《復(fù)變函數(shù)》主要講述單復(fù)變函數(shù)的基本理論,包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),解析函數(shù),復(fù)變函數(shù)的積分理論、級(jí)數(shù)理論、留數(shù)理論和幾何理論.《復(fù)變函數(shù)》注重本科生的教學(xué),也注重復(fù)變函數(shù)對(duì)于科學(xué)研究的應(yīng)用.對(duì)于本科生,內(nèi)容不會(huì)過(guò)深過(guò)難,更適用于大多數(shù)院校的本科教學(xué).
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目錄
前言
第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1
1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 1
1.1.1 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算 1
1.1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示 3
1.1.3 復(fù)數(shù)的冪與方根 7
1.2 復(fù)平面上的點(diǎn)集 10
1.3 復(fù)變函數(shù) 13
1.3.1 復(fù)變函數(shù)的定義 13
1.3.2 三個(gè)特殊的映射 13
1.3.3 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 15
習(xí)題1 17
第2章 解析函數(shù) 20
2.1 解析函數(shù)基礎(chǔ) 20
2.1.1 導(dǎo)數(shù)與微分 20
2.1.2 解析函數(shù)的概念 22
2.1.3 Cauchy-Riemann 條件 23
2.2 初等函數(shù) 27
2.2.1 指數(shù)函數(shù) 28
2.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 29
2.2.3 冪函數(shù) 31
2.2.4 三角函數(shù) 31
2.2.5 反三角函數(shù) 33
2.2.6 支點(diǎn) 34
習(xí)題2 37
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分理論 40
3.1 復(fù)變函數(shù)的積分 40
3.1.1 積分的定義 40
3.1.2 積分存在的充分條件及積分的計(jì)算方法 41
3.1.3 積分的性質(zhì) 45
3.2 Cauchy定理及其應(yīng)用 46
3.2.1 Cauchy定理 46
3.2.2 Cauchy定理的推廣 51
3.2.3 原函數(shù)與不定積分 52
3.3 Cauchy積分公式及其應(yīng)用 55
3.3.1 Cauchy積分公式 55
3.3.2 高階導(dǎo)數(shù)公式 56
3.3.3 解析函數(shù)的一些性質(zhì) 59
3.4 調(diào)和函數(shù) 64
3.4.1 調(diào)和函數(shù)的概念 64
3.4.2 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì) 67
習(xí)題3 69
第4章 復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)理論 72
4.1 一般理論 72
4.1.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 72
4.1.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 77
4.1.3 冪級(jí)數(shù) 80
4.2 Taylor級(jí)數(shù) 84
4.2.1 解析函數(shù)的Taylor展開(kāi)式 84
4.2.2 零點(diǎn) 90
4.2.3 解析函數(shù)的唯一性 91
4.3 Laurent級(jí)數(shù) 92
4.3.1 解析函數(shù)的Laurent展開(kāi)式 92
4.3.2 孤立奇點(diǎn) 97
4.3.3 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì) 102
4.3.4 整函數(shù)與亞純函數(shù) 104
習(xí)題4 106
第5章 復(fù)變函數(shù)的留數(shù)理論 109
5.1 留數(shù)定理及其推廣 109
5.1.1 留數(shù)的定義 109
5.1.2 留數(shù)定理 110
5.1.3 留數(shù)的計(jì)算方法 111
5.1.4 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 117
5.2 留數(shù)在積分計(jì)算中的應(yīng)用 118
5.2.1 形如*R(cosθ，sinθ)dθ的積分 118
5.2.2 形如*R(x)dx的積分 121
5.2.3 形如*R(x)e*dx(a>0)的積分 124
5.3 輻角原理與Rouche定理 129
5.3.1 輻角原理 129
5.3.2 Rouche定理 132
習(xí)題5 133
第6章 復(fù)變函數(shù)的幾何理論 137
6.1 共形映射 137
6.1.1 單葉解析函數(shù)的性質(zhì) 137
6.1.2 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其幾何意義 140
6.1.3 共形映射的概念 142
6.2 分式線(xiàn)性映射 143
6.2.1 分式線(xiàn)性映射的概念 143
6.2.2 共形性 145
6.2.3 保圓性 147
6.2.4 保交比性 148
6.2.5 保對(duì)稱(chēng)性 150
6.2.6 兩個(gè)特殊的分式線(xiàn)性映射 151
6.3 Riemann定理 153
6.3.1 大模原理 153
6.3.2 Schwarz引理 154
6.3.3 Riemann定理與邊界對(duì)應(yīng)定理 154
6.4 解析開(kāi)拓 157
6.4.1 解析開(kāi)拓的概念 157
6.4.2 解析開(kāi)拓的方法 158
習(xí)題6 163
參考文獻(xiàn) 166
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