目錄
前言
第1講 預(yù)備知識 1
1.1 集合代數(shù)與關(guān)系 1
1.2 函數(shù)與等價(jià)關(guān)系 3
1.3 序關(guān)系與選擇公理 4
1.4 集合的可數(shù)性 9
*1.5 基數(shù) 10
習(xí)題 11
第2講 拓?fù)淇臻g的基本概念 15
2.1 拓?fù)淇臻g的定義 15
2.2 度量拓?fù)渑c度量空間 19
2.3 拓?fù)淇臻g的幾個(gè)基本概念 22
2.3.1 閉集 22
2.3.2 鄰域、內(nèi)點(diǎn)和內(nèi)部 23
2.3.3 聚點(diǎn)與閉包 24
2.3.4 序列的收斂性 27
2.4 子空間 28
習(xí)題 30
第3講 拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射 34
3.1 連續(xù)映射的概念 34
3.2 連續(xù)映射的性質(zhì)與粘接引理 37
3.3 同胚映射 41
3.4 嵌入與嵌入映射 44
習(xí)題 45
第4講 拓?fù)浠�與鄰域基 48
4.1 拓?fù)浠�與子基 48
4.2 鄰域基 53
習(xí)題 58
第5講 Tychono 積空間 61
5.1 有限多個(gè)空間的積空間 61
5.2 任意多個(gè)空間的積空間 64
5.3 拓?fù)湫再|(zhì)的可乘性 70
習(xí)題 73
第6講 分離性公理 75
6.1 分離性公理的概念 75
6.2 各種分離性的基本性質(zhì) 79
6.3 各種分離性之間的關(guān)系 83
習(xí)題 87
第7講 Urysohn 引理與完全正則空間 90
7.1 Urysohn 引理 90
7.2 Tietze 擴(kuò)張引理 93
7.3 完全正則空間 97
7.4 Urysohn 度量化定理 102
習(xí)題 104
第8講 點(diǎn)網(wǎng)與濾子 106
8.1 點(diǎn)網(wǎng) 106
8.2 濾子 111
習(xí)題 115
第9講 拓?fù)淇臻g的緊致性 117
9.1 緊致性概念 117
9.2 緊致空間的基本性質(zhì) 119
9.3 度量空間中的緊致性 126
習(xí)題 129
第10講 列緊性、可數(shù)緊性與偽緊性 132
10.1 列緊性 132
10.2 可數(shù)緊性 135
10.3 偽緊性 140
習(xí)題 143
第11講 局部緊性與 Baire 空間 145
11.1 局部緊性 145
11.2 非緊的完全正則空間的緊致化 148
11.2.1 局部緊致而非緊致的 Hausdor 空間的 Alexandro 單點(diǎn)緊致化 148
11.2.2 Stone-Cech 緊致化簡介 150
11.3 Baire 空間 151
習(xí)題 153
第12講 仿緊性 155
12.1 仿緊空間的概念 155
12.2 仿緊空間的性質(zhì) 160
習(xí)題 166
第13講 連通性與道路連通性 168
13.1 連通性的概念 168
13.2 連通空間的性質(zhì) 169
13.3 連通分支 173
13.4 局部連通性 173
13.5 道路與道路連通空間 176
13.6 道路連通分支 179
13.7 局部道路連通 179
習(xí)題 181
第14講 度量空間的完備性與完備化 184
14.1 Cauchy 序列 184
14.2 完備度量空間 185
14.3 度量空間的完全有界性 191
14.4 完備度量空間的子空間 194
14.5 度量空間的完備化 197
習(xí)題 200
第15講 商空間與商映射 202
15.1 商空間 202
15.2 商映射 205
*15.3 拓?fù)溴F與貼空間 209
*15.4 映射柱與映射錐 213
習(xí)題 215
第16講 函數(shù)空間 219
16.1 點(diǎn)式收斂拓?fù)?219
16.2 RX 上的一致收斂拓?fù)?220
16.3 緊開拓?fù)?223
16.4 k-空間與 Ascoli 定理 227
習(xí)題 231
附錄 處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)的存在性證明 233
第17講 同倫映射與空間的同倫等價(jià) 238
17.1 映射的同倫 238
17.2 空間的同倫等價(jià) 245
17.3 可縮空間 251
習(xí)題 252
參考文獻(xiàn) 254
索引 255