第 1章 0 的故事——無即是有

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　2

小學(xué)一年級的回憶　2

10進(jìn)制計數(shù)法　3

什么是10進(jìn)制計數(shù)法　3

分解2503　3

2進(jìn)制計數(shù)法　4

什么是2進(jìn)制計數(shù)法　4

分解1100　5

基數(shù)轉(zhuǎn)換　6

計算機(jī)中為什么采用2　進(jìn)制計數(shù)法　8

按位計數(shù)法　10

什么是按位計數(shù)法　10

不使用按位計數(shù)法的羅馬數(shù)字　11

指數(shù)法則　12

10的0次方是什么　12

10–1是什么　13

規(guī)則的擴(kuò)展　14

對20進(jìn)行思考　14

2–1是什么　15

0所起的作用　16

0的作用：占位　16

0的作用：統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，簡化規(guī)則　16

日常生活中的0　17

人類的極限和構(gòu)造的發(fā)現(xiàn)　18

重溫歷史進(jìn)程　18

為了超越人類的極限　19

本章小結(jié)　20

第　2章 邏輯——真與假的二元世界

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　22

為何邏輯如此重要　22

邏輯是消除歧義的工具　22

致對邏輯持否定意見的讀者　23

乘車費用問題—兼顧完整性和排他性　23

收費規(guī)則　23

命題及其真假　24

有沒有“遺漏”　24

有沒有“重復(fù)”　25

畫一根數(shù)軸輔助思考　26

注意邊界值　27

兼顧完整性和排他性　28

使用if　語句分解問題　28

邏輯的基本是兩個分支　29

建立復(fù)雜命題　29

邏輯非—不是A　30

邏輯與—A并且B　32

邏輯或—A或者B　34

異或—A或者B（但不都滿足）　37

相等—A和B相等　39

蘊(yùn)涵—若A則B　40

囊括所有了嗎　45

德摩根定律　46

德摩根定律是什么　46

對偶性　47

卡諾圖　48

二燈游戲　48

首先借助邏輯表達(dá)式進(jìn)行思考　49

學(xué)習(xí)使用卡諾圖　50

三燈游戲　52

包含未定義的邏輯　54

帶條件的邏輯與（&&）　55

帶條件的邏輯或（||）　57

三值邏輯中的否定（!）　58

三值邏輯的德摩根定律　59

囊括所有了嗎　60

本章小結(jié)　60

第3章　余數(shù)——周期性和分組

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　64

星期數(shù)的思考題(1)　64

思考題（100　天以后是星期幾）　64

思考題答案　65

運用余數(shù)思考　65

余數(shù)的力量—將較大的數(shù)字除一次就能分組　65

星期數(shù)的思考題(2)　66

思考題（10100　天以后是星期幾）　66

提示：可以直接計算嗎　67

思考題答案　67

發(fā)現(xiàn)規(guī)律　68

直觀地把握規(guī)律　68

乘方的思考題　70

思考題（1　234 567987 654 321）　70

提示：通過試算找出規(guī)律　70

思考題答案　70

回顧：規(guī)律和余數(shù)的關(guān)系　71

通過黑白棋通信　71

思考題　71

提示　73

思考題答案　73

奇偶校驗　74

奇偶校驗位將數(shù)字分為2　個集合　74

尋找戀人的思考題　74

思考題（尋找戀人）　74

提示：先試算較小的數(shù)　75

思考題答案　75

回顧　76

鋪設(shè)草席的思考題　77

思考題（在房間里鋪設(shè)草席）　77

提示：先計算一下草席數(shù)　78

思考題答案　78

回顧　79

一筆畫的思考題　79

思考題（哥尼斯堡七橋問題）　79

提示：試算一下　80

提示：考慮簡化一下　81

提示：考慮入口和出口　82

思考題答案　82

奇偶校驗　85

本章小結(jié)　86

第4章　數(shù)學(xué)歸納法——如何征服無窮數(shù)列

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　88

高斯求和　88

思考題（存錢罐里的錢）　88

思考一下　89

小高斯的解答　89

討論一下小高斯的解答　89

歸納　91

數(shù)學(xué)歸納法—如何征服無窮數(shù)列　91

0　以上的整數(shù)的斷言　92

小高斯的斷言　93

什么是數(shù)學(xué)歸納法　93

試著征服無窮數(shù)列　94

用數(shù)學(xué)歸納法證明小高斯的斷言　95

求出奇數(shù)的和—數(shù)學(xué)歸納法實例　96

通過數(shù)學(xué)歸納法證明　96

通過數(shù)學(xué)歸納法證明　97

圖形化說明　98

黑白棋思考題—錯誤的數(shù)學(xué)歸納法　99

思考題（黑白棋子的顏色）　99

提示：不要為圖所惑　100

思考題答案　101

編程和數(shù)學(xué)歸納法　101

通過循環(huán)表示數(shù)學(xué)歸納法　101

循環(huán)不變式　104

本章小結(jié)　107

第5章　排列組合——解決計數(shù)問題的方法

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　110

計數(shù)—與整數(shù)的對應(yīng)關(guān)系　110

何謂計數(shù)　110

注意“遺漏”和“重復(fù)”　111

植樹問題—不要忘記0　111

植樹問題思考題　111

加法法則　115

加法法則　115

乘法法則　118

乘法法則　118

置換　121

置換　121

歸納一下　122

思考題（撲克牌的擺法）　123

排列　124

排列　124

歸納一下　126

樹形圖—能夠認(rèn)清本質(zhì)嗎　128

組合　130

組合　130

歸納一下　131

置換、排列、組合的關(guān)系　133

思考題練習(xí)　134

重復(fù)組合　135

也要善于運用邏輯　137

本章小結(jié)　140

第6章　遞歸——自己定義自己

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　144

漢諾塔　144

思考題（漢諾塔）　145

提示：先從小漢諾塔著手　145

思考題答案　148

求出解析式　150

解出漢諾塔的程序　151

找出遞歸結(jié)構(gòu)　152

再談階乘　154

階乘的遞歸定義　154

思考題（和的定義）　155

遞歸和歸納　156

斐波那契數(shù)列　156

思考題（不斷繁殖的動物）　157

斐波那契數(shù)列　159

帕斯卡三角形　162

什么是帕斯卡三角形　162

遞歸定義組合數(shù)　165

組合的數(shù)學(xué)理論解釋　165

遞歸圖形　167

以遞歸形式畫樹　167

實際作圖　168

謝爾平斯基三角形　170

本章小結(jié)　171

第7章　指數(shù)爆炸——如何解決復(fù)雜問題

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　174

什么是指數(shù)爆炸　174

思考題（折紙問題）　174

指數(shù)爆炸　177

倍數(shù)游戲—指數(shù)爆炸引發(fā)的難題　178

程序的設(shè)置選項　178

不能認(rèn)為是“有限的”就不假思索　180

二分法查找—利用指數(shù)爆炸進(jìn)行查找　180

尋找犯人的思考題　180

提示：先思考人數(shù)較少的情況　181

思考題答案　182

找出遞歸結(jié)構(gòu)以及遞推公式　183

二分法查找和指數(shù)爆炸　185

對數(shù)—掌握指數(shù)爆炸的工具　186

什么是對數(shù)　187

對數(shù)和乘方的關(guān)系　187

以2為底的對數(shù)　188

以2為底的對數(shù)練習(xí)　189

對數(shù)圖表　189

指數(shù)法則和對數(shù)　191

對數(shù)和計算尺　192

密碼—利用指數(shù)爆炸加密　195

暴力破解法　195

字長和安全性的關(guān)系　196

如何處理指數(shù)爆炸　197

理解問題空間的大小　197

四種處理方法　198

本章小結(jié)　199

第8章　不可解問題——不可解的數(shù)、無法編寫的程序

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　202

反證法　202

什么是反證法　202

質(zhì)數(shù)思考題　204

反證法的注意事項　205

可數(shù)　205

什么是可數(shù)　205

可數(shù)集合的例子　206

有沒有不可數(shù)的集合　208

對角論證法　209

所有整數(shù)數(shù)列的集合是不可數(shù)的　209

所有實數(shù)的集合是不可數(shù)的　213

所有函數(shù)的集合也是不可數(shù)的　214

不可解問題　215

什么是不可解問題　215

存在不可解問題　216

思考題　217

停機(jī)問題　218

停機(jī)　218

處理程序的程序　219

什么是停機(jī)問題　219

停機(jī)問題的證明　221

寫給尚未理解的讀者　224

不可解問題有很多　226

本章小結(jié)　226

第9章　什么是程序員的數(shù)學(xué)——總結(jié)篇

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　230

何為解決問題　233

認(rèn)清模式，進(jìn)行抽象化　233

由不擅長催生出的智慧　233

幻想法則　234

程序員的數(shù)學(xué)　235

附錄　邁向機(jī)器學(xué)習(xí)的第 一步

本附錄學(xué)習(xí)內(nèi)容　238

什么是機(jī)器學(xué)習(xí)　239

受到廣泛關(guān)注的機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)　239

機(jī)器學(xué)習(xí)是隨著時代發(fā)展誕生的技術(shù)　239

預(yù)測問題和分類問題　240

預(yù)測問題　240

分類問題　243

感知器　245

什么是感知器　245

加權(quán)求和　247

激活函數(shù)　249

感知器小結(jié)　250

機(jī)器學(xué)習(xí)是如何“學(xué)習(xí)”的　250

學(xué)習(xí)的流程　250

訓(xùn)練數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)　251

損失函數(shù)　252

梯度下降法　254

作為程序員要做些什么　256

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)　256

什么是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)　256

誤差反向傳播法　258

深度學(xué)習(xí)和強(qiáng)化學(xué)習(xí)　259

人類就這樣沒用了嗎　260

附錄小結(jié)　261