《數(shù)學分析講義·第三卷》始于實數(shù)的基本理論.接著進入一元微積分學,包括極限、連續(xù)、級數(shù)、微分、復數(shù)、積分等,重視它對現(xiàn)代數(shù)學的啟迪,適時介紹些抽象概念(如對基的極限),以利于拓展到一般分析學.其次探討拓撲空間(特別是度量空間、歐氏空間nR)的映射,展開多元微積分學,其中涉及隱函數(shù)定理、集合上的積分、流形(特別是nR中的曲面)及微分形式、流形(特別是曲線與曲面)上微分形式的積分、向量分析與場論.繼而研究線性賦范空間中的微分學、函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)族的基本分析運算、含參變量的積分(特別是函數(shù)的卷積與廣義函數(shù)等)、傅里葉變換、漸近展開等.
《數(shù)學分析講義·第三卷》分3卷出版,《數(shù)學分析講義·第三卷》為第三卷.第一、二卷大體上適合那些僅安排在1學年時間內(nèi)學習“數(shù)學分析”課程的學生,而全套則可用以安排3個或4個學期的“數(shù)學分析”課程.
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目錄
前言
第12章 線性賦范空間中的微分學 545
12.1 線性賦范空間 545
12.1.1 線性空間 545
12.1.2 線性空間中的范數(shù) 546
12.1.3 向量空間中的數(shù)量積 549
12.2 線性和多重線性算子 552
12.2.1 定義和例子 552
12.2.2 算子的范數(shù) 554
12.2.3 連續(xù)算子空間 558
12.3 映射的微分 563
12.3.1 在一點可微的映射 563
12.3.2 微分法的一般法則 564
12.3.3 一些例子 565
12.3.4 映射的偏導數(shù) 571
12.4 有限增量定理和它的應用的一些例子 574
12.4.1 有限增量定理 574
12.4.2 有限增量定理應用的一些例子 576
12.5 高階導映射 580
12.5.1 n階微分的定義 580
12.5.2 沿向量的導數(shù)和 n 階微分的計算 581
12.5.3 高階微分的對稱性 582
12.5.4 若干評注 584
12.6 泰勒公式和極值的研究 586
12.6.1 映射的泰勒公式 586
12.6.2 內(nèi)部極值的研究 586
12.6.3 一些例子 588
12.7 一般的隱函數(shù)定理 594
第13章 一致收斂性， 函數(shù)族的分析運算 600
13.1 逐點收斂與一致收斂 600
13.1.1 函數(shù)序列的逐點收斂性 600
13.1.2 依賴于參數(shù)的函數(shù)族的逐點收斂性 601
13.1.3 依賴于參數(shù)的函數(shù)族的一致收斂性 601
13.1.4 一致收斂的柯西準則 604
13.2 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 606
13.2.1 級數(shù)一致收斂性的基本定義和判別準則 606
13.2.2 級數(shù)一致收斂的魏爾斯特拉斯檢驗法 608
13.2.3 阿貝爾-狄利克雷檢驗法 610
13.3 極限函數(shù)的函數(shù)性質(zhì) 614
13.3.1 兩個極限過程可交換的條件 614
13.3.2 連續(xù)性與極限過渡 615
13.3.3 積分法與極限過渡 618
13.3.4 微分法與極限過渡 620
13.4 連續(xù)函數(shù)空間的緊子集和稠密子集 626
13.4.1 阿爾澤拉-阿斯柯利定理 626
13.4.2 度量空間C(K;Y) 628
13.4.3 斯通定理 629
第14章 含參變量的積分 633
14.1 含參變量的常義積分 633
14.1.1 含參變量積分的概念 633
14.1.2 含參變量積分的連續(xù)性、微分法、積分法 633
14.2 含參變量的反常積分 639
14.2.1 反常積分關(guān)于參數(shù)的一致收斂性 639
14.2.2 反常積分號下取極限 646
14.2.3 含參變量的反常積分的連續(xù)性、微分法、積分法 647
14.3 歐拉積分 657
14.3.1 β函數(shù) 657
14.3.2 函數(shù) 658
14.3.3 β函數(shù)和函數(shù)的聯(lián)系 661
14.3.4 一些例子 662
14.4 函數(shù)的卷積和廣義函數(shù)的初步知識 668
14.4.1 卷積的物理背景 668
14.4.2 卷積及其某些性質(zhì) 669
14.4.3 δ-型函數(shù)族和魏爾斯特拉斯逼近定理 672
14.4.4 分布的初步概念 677
14.5 含參變量的重積分 687
14.5.1 含參變量的常義重積分 687
14.5.2 含參變量的反常重積分 688
14.5.3 具變奇異性的反常積分 689
14.5.4 高維情形的卷積、基本解和廣義函數(shù) 692
第15章 傅里葉級數(shù)與傅里葉變換 703
15.1 一些與傅里葉級數(shù)有關(guān)的一般概念 703
15.1.1 內(nèi)積空間的有關(guān)結(jié)果 703
15.1.2 傅里葉系數(shù)和傅里葉級數(shù) 705
15.1.3 正交函數(shù)組的一些例子 709
15.2 傅里葉三角級數(shù) 719
15.2.1 經(jīng)典傅里葉級數(shù)收斂性的基本形式 719
15.2.2 傅里葉三角級數(shù)逐點收斂性的研究 723
15.2.3 函數(shù)的光滑性和傅里葉系數(shù)的下降速度 731
15.2.4 三角函數(shù)系的完全性 735
15.3 傅里葉變換 744
15.3.1 函數(shù)的傅里葉積分表示 744
15.3.2 規(guī)范化的傅里葉變換 750
15.3.3 應用舉例 760
第16章 漸近展開 771
16.1 漸近公式和漸近級數(shù) 772
16.1.1 基本定義 773
16.1.2 漸近級數(shù)的一般知識 777
16.1.3 漸近冪級數(shù) 780
16.2 漸近積分(拉普拉斯方法) 786
16.2.1 拉普拉斯方法的基本思想 786
16.2.2 拉普拉斯積分的局部化原理 789
16.2.3 典型積分及其漸近式 790
16.2.4 拉普拉斯積分的漸近主項 793
16.2.5 拉普拉斯積分的漸近展開 796
學習《數(shù)學分析講義》感言 808
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