KdV方程及其高階方程是一類非常重要的淺水波方程, 這類方程具有廣泛的物理與應(yīng)用背景. 《高階KdV方程組及其怪波解》介紹了這類方程的物理背景, 并給出相應(yīng)的孤立子解、怪波解. 《高階KdV方程組及其怪波解》著重研究幾種重要類型的高階KdV 方程組在能量空間中的一些經(jīng)典結(jié)果, 其中包括適定性、長(zhǎng)時(shí)間漸近性和穩(wěn)定性結(jié)果. 利用調(diào)和分析的現(xiàn)代理論和方法, 《高階KdV方程組及其怪波解》詳細(xì)介紹了這類方程初值及初邊值問題的低正則性結(jié)果. 基于可積系統(tǒng)的Riemann-Hilbert方法, 《高階KdV方程組及其怪波解》同時(shí)研究了可積的Hirota方程及五階mKdV方程解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為, 給出了方程解漸近主項(xiàng)的精確數(shù)學(xué)表達(dá)式.
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目錄
前言
第1章KdV，mKdV及其高階方程的物理背景和怪波解1
1.1KdV方程的物理背景及孤立子1
1.2mKdV方程的物理背景及怪波解1
1.2.1一階周期解和有理分式解3
1.2.2二階周期解4
1.2.3退化解5
1.2.4二階有理分式解6
1.3五階KdV方程的物理背景及孤立子7
1.4五階mKdV方程的守恒律、周期解和有理解10
第2章KdV方程在H-1(R)中的適定性16
2.1引言16
2.1.1局部光滑性16
2.1.2概念和預(yù)備知識(shí)17
2.2對(duì)角格林函數(shù)18
2.3動(dòng)力學(xué)28
2.4等度連續(xù)性32
2.5適定性35
2.6周期情形38
2.7局部光滑性45
第3章高階廣義KdV型方程組的周期邊界問題與初值問題53
3.1引言53
3.2方程組(3.1.6)的周期邊界問題(3.1.2)54
3.3方程組(3.1.1)的周期邊界問題(3.1.2)63
3.4方程組(3.1.1)的初值問題(3.1.3)76
3.5p=1的情況80
第4章一類具導(dǎo)數(shù)uxp的廣義KdV方程組的弱解84
4.1引言84
4.2問題(4.1.3)，(4.1.5)近似解的存在性85
4.3一致先驗(yàn)估計(jì)89
4.4初值問題的廣義解91
4.5t→1的漸近解92
4.5.1“blowup”問題92
第5章一類五階KdV方程的光滑解94
5.1引言94
5.2周期邊值問題(5.1.1)，(5.1.2)95
5.3初值問題(5.1.1)，(5.1.3)103
第6章高階多變量KdV型方程組整體弱解的存在性106
6.1引言106
6.2線性拋物型方程的周期初值問題107
6.3非線性拋物組(6.1.2)的周期邊界問題(6.1.3)108
6.4周期邊界問題(6.1.1)，(6.1.3)的整體弱解115
6.5初值問題(6.1.2)，(6.1.4)的整體弱解117
6.6初值問題(6.1.1)，(6.1.4)的整體弱解118
6.7無限時(shí)間區(qū)間上的廣義解119
6.8廣義解當(dāng)t→1時(shí)的漸近性120
6.9廣義解的“blow-up”性質(zhì)120
第7章KdV-BBM方程的整體解122
7.1引言122
7.2主要結(jié)果及證明124
第8章KdV-BO方程的整體解129
8.1引言129
8.2預(yù)備知識(shí)131
8.3局部適定性: l=2135
8.4定理8.1.3的證明140
第9章一類KdV-NLS方程組整體解的存在性和唯一性143
9.1引言143
9.2積分先驗(yàn)估計(jì)144
9.3方程(9.1.4)，(9.1.5)Cauchy問題和周期初值問題局部解的存在性154
9.4方程(9.1.1)，(9.1.2)Cauchy問題和周期初值問題整體解的存在性、唯一性162
第10章Hirota型方程的整體光滑解167
10.1引言167
10.2主要結(jié)果167
10.3主要結(jié)果的證明168
10.3.1定理10.2.1的證明168
10.3.2定理10.2.2的證明173
10.3.3定理10.2.3的證明173
第11章Hirota方程初邊值問題解的長(zhǎng)時(shí)間漸近性176
11.1引言176
11.2RH問題177
11.3一類可解的RH問題182
11.4RH問題的形變183
11.5穩(wěn)態(tài)點(diǎn)k1和k2鄰域內(nèi)的RH問題190
11.6長(zhǎng)時(shí)間漸近公式196
第12章一維KdV方程的初邊值問題202
12.1引言202
12.2邊界算子工作的回顧206
12.2.1線性形式208
12.2.2非線性形式211
12.3Duhamel邊界力算子類213
12.4一些函數(shù)空間的性質(zhì)218
12.5某些估計(jì)218
12.5.1Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分估計(jì)218
12.5.2群的估計(jì)221
12.5.3Duhamel非齊次解算子221
12.5.4Duhamel邊界力子類的估計(jì)222
12.5.5雙線性估計(jì)226
12.6左半直線問題234
12.7右半直線問題238
12.8直線段問題239
第13章KdV-NLS方程的初邊值問題243
13.1引言243
13.1.1半直線上的模型244
13.1.2初邊值的函數(shù)空間245
13.1.3主要結(jié)果246
13.1.4證明技巧248
13.2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子的相關(guān)估計(jì)249
13.2.1函數(shù)空間249
13.2.2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分251
13.2.3一維積分基本估計(jì)252
13.3R+和R-上的線性問題252
13.3.1Schrodinger方程自由傳播子的線性估計(jì)254
13.3.2線性Schrodinger方程的邊界力算子254
13.3.3線性Schrodinger方程的Duhamel邊界力算子類255
13.3.4KdV方程的線性群257
13.3.5線性KdV方程的邊界力算子257
13.3.6線性KdV方程的Duhamel邊界力算子類259
13.4Duhamel非齊次解算子262
13.5非線性估計(jì)263
13.5.1已知的非線性估計(jì)263
13.5.2耦合項(xiàng)的雙非線性估計(jì)263
13.5.3命題13.5.1的證明264
13.5.4命題13.5.2的證明268
13.5.5命題13.5.3的證明268
13.5.6命題13.5.4的證明273
13.6主要結(jié)果的證明274
13.6.1定理13.1.1的證明274
13.6.2定理13.1.2的證明278
13.6.3定理13.1.3的證明279
13.6.4定理13.1.4的證明282
第14章五階KdV方程的初邊值問題285
14.1引言285
14.2線性估計(jì)和光滑性質(zhì)287
14.3局部適定性298
14.3.1非線性估計(jì)298
14.3.2定理14.1.1的證明304
14.4全局適定性308
第15章五階mKdV方程解的長(zhǎng)時(shí)間漸近性309
15.1引言309
15.2預(yù)備知識(shí)312
15.2.1RH問題312
15.2.2PainlevéII RH問題315
15.2.3一類與PainlevéII方程解相關(guān)的RH問題316
15.3區(qū)域(ii)中解的長(zhǎng)時(shí)間漸近分析319
15.4第一過渡區(qū)域(a)中解的漸近性345
15.5第二過渡區(qū)域(b)中解的漸近性353
第16章KdV方程組的軌道穩(wěn)定性367
16.1引言367
16.2孤立波的存在性367
16.3主要結(jié)果368
16.4定理16.3.1的證明371
16.5定理16.3.2的證明375
第17章次臨界廣義KdV方程孤立子的漸近穩(wěn)定性379
17.1引言379
17.2預(yù)備知識(shí)384
17.3當(dāng)s→+1時(shí)， ε(s)和λ(s)的漸近行為385
17.3.1ε(s)的漸近行為385
17.3.2λ(s)的收斂性394
17.4從非線性Liouville性質(zhì)到線性Liouville性質(zhì)的過渡395
17.5線性Liouville性質(zhì)400
參考文獻(xiàn)410
索引417
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