.2　多維狄拉克δ函數(shù)與格林函數(shù)410
9.5.3　用特征函數(shù)展開法表示格林函數(shù)與弗雷德霍姆擇一性411
9.5.4　格林函數(shù)的直接解法（一維特征函數(shù)）（可選）413
9.5.5　用格林函數(shù)解帶非齊次邊界條件的問題415
9.5.6　無窮空間格林函數(shù)416
9.5.7　用無窮空間格林函數(shù)得到有界區(qū)域的格林函數(shù)419
9.5.8　用無窮空間格林函數(shù)求半無窮平面（y>0）的格林函數(shù)：像源法420
9.5.9　圓的格林函數(shù)：像源法423
9.6　擾動(dòng)特征值問題430
9.6.1　概述430
9.6.2　數(shù)學(xué)例子431
9.6.3　擬圓膜振動(dòng)432
9.7　小結(jié)435
第10章　無窮域問題：偏微分方程的傅里葉變換解法437
10.1　引言437
10.2　無窮域上的熱傳導(dǎo)方程437
10.3　傅里葉變換對441
10.3.1　傅里葉級數(shù)恒等式的啟示441
10.3.2　傅里葉變換442
10.3.3　高斯函數(shù)的傅里葉逆變換443
10.4　傅里葉變換與熱傳導(dǎo)方程450
10.4.1　熱傳導(dǎo)方程450
10.4.2　傅里葉變換熱傳導(dǎo)方程：導(dǎo)數(shù)的變換455
10.4.3　卷積定理457
10.4.4　傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)461
10.5　傅里葉正弦和余弦變換：半無窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程463
10.5.1　概述463
10.5.2　半無窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程Ⅰ463
10.5.3　傅里葉正弦和余弦變換465
10.5.4　導(dǎo)數(shù)的變換466
10.5.5　半無窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程Ⅱ467
10.5.6　傅里葉正弦和余弦變換表469
10.6　應(yīng)用變換求解的例子473
10.6.1　無窮區(qū)間上的一維波動(dòng)方程473
10.6.2　半無窮帶上的拉普拉斯方程475
10.6.3　半平面上的拉普拉斯方程479
10.6.4　四分之一平面上的拉普拉斯方程482
10.6.5　平面上的熱傳導(dǎo)方程（二維傅里葉變換）486
10.6.6　二重傅里葉變換表490
10.7　散射和逆散射495
第11章　波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)499
11.1　引言499
11.2　波動(dòng)方程的格林函數(shù)499
11.2.1　概述499
11.2.2　格林公式500
11.2.3　互反性502
11.2.4　使用格林函數(shù)504
11.2.5　波動(dòng)方程的格林函數(shù)506
11.2.6　格林函數(shù)的另一個(gè)微分方程506
11.2.7　一維波動(dòng)方程的無窮空間格林函數(shù)和達(dá)朗貝爾解507
11.2.8　三維波動(dòng)方程的無窮空間格林函數(shù)（惠更斯原理）509
11.2.9　二維無窮空間格林函數(shù)511
11.2.10　小結(jié)511
11.3　熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)514
11.3.1　概述514
11.3.2　熱傳導(dǎo)方程的非自伴特性515
11.3.3　格林公式516
11.3.4　伴隨格林函數(shù)517
11.3.5　互反性518
11.3.6　用格林函數(shù)表示解518
11.3.7　格林函數(shù)的另一個(gè)微分方程520
11.3.8　擴(kuò)散方程的無窮空間格林函數(shù)521
11.3.9　熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)（在半無窮域上）522
11.3.10　熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)（在有限區(qū)域上）523
第12章　線性和擬線性波動(dòng)方程的特征線法527
12.1　引言527
12.2　一階波動(dòng)方程的特征線528
12.2.1　概述528
12.2.2　一階偏微分方程的特征線法529
12.3　一維波動(dòng)方程的特征線法534
12.3.1　通解534
12.3.2　初值問題（無窮區(qū)域）536
12.3.3　達(dá)朗貝爾解540
12.4　半無界弦和反射543
12.5　定長振動(dòng)弦的特征線法548
12.6　擬線性偏微分方程的特征線法552
12.6.1　特征線法552
12.6.2　交通流量553
12.6.3　特征線法(Q=0)555
12.6.4　沖擊波558
12.6.5　擬線性舉例570
12.7　一階非線性偏微分方程575
12.7.1　由波動(dòng)方程推導(dǎo)出的短時(shí)距方程575
12.7.2　求解均勻介質(zhì)中的短時(shí)距方程和反射波576
12.7.3　一階非線性偏微分方程579
第13章　偏微分方程的拉普拉斯變換解法581
13.1　引言581
13.2　拉普拉斯變換的性質(zhì)581
13.2.1　概述581
13.2.2　拉普拉斯變換的奇點(diǎn)582
13.2.3　導(dǎo)數(shù)的變換586
13.2.4　卷積定理587
13.3　常微分方程初值問題的格林函數(shù)591
13.4　波動(dòng)方程的信號問題593
13.5　有限長度振動(dòng)弦的信號問題597
13.6　波動(dòng)方程及其格林函數(shù)600
13.7　用復(fù)平面上的圍線積分計(jì)算拉普拉斯逆變換603
13.8　利用拉普拉斯變換求解波動(dòng)方程（復(fù)變量）608
第14章　色散波：緩變、穩(wěn)定性、非線性性和擾動(dòng)法611
14.1　引言611
14.2　色散波和群速度612
14.2.1　行波和色散關(guān)系612
14.2.2　群速度Ⅰ615
14.3　波導(dǎo)617
14.3.1　對f頻率集中周期性源的響應(yīng)620
14.3.2　模式傳播的格林函數(shù)620
14.3.3　模式不傳播的格林函數(shù)621
14.3.4　設(shè)計(jì)思路622
14.4　光纖623
14.5　群速度Ⅱ和穩(wěn)定相位法627
14.5.1　穩(wěn)定相位法628
14.5.2　對線性色散波的應(yīng)用630
14.6　緩變色散波（群速度和焦散曲線）634
14.6.1　色散偏微分方程的近似解634
14.6.2　焦散曲線的形成636
14.7　波包絡(luò)方程（集中波數(shù)）642
14.7.1　薛定諤方程643
14.7.2　線性化KdV方程645
14.7.3　非線性色散波：KdV方程647
14.7.4　孤立子與逆散射650
14.7.5　非線性薛定諤方程652
14.8　穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性656
14.8.1　常微分方程和分歧理論簡介656
14.8.2　偏微分方程穩(wěn)定平衡解的基本例子663
14.8.3　偏微分方程的典型不穩(wěn)定平衡點(diǎn)和模式形成664
14.8.4　不適定問題667
14.8.5　微不穩(wěn)定色散波和線性化復(fù)金茨堡–朗道方程668
14.8.6　非線性復(fù)金茨堡–朗道方程670
14.8.7　長波的不穩(wěn)定性676
14.8.8　反應(yīng)擴(kuò)散方程的模式形成和圖靈不穩(wěn)定性676
14.9　奇異擾動(dòng)法：多尺度683
14.9.1　常微分方程：弱非線性阻尼振子683
14.9.2　常微分方程：緩變振子686
14.9.3　固定空間域上的微不穩(wěn)定偏微分方程690
14.9.4　關(guān)于波動(dòng)方程的緩變介質(zhì)692
14.9.5　緩變線性色散波（包括弱非線性作用）695
14.10　奇異擾動(dòng)法：匹配漸近展開的邊界層法700
14.10.1　常微分方程中的邊界層700
14.10.2　由對流支配的污染物擴(kuò)散705
參考文獻(xiàn)712
帶*號習(xí)題的答案716