目錄
第7章 常微分方程 1
7.1 微分方程的基本概念 1
習(xí)題7.1 3
7.2 一階微分方程及其解法 3
7.2.1 可分離變量的微分方程 4
7.2.2 齊次方程 7
7.2.3 一階線性微分方程 8
*7.2.4 伯努利方程 11
習(xí)題7.2 14
7.3 可降階的高階微分方程 15
7.3.1 y(n) = f (x)型的微分方程 15
7.3.2 y″= f (x， y′)型的微分方程 16
7.3.3 y″= f (y， y′)型的微分方程 17
習(xí)題7.3 19
7.4 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 20
7.4.1 函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 20
7.4.2 齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 21
7.4.3 非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 22
習(xí)題7.4 23
7.5 常系數(shù)齊次線性微分方程 23
7.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 23
7.5.2 n階常系數(shù)齊次線性微分方程 26
習(xí)題7.5 28
7.6 常系數(shù)非齊次線性微分方程 28
7.6.1 f (x) = Pm(x)eλx型 29
7.6.2 f (x) = eλx[Pl(x)cos ωx + (x)sin ωx]型 30
習(xí)題7.6 32
*7.7 差分方程 33
7.7.1 差分的定義 33
7.7.2 差分方程的概念 35
7.7.3 常系數(shù)線性差分方程的解 36
習(xí)題7.7 44
數(shù)學(xué)家簡介7 45
總習(xí)題7 46
第8章 空間解析幾何與向量代數(shù) 49
8.1 向量及其線性運(yùn)算 49
8.1.1 空間直角坐標(biāo)系 49
8.1.2 向量概念 50
8.1.3 向量的線性運(yùn)算 51
8.1.4 向量的模、方向角、投影 54
習(xí)題8.1 55
8.2 數(shù)量積與向量積 56
8.2.1 兩向量的數(shù)量積 56
8.2.2 兩向量的向量積 58
*8.2.3 向量的混合積 60
習(xí)題8.2 61
8.3 平面及其方程 61
8.3.1 曲面方程與空間曲線的方程的概念 61
8.3.2 平面的點(diǎn)法式方程 62
8.3.3 平面的一般方程 63
8.3.4 兩平面的夾角 64
8.3.5 點(diǎn)到平面的距離 65
習(xí)題8.3 65
8.4 空間直線及其方程 66
8.4.1 空間直線的一般方程 66
8.4.2 空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程 66
8.4.3 兩直線的夾角 67
8.4.4 直線與平面的夾角 68
習(xí)題8.4 70
8.5 曲面及其方程 71
8.5.1 球面方程 71
8.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面 72
8.5.3 柱面 73
8.5.4 二次曲面 75
習(xí)題8.5 78
8.6 空間曲線及其方程 79
8.6.1 空間曲線的一般方程 79
8.6.2 空間曲線的參數(shù)方程 80
8.6.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 81
習(xí)題8.6 82
數(shù)學(xué)家簡介8 83
總習(xí)題8 84
第9章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 85
9.1 多元函數(shù)的基本概念 85
9.1.1 平面點(diǎn)集與n維空間 85
9.1.2 多元函數(shù)的概念 87
9.1.3 二元函數(shù)的極限 89
9.1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 91
習(xí)題9.1 92
9.2 偏導(dǎo)數(shù) 93
9.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義 93
9.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 96
習(xí)題9.2 98
9.3 全微分及其應(yīng)用 99
9.3.1 全微分的概念 99
9.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 102
習(xí)題9.3 103
9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及全微分形式不變性 103
9.4.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 103
9.4.2 全微分形式不變性 107
習(xí)題9.4 108
9.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 109
9.5.1 一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的情形 109
9.5.2 方程組確定的隱函數(shù)(組)的情形 112
習(xí)題9.5 115
9.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 116
9.6.1 向量值函數(shù)的概念 116
9.6.2 空間曲線的切線與法平面 117
9.6.3 曲面的切平面與法線 119
習(xí)題9.6 121
9.7 方向?qū)��?shù)與梯度 122
9.7.1 方向?qū)��?shù) 122
9.7.2 梯度 124
9.7.3 方向?qū)��?shù)和梯度向量的關(guān)系 125
9.7.4 梯度的幾何意義 127
習(xí)題9.7 127
9.8 多元函數(shù)的極值及其求法 128
9.8.1 多元函數(shù)的極值 128
9.8.2 值與小值問題 130
9.8.3 多元函數(shù)的條件極值 131
習(xí)題9.8 133
數(shù)學(xué)家簡介9 134
總習(xí)題9 134
第10章 重積分 137
10.1 二重積分的概念與性質(zhì) 137
10.1.1 二重積分的概念 137
10.1.2 二重積分的性質(zhì) 139
習(xí)題10.1 141
10.2 二重積分的計(jì)算法 142
10.2.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 142
10.2.2 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 146
習(xí)題10.2 149
10.3 三重積分 150
10.3.1 三重積分的概念 150
10.3.2 三重積分的計(jì)算 151
習(xí)題10.3 157
10.4 重積分的應(yīng)用 158
10.4.1 曲面的面積 159
10.4.2 平面薄片與物質(zhì)的質(zhì)心 161
10.4.3 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 163
10.4.4 引力 164
習(xí)題10.4 165
數(shù)學(xué)家簡介10 166
總習(xí)題10 167
第11章 曲線積分與曲面積分 169
11.1 對(duì)弧長的曲線積分 169
11.1.1 對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 169
11.1.2 對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法 170
習(xí)題11.1 173
11.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 174
11.2.1 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 174
11.2.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 176
11.2.3 兩類曲線積分的關(guān)系 177
習(xí)題11.2 179
11.3 格林公式及其應(yīng)用 179
11.3.1 格林公式的概念 179
11.3.2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 183
11.3.3 二元函數(shù)的全微分求積 185
習(xí)題11.3 186
11.4 對(duì)面積的曲面積分 187
11.4.1 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 187
11.4.2 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 188
習(xí)題11.4 190
11.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 190
11.5.1 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 190
11.5.2 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法 193
11.5.3 兩類曲面積分間的關(guān)系 195
習(xí)題11.5 197
11.6 高斯公式和*通量與散度 198
11.6.1 高斯公式 198
*11.6.2 通量與散度 200
習(xí)題11.6 201
11.7 斯托克斯公式和*環(huán)流量與旋度 202
11.7.1 斯托克斯公式 202
*11.7.2 環(huán)流量與旋度 204
習(xí)題11.7 205
數(shù)學(xué)家簡介11 205
總習(xí)題11 206
第12章 無窮級(jí)數(shù) 209
12.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 209
12.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 209
12.1.2 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 212
習(xí)題12.1 213
12.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 214
12.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 214
12.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 219
12.2.3 收斂與條件收斂 221
習(xí)題12.2 222
12.3 冪級(jí)數(shù) 223
12.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 223
12.3.2 冪級(jí)數(shù)及其收斂性 224
12.3.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 228
習(xí)題12.3 230
12.4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)及其應(yīng)用 231
12.4.1 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 231
12.4.2 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用 237
習(xí)題12.4 240
12.5 傅里葉級(jí)數(shù) 240
12.5.1 問題的提出 241
12.5.2 三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性 242
12.5.3 函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 243
習(xí)題12.5 248
12.6 周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 248
12.6.1 奇函數(shù)、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 248
12.6.2 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 251
習(xí)題12.6 254
數(shù)學(xué)家簡介12 254
總習(xí)題12 255
參考文獻(xiàn) 258
習(xí)題答案與提示 259