本教材主要內容為線性代數,包括行列式、矩陣、線性方程組、線性空間、線性變換、內積空間、二次型與厄米型、以及變分法。在保持數學教材應有的邏輯嚴密性的同時,本書較多地照顧到了物理學的專業(yè)特點,在概念的引入、內容的組織、例題的選用、以及術語和習慣等方面,帶有明顯的物理專業(yè)特色,并盡量做到與物理學各專業(yè)的后續(xù)課程相銜接。在闡述過程中,遵循由具體到抽象的原則,力圖通俗易懂。本書適合作為綜合性大學物理類各專業(yè)的線性代數教材,也可作為各大專院校師生的教學參考書。
本教材的內容是物理學各專業(yè)必修的數學基礎課。開設這門課是為了讓學生掌握線性代數的基本知識和基本方法，提高抽象思維能力，邏輯推理能力以及實際應用能力。作為與傳統(tǒng)工科線性代數課程的區(qū)別，除行列式、矩陣、線性方程組外，加強了抽象的線性空間和線性映射這部分核心內容。教材給出了全部定理的證明，便于學生理解其含義，了解各個定理間的邏輯結構，以搭建起學科的整體框架。并且零星地介紹了一些現代數學的思想。
崔建偉，男，1981年出生。2003年南京大學物理系本科畢業(yè)，2009年1月中科院理論物理研究所博士畢業(yè)。2009年5月至2011年8月在清華大學從事博士后研究。主要研究方向為量子場論中的發(fā)散問題、Higgs物理、暗物質等超出標準模型的新物理。曾證明了圈正規(guī)化在單圈水平上能保持非Abel規(guī)范對稱性，并得到了正確的beta函數；證明了圈正規(guī)化在單圈水平能夠保持超對稱性，并驗證了超對稱的不重整定理；給出了比目前文獻中常用的規(guī)則更簡便的Majorana費曼規(guī)則；系統(tǒng)研究了鏡像暗物質模型的理論機制和觀測預言，在PRD、PLB等期刊發(fā)表數篇SCI論文。目前講授《數學物理方法基礎》、《群論》、《核物理與粒子物理》等研究生及本科生課程。
目錄
第1章行列式(1)
1.1二階與三階行列式(1)
1.1.1二元線性方程組與二階行列式(1)
1.1.2三階行列式(2)
1.2排列和置換(4)
1.3n階行列式的定義(8)
1.4行列式的性質(11)
1.5行列式按行（列）的展開(15)
1.6行列式的計算舉例(24)
1.7克拉默法則(33)
第2章矩陣(36)
2.1矩陣的定義及運算(36)
2.1.1矩陣的概念(36)
2.1.2矩陣的線性運算(39)
2.1.3矩陣的乘法(40)
2.1.4矩陣的轉置(46)
2.1.5方陣的行列式和跡(49)
2.2可逆矩陣(50)
2.3分塊矩陣(56)
2.4矩陣的初等變換(62)
2.4.1初等變換、初等矩陣(63)
2.4.2行標準型(65)
2.4.3等價、標準型(69)
2.5矩陣的秩(71)
2.5.1秩的定義(71)
2.5.2秩與初等變換(72)
2.5.3矩陣秩的一些不等式(74)
第3章線性空間(78)
3.1引言(78)
3.1.1代數和線性代數(78)
3.1.2集合論簡介(79)
3.1.3常見代數系統(tǒng)簡介(82)
3.2線性空間的定義和例子(83)
3.3子空間(87)
3.4向量組的線性無關性(90)
3.4.1線性組合(90)
3.4.2向量組的等價(91)
3.4.3線性相關性(93)
3.4.4極大無關組、秩(96)
3.5n元向量組與矩陣的關系(98)
3.6線性空間的基、維數、坐標(105)
3.6.1基和坐標(105)
3.6.2子空間的直和(109)
3.6.3坐標變換(110)
3.6.4線性空間的同構(112)
第4章線性方程組(115)
4.1線性方程組的基本概念和高斯消元法(115)
4.2線性方程組解的結構(120)
第5章線性變換(128)
5.1線性映射(128)
5.1.1線性映射的定義和基本性質(128)
5.1.2線性映射的運算(131)
5.1.3線性泛函和對偶空間(132)
5.1.4線性變換(133)
5.1.5代數、線性變換代數(136)
5.2線性變換的矩陣表示(137)
5.2.1矩陣表示(137)
5.2.2矩陣表示的變換、相似矩陣(142)
5.3本征值、本征向量(144)
5.4矩陣的相似對角化(153)
5.4.1相似對角化(153)
5.4.2不變子空間(163)
5.4.3同時對角化(165)
5.4.4Jordan標準型簡介(166)
第6章內積空間(176)
6.1實內積、歐空間(176)
6.1.1內積的定義(176)
6.1.2度規(guī)(178)
6.1.3模、夾角(179)
6.1.4正交、標準正交基(180)
6.1.5一些常見的“空間”簡介(182)
6.2標準正交基的存在性(184)
6.2.1Schmidt標準正交化方法(184)
6.2.2正交補空間(190)
6.2.3最小二乘法(192)
6.3正交矩陣和正交變換(195)
6.3.1正交矩陣(195)
6.3.2正交矩陣與標準正交基的關系(196)
6.3.3正交變換(197)
6.4對稱變換和實對稱矩陣(199)
6.4.1對稱變換(199)
6.4.2實對稱矩陣本征值和本征向量的性質(200)
6.5幺正空間(205)
6.5.1復內積、幺正空間(205)
6.5.2度規(guī)矩陣(207)
6.5.3模、正交、標準正交基(207)
6.5.4Schmidt標準正交化方法(210)
6.5.5正交補空間(212)
6.5.6厄米共軛(213)
6.5.7幺正矩陣和幺正變換(215)
6.5.8厄米矩陣和厄米變換(219)
6.5.9厄米矩陣與幺正矩陣的聯系(229)
6.5.10正規(guī)矩陣和正規(guī)變換(231)
第7章二次型和厄米型(234)
7.1二次型的定義和標準型(234)
7.1.1二次型的定義(234)
7.1.2線性替換(235)
7.1.3二次型的標準型(237)
7.2二次型的規(guī)范型和慣性定理(244)
7.2.1二次型的規(guī)范型(244)
7.2.2慣性定理(245)
7.3二次型的正定性(247)
7.3.1正定二次型的定義(247)
7.3.2正定的一些充要條件(247)
7.3.3負定、準正定、準負定(249)
7.4厄米型(255)
7.4.1厄米型的定義和等價(255)
7.4.2n元厄米型可化為2n元二次型(256)
7.4.3厄米型的標準型和規(guī)范型(256)
7.4.4慣性定理(260)
7.4.5厄米型的正定性(261)
7.4.6矩陣的奇異值分解(264)
7.4.7復對稱矩陣的奇異值分解(266)
7.5本征值問題的極值性(266)
7.5.1本征值問題的極值性(266)
7.5.2極大極小值原理(269)
7.5.3一般性結論(270)
7.5.4本征向量組的完備性(271)
第8章變分學(275)
8.1引言(275)
8.2Euler變分方程(276)
8.2.1變分學的基本問題(276)
8.2.2Euler表達式恒等于零的情形(279)
8.2.3Euler方程的形式不變性(280)
8.2.4形式標記——變分導數(280)
8.2.5含有高階導數的情形(288)
8.2.6含有多個自變函數的情形(289)
8.2.7含有多個自變量的情形(290)
8.3非固定邊界條件問題(291)
8.3.1自由邊界條件(291)
8.3.2橫交條件（約束端點問題）(292)
8.4條件極值問題(293)
8.4.1函數的條件極值問題——Lagrange乘子法(293)
8.4.2測地線問題：泛函的Lagrange乘函法(295)
8.4.3等周問題：泛函的Lagrange乘子法(297)
8.5物理學中的變分原理(299)
參考文獻(301)
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