許多人在微積分基本定理的幫助下解決了一個(gè)又一個(gè)積分問題,但卻對(duì)這份珍貴的禮物視而不見,對(duì)于這種現(xiàn)象,在暢銷書《微積分的力量》(微積分能有暢銷書可是罕見的)中,作者舉了個(gè)古老的笑話魚問它的朋友道:你難道不感激水嗎?另一條魚反問道:水是什么?
毋庸諱言,很長(zhǎng)一段時(shí)間以來,學(xué)生聽過很多的話就是:這個(gè)不考,大家不用看了這些要是不理解就記住吧,考試能拿上分就行得數(shù)學(xué)者得天下選擇、填空要不擇手段,蒙也得蒙對(duì)……為了考試,師生只關(guān)注考試要考的;為了考試,學(xué)生專注于刷題,以小鎮(zhèn)做題家為榮,練習(xí)只是為了敲門,學(xué)習(xí)完全異化,根本無暇發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的人文內(nèi)涵,更沒時(shí)間慢下來欣賞數(shù)學(xué)中的風(fēng)景;為了考試,老師將考試題型和解題套路固化和八股化,學(xué)生照貓畫虎,對(duì)于證明題,有的甚至背誦下來,考完即棄,完全缺乏創(chuàng)造精神;……按鄭也夫先生在《吾國(guó)教育病理》中的說法,這些教育異化現(xiàn)象的病原是學(xué)歷軍備競(jìng)賽.在這種大環(huán)境下,學(xué)生直奔主題,更關(guān)注題目的詳細(xì)解答在哪里,至于你的思考過程,我不感興趣.
眾所周知,數(shù)學(xué)以抽象而聞名,而且數(shù)學(xué)抽象是有層次的.史寧中先生進(jìn)一步指出: 初次抽象是基于現(xiàn)實(shí)的抽象,是感性具體到理性具體的過程;第二次抽象則是基于邏輯的抽象,是符號(hào)化、形式化和公理化的過程,是理性具體到理性一般的過程,教科書一般表現(xiàn)為定義定理和公式例題和應(yīng)用.初次抽象才是更本質(zhì)的抽象,因?yàn)樗鼊?chuàng)造了新的概念、運(yùn)算法則和基本原理,更有利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng).而要展示它的過程,一般需要采用啟發(fā)式教學(xué),這就帶來了困惑: 課堂上說的話很繞,編出的書很厚,滿是大量的文字卻只有少量的公式,不符合一般人對(duì)數(shù)學(xué)書的認(rèn)知.
司馬云杰先生在《文化社會(huì)學(xué)》一書中強(qiáng)調(diào),社會(huì)文化基礎(chǔ)對(duì)國(guó)家民族生存綿延的重要性,其中所謂社會(huì)文化基礎(chǔ),指的是一個(gè)國(guó)家民族社會(huì)歷史生活中由天德、王道、禮教、人心、人性、倫理、道德、宗教、哲學(xué)及其信仰、信念等所構(gòu)成的社會(huì)歷史根本存在.欲知大道,必先為史.滅人之國(guó),必先去其史,欲滅其族,必先滅其文化.(龔自珍)如今,越來越多的人已經(jīng)意識(shí)到文化的重要性,比如清華大學(xué)和華東師范大學(xué)的校長(zhǎng)們都在向新生推薦《從一到無窮大》等科普名著.那么數(shù)學(xué)的文化基礎(chǔ)是什么呢? 社會(huì)變遷會(huì)帶來文化變遷,而思想是數(shù)學(xué)的物質(zhì)形態(tài),文化則是數(shù)學(xué)的時(shí)代形態(tài).所以要從數(shù)學(xué)文化上找到破解之道,那么又該怎樣破題呢?
結(jié)合數(shù)學(xué)通識(shí)教育的課程要求、學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及作者自身的教學(xué)風(fēng)格,本書打算從趣精淺上來做文章: (1) 趣,即通過各種趣味性的數(shù)學(xué)歷史掌故和接地氣的語言敘述,展示數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)人生動(dòng)活潑、有趣滑稽的一面.作者認(rèn)為,數(shù)學(xué)文化,首先要展示數(shù)學(xué)人的人性,展示數(shù)學(xué)人作為人的喜怒哀樂.本書取名《數(shù)學(xué)大觀園》,就是化用蔣勛先生將《紅樓夢(mèng)》品讀為秘密的青春王國(guó)的理念,希望能讓讀者重拾對(duì)數(shù)學(xué)當(dāng)初的喜愛和熱情.(2) 精,即精心選擇經(jīng)典的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),重新進(jìn)行趣味性、思想性乃至哲理性的品讀,以期提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化水平、數(shù)學(xué)思維高度和數(shù)學(xué)思想深度.(3) 淺,即凡教材中所涉及的知識(shí)和方法均以淺顯介紹為主,不回避數(shù)學(xué)符號(hào),保留簡(jiǎn)單初步的運(yùn)算,同時(shí)盡量減少?gòu)?fù)雜煩瑣的運(yùn)算.
為了實(shí)現(xiàn)這種理念,本書從三個(gè)方面進(jìn)行了遞進(jìn)式鋪陳: (1) 數(shù)學(xué)觀的糾偏和重塑.先引導(dǎo)讀者從大眾、影視和數(shù)學(xué)人等視角來觀照數(shù)學(xué),然后觀瞻數(shù)學(xué)大都會(huì)的概貌,之后則從哲學(xué)和文化兩個(gè)視角進(jìn)一步領(lǐng)略數(shù)學(xué)中的人文關(guān)懷.(2) 數(shù)宇探秘,即探索數(shù)的秘密.這自然要從自然數(shù)出發(fā),先談趣聞再說史話,然后欣賞數(shù)學(xué)王冠上的一些珍寶,接下來就是數(shù)宇的擴(kuò)張之旅: 無理數(shù)虛數(shù)超復(fù)數(shù),之后則將視線聚焦到特殊的三大常數(shù)(因涉及微積分知識(shí),本部分內(nèi)容置于書末).(3) 微積分的探索之旅.先花費(fèi)較大筆墨精心論述微積分的核心知識(shí),即極限、微分和積分,然后再佐以微積分激動(dòng)人心的發(fā)展史.唯冀能通過這樣的組合式敘述,使讀者能充分領(lǐng)悟到微積分的知識(shí).如此破題數(shù)學(xué)文化基礎(chǔ),功效如何,在前述數(shù)學(xué)人文教育匱乏的大背景下,小明只能懷著忐忑又期望的心情拭目以待.
在前文所述教育生態(tài)的影響下,本書中的大量數(shù)學(xué)知識(shí)和史實(shí),許多學(xué)生,甚至一些教師,恐怕都未知一二.比如,有的高數(shù)老師不知道洛必達(dá)法則的真正發(fā)明人,有的線代老師沒聽說過數(shù)值線性代數(shù)……
本書部分內(nèi)容曾在華東理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)選修課程數(shù)學(xué)文化以及輔修課程數(shù)學(xué)思想與方法上講授多輪.感謝修讀這些課程的同學(xué)們,希望你們的課堂表現(xiàn)和所思所想已經(jīng)化入書中.
臨近交稿之際,驚悉導(dǎo)師田萬海先生(19372021)駕鶴西去.調(diào)查全國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)為國(guó)定策,研究古今初等代數(shù)澤被數(shù)代.先生主持的全國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)查,榮獲原國(guó)家科委科技進(jìn)步一等獎(jiǎng);與其他學(xué)者合作編著的《初等代數(shù)研究》教材,已經(jīng)累計(jì)印刷達(dá)36次,發(fā)行逾百萬套.作為改革開放以來我國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)科的重要奠基人之一,先生僅此兩項(xiàng)成果就讓同儕艷羨不已,后學(xué)難望其項(xiàng)背.先生為人更是謙遜正直,一貫要求弟子要講真話、做真事、解決真問題,真是為數(shù)學(xué)教育而生之人! 謹(jǐn)以此書向先生致以誠(chéng)摯的仰慕和深切的懷念!
1 數(shù)學(xué)是何物………………………………………………………………………… 1
1.1 眾說紛紜的數(shù)學(xué)……………………………………………………………………… 1
1.1.1 大眾眼中的數(shù)學(xué)………………………………………………………………… 1
1.1.2 影視作品中的數(shù)學(xué)……………………………………………………………… 2
1.1.3 數(shù)學(xué)人眼中的數(shù)學(xué)……………………………………………………………… 5
1.2 數(shù)學(xué)概觀……………………………………………………………………………… 7
1.2.1 經(jīng)典數(shù)學(xué)概觀…………………………………………………………………… 8
1.2.2 現(xiàn)代數(shù)學(xué)概觀…………………………………………………………………… 10
1.3 數(shù)學(xué)與哲學(xué)…………………………………………………………………………… 13
1.3.1 數(shù)學(xué)哲學(xué)的歷史視角…………………………………………………………… 13
1.3.2 數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代視角…………………………………………………………… 17
1.4 數(shù)學(xué)與文化…………………………………………………………………………… 20
1.4.1 文化視角下的數(shù)學(xué)……………………………………………………………… 20
1.4.2 數(shù)學(xué)的文化多樣性……………………………………………………………… 22
2 自然數(shù)探秘……………………………………………………………………… 28
2.1 自然數(shù)趣話…………………………………………………………………………… 28
2.1.1 科幻中的名數(shù)…………………………………………………………………… 28
2.1.2 拉馬努金數(shù)和水仙花數(shù)………………………………………………………… 29
2.1.3 怪獸數(shù)、缺8數(shù)和圣數(shù)………………………………………………………… 30
2.2 自然數(shù)史話…………………………………………………………………………… 33
2.2.1 從前有個(gè)數(shù)……………………………………………………………………… 33
2.2.2 數(shù)字神秘主義…………………………………………………………………… 41
2.3 數(shù)學(xué)的王冠…………………………………………………………………………… 47
2.3.1 完全數(shù)與梅森數(shù)………………………………………………………………… 47
2.3.2 親和數(shù)…………………………………………………………………………… 49
2.3.3 勾股定理、勾股數(shù)和費(fèi)馬大定理……………………………………………… 51
2.3.4 斐波那契數(shù)……………………………………………………………………… 57
3 數(shù)宇的擴(kuò)張……………………………………………………………………… 64
3.1 無理數(shù)的那些事兒…………………………………………………………………… 64
3.1.1 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)…………………………………………………………………… 64
3.1.2 什么是無理數(shù)…………………………………………………………………… 69
3.1.3 代數(shù)數(shù)…………………………………………………………………………… 72
3.2 虛數(shù)的故事…………………………………………………………………………… 77
3.2.1 虛數(shù)i引發(fā)大海嘯 …………………………………………………………… 77
3.2.2 虛數(shù)i的漫長(zhǎng)接受史…………………………………………………………… 83
3.3 超復(fù)數(shù)及尺規(guī)作圖…………………………………………………………………… 88
3.3.1 超復(fù)數(shù)…………………………………………………………………………… 88
3.3.2 尺規(guī)作圖………………………………………………………………………… 91
4 微積分之旅(上) ………………………………………………………………… 97
4.1 極限的概念和運(yùn)算…………………………………………………………………… 97
4.1.1 數(shù)列極限的定義和運(yùn)算………………………………………………………… 97
4.1.2 函數(shù)極限的定義和運(yùn)算……………………………………………………… 101
4.2 特殊極限…………………………………………………………………………… 108
4.2.1 無窮小………………………………………………………………………… 108
4.2.2 函數(shù)的連續(xù)性………………………………………………………………… 112
4.2.3 冪指函數(shù)的極限……………………………………………………………… 114
4.3 微分學(xué)……………………………………………………………………………… 117
4.3.1 導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式……………………………………………………… 117
4.3.2 微分的概念…………………………………………………………………… 121
4.3.3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則……………………………………………………………… 124
4.4 微分學(xué)的應(yīng)用……………………………………………………………………… 128
4.4.1 洛必達(dá)法則…………………………………………………………………… 128
4.4.1 函數(shù)的單調(diào)性和極值………………………………………………………… 130
5 微積分之旅(下) ……………………………………………………………… 136
5.1 積分的概念………………………………………………………………………… 136
5.1.1 不定積分的概念和公式……………………………………………………… 136
5.2.2 定積分的概念和性質(zhì)………………………………………………………… 139
5.2.3 微元法及其幾何應(yīng)用………………………………………………………… 142
5.2 微積分基本定理…………………………………………………………………… 145
5.2.1 變上限積分和微積分基本定理……………………………………………… 145
5.2.2 初試啼聲: 定積分的直接積分法…………………………………………… 148
5.3 積分的計(jì)算………………………………………………………………………… 150
5.3.1 分部積分法…………………………………………………………………… 150
5.3.2 不定積分的換元積分法……………………………………………………… 152
5.3.3 定積分的換元積分法………………………………………………………… 158
5.4 級(jí)數(shù)和微分方程初步……………………………………………………………… 160
5.4.1 級(jí)數(shù)初步……………………………………………………………………… 161
5.4.2 微分方程初步………………………………………………………………… 165
6 馴服無窮………………………………………………………………………… 167
6.1 微積分的先驅(qū)……………………………………………………………………… 167
6.1.1 言必稱希臘…………………………………………………………………… 167
6.1.2 積分的醞釀…………………………………………………………………… 173
6.1.3 微分的醞釀…………………………………………………………………… 177
6.2 微積分的創(chuàng)立……………………………………………………………………… 182
6.2.1 牛頓的流數(shù)術(shù)………………………………………………………………… 182
6.2.2 萊布尼茨的無窮小算法……………………………………………………… 190
6.3 微積分的嚴(yán)格化…………………………………………………………………… 196
6.3.1 狂飆世紀(jì)……………………………………………………………………… 196
6.3.2 馴化幽靈 …………………………………………………………………… 205
7 三大常數(shù)的秘密……………………………………………………………… 214
7.1 的密碼…………………………………………………………………………… 214
7.1.1 的文化初體驗(yàn)……………………………………………………………… 214
7.1.2 的計(jì)算史…………………………………………………………………… 216
7.1.3 到底是什么………………………………………………………………… 227
7.2 黃金數(shù)和 ……………………………………………………………………… 230
7.2.1 數(shù)學(xué)中的黃金數(shù)……………………………………………………………… 230
7.2.2 天空中的黃金率……………………………………………………………… 235
7.2.3 繪畫中的黃金分割…………………………………………………………… 241
7.3 e的故事……………………………………………………………………………… 243
7.3.1 無處不在的e ………………………………………………………………… 243
7.3.2 數(shù)學(xué)殿堂中的e ……………………………………………………………… 247
7.3.3 先有對(duì)數(shù),后有指數(shù)…………………………………………………………… 251
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