第1篇 高 等 數(shù) 學(xué)

1.1函數(shù)(2)

1.1.1求幾類函數(shù)的表達(dá)式(2)

題型1.1.1.1已知函數(shù)，求其反函數(shù)的表達(dá)式(2)

題型1.1.1.2求與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的函數(shù)表達(dá)式(2)

1.1.2奇、偶函數(shù)的判別及其性質(zhì)的應(yīng)用(4)

題型1.1.2.1判別經(jīng)四則運(yùn)算后的函數(shù)的奇偶性(4)

題型1.1.2.2判別自變量帶相反符號的兩同名函數(shù)的代數(shù)和的奇偶性(4)

題型1.1.2.3判別復(fù)合函數(shù)的奇偶性(4)

題型1.1.2.4判別原函數(shù)F(x)=x0f(t)dt的奇偶性(5)

題型1.1.2.5判別函數(shù)(akx±1)/(akx��1)的奇偶性(a>0,a1,k0)(5)

題型1.1.2.6奇、偶函數(shù)的幾個性質(zhì)的應(yīng)用(5)

題型1.1.2.7判斷由多種復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的原函數(shù)的奇偶性(6)

1.1.3函數(shù)有界性的判定(6)

題型1.1.3.1判定在有限開區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)的有界性(7)

題型1.1.3.2判定在無窮區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)的有界性(7)

題型1.1.3.3判定分段連續(xù)函數(shù)的有界性(8)

1.1.4討論函數(shù)的周期性(8)

1.2極限、連續(xù)(10)

1.2.1極限的概念與基本性質(zhì)(10)

題型1.2.1.1正確理解極限定義中的ε�睳ε��ε�瞂語言的含義(10)

題型1.2.1.2正確區(qū)別無窮大量與無界變量(10)

題型1.2.1.3正確運(yùn)用極限的保序性、保號性(12)

題型1.2.1.4判別極限的存在性(13)

題型1.2.1.5正確運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則及夾逼準(zhǔn)則求極限(13)

題型1.2.1.6正確理解乘積極限的存在性(14)

1.2.2求未定式極限(15)

題型1.2.2.1求00型或型極限(15)

題型1.2.2.2求0·型極限(19)

題型1.2.2.3求-型極限(19)

題型1.2.2.4求冪指函數(shù)型(00型、0型、1型)極限(20)

1.2.3求數(shù)列極限(24)

題型1.2.3.1求無窮多項和的極限(24)

題型1.2.3.2求由遞推關(guān)系式給出的數(shù)列極限(29)

題型1.2.3.3求一般數(shù)列的極限(30)

1.2.4求幾類子函數(shù)形式特殊的函數(shù)極限(30)

題型1.2.4.1求需先考察左、右極限的函數(shù)極限(30)

題型1.2.4.2求含1/x的函數(shù)極限(33)

題型1.2.4.3求含根式差的函數(shù)極限(33)

題型1.2.4.4求含指數(shù)函數(shù)差的函數(shù)極限(33)

題型1.2.4.5求含冪指函數(shù)的函數(shù)極限(34)

題型1.2.4.6求含lnf(x)的函數(shù)極限，其中l(wèi)imx□f(x)=1(34)

題型1.2.4.7求含有界變量為因子的函數(shù)極限(35)

題型1.2.4.8求含參變量x的函數(shù)極限limn(x,n)(35)

1.2.5已知含未知函數(shù)的極限，求與該函數(shù)有關(guān)的極限(37)

1.2.6求極限式中的待定常數(shù)(39)

題型1.2.6.1求有理函數(shù)極限式中的待定常數(shù)(39)

題型1.2.6.2確定分式函數(shù)極限式中的待定常數(shù)(40)

題型1.2.6.3求±型的根式極限式中的待定常數(shù)(42)

題型1.2.6.4求含變限積分的極限式中的待定常數(shù)(43)

1.2.7比較和確定無窮小量的階(43)

題型1.2.7.1比較無窮小量的階(44)

題型1.2.7.2確定無窮小量為幾階無窮小量(45)

題型1.2.7.3利用無窮小量階的比較求待定常數(shù)(46)

1.2.8討論函數(shù)的連續(xù)性及間斷點(diǎn)的類型(47)

題型1.2.8.1判別初等函數(shù)的連續(xù)性(47)

題型1.2.8.2討論分段函數(shù)的連續(xù)性(48)

題型1.2.8.3討論含參變量的極限式所定義的函數(shù)的連續(xù)性(49)

題型1.2.8.4判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型(49)

1.2.9連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的兩點(diǎn)應(yīng)用(51)

題型1.2.9.1利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明中值等式命題(51)

題型1.2.9.2證明方程實(shí)根的存在性(52)

題型1.2.9.3根據(jù)方程根的存在性討論方程中的參數(shù)(53)

1.2.10極限在經(jīng)濟(jì)活動分析中的應(yīng)用(54)

題型1.2.10.1計算連續(xù)復(fù)利(54)

題型1.2.10.2求解貼現(xiàn)問題(54)

1.3一元函數(shù)微分學(xué)(57)

1.3.1導(dǎo)數(shù)定義的三點(diǎn)應(yīng)用(57)

題型1.3.1.1討論函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性(57)

題型1.3.1.2利用導(dǎo)數(shù)定義求某些函數(shù)的極限(61)

題型1.3.1.3利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)表達(dá)式(63)

1.3.2討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性及其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性(64)

題型1.3.2.1討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性(64)

題型1.3.2.2討論分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性(65)

題型1.3.2.3討論一類特殊分段函數(shù)在其分段點(diǎn)的連續(xù)性、可導(dǎo)性及其導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性

(66)

1.3.3討論含值的函數(shù)的可導(dǎo)性(66)

題型1.3.3.1討論值函數(shù)|f(x)|的可導(dǎo)性(66)

題型1.3.3.2討論f(x)=|(x)|g(x)的可導(dǎo)性(67)

1.3.4求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分(68)

題型1.3.4.1求復(fù)合函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)(68)

題型1.3.4.2求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(69)

題型1.3.4.3求由一個方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(70)

題型1.3.4.4求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)(71)

題型1.3.4.5求帶值的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(71)

題型1.3.4.6求冪指函數(shù)及含多個因子連乘積的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(72)

題型1.3.4.7求某些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(73)

題型1.3.4.8求一元函數(shù)的微分(75)

1.3.5利用函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性確定其待定常數(shù)(77)

題型1.3.5.1利用函數(shù)的連續(xù)性確定其待定常數(shù)(77)

題型1.3.5.2根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性確定待定常數(shù)(78)

1.3.6利用微分中值定理的條件及其結(jié)論解題(79)

1.3.7利用羅爾定理證明中值等式(81)

題型1.3.7.1證明存在(a,b)，使cf()=dg()，其中c,d為常數(shù)(81)

題型1.3.7.2證明存在(a,b)，使f()g() f()g()=0(82)

題型1.3.7.3證明存在(a,b)，使f()g()-f()g()=0(g()0)(83)

題型1.3.7.4證明存在(a,b)，使f() g()f()=0(83)

題型1.3.7.5證明存在(a,b)，使f() g()［f()-b］=b(84)

題型1.3.7.6已知函數(shù)在多點(diǎn)處的取值情況，證明有關(guān)的中值等式(85)

題型1.3.7.7證明存在(a,b)，使nf() f()=0(n為正整數(shù))(85)

題型1.3.7.8利用定積分等式或變限定積分證明中值等式(86)

題型1.3.7.9證明存在(a,b)，使F(k)()=0(k2)(88)

1.3.8拉格朗日中值定理的幾點(diǎn)應(yīng)用(88)

題型1.3.8.1證明與函數(shù)改變量(增量)有關(guān)的中值(不)等式(89)

題型1.3.8.2證明函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(90)

題型1.3.8.3證明含或可化為函數(shù)差值的不等式(92)

題型1.3.8.4求中值的(極限)位置(92)

1.3.9利用柯西定理證明中值等式(93)

題型1.3.9.1證明兩函數(shù)差值之比的中值等式(93)

題型1.3.9.2證明兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)之比的中值等式(94)

1.3.10證明多個中值所滿足的中值等式(95)

1.3.11利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)性態(tài)(97)

題型1.3.11.1證明函數(shù)在區(qū)間I上是一個常數(shù)(97)

題型1.3.11.2證明(判別)函數(shù)的單調(diào)性(98)

題型1.3.11.3 利用極限式討論函數(shù)是否取得極值(99)

題型1.3.11.4利用二階微分方程討論函數(shù)是否取極值，其曲線是否有拐點(diǎn)(101)

題型1.3.11.5利用導(dǎo)數(shù)(值)的不等式，討論函數(shù)是否取極值，其曲線是否有拐點(diǎn)(101)

題型1.3.11.6求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、值(102)

題型1.3.11.7求曲線凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)(103)

題型1.3.11.8求曲線的漸近線(106)

題型1.3.11.9利用函數(shù)性態(tài)作函數(shù)圖形(107)

題型1.3.11.10已知函數(shù)的圖形，確定其函數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)(109)

題型1.3.11.11利用導(dǎo)函數(shù)的圖形，確定原來函數(shù)的性態(tài)(109)

1.3.12利用函數(shù)性態(tài)，討論方程的根(110)

題型1.3.12.1討論不含參數(shù)的方程實(shí)根的存在性及其個數(shù)(110)

題型1.3.12.2討論含參數(shù)的方程實(shí)根的個數(shù)及其所在區(qū)間(110)

1.3.13利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明或判斷不等式(111)

題型1.3.13.1已知F(a)0(或F(b)0),證明x>a(或x0(111)

題型1.3.13.2證明含常數(shù)加項的不等式(114)

題型1.3.13.3利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的大小比較函數(shù)值的大小(115)

題型1.3.13.4證明含兩個變量(常數(shù))的函數(shù)(數(shù)值)不等式(116)

1.3.14一元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(117)

題型1.3.14.1求平面曲線的切線方程和法線方程(117)

題型1.3.14.2求解與切線在坐標(biāo)軸上的截距有關(guān)的問題(118)

題型1.3.14.3求解與兩曲線相切的有關(guān)問題(119)

1.3.15導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)活動分析中的應(yīng)用(119)

題型1.3.15.1計算彈性(121)

題型1.3.15.2計算與邊際成本或平均成本相關(guān)的問題(121)

題型1.3.15.3求解與邊際和彈性有關(guān)的應(yīng)用題(122)

題型1.3.15.4求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中一元函數(shù)的值問題(124)

1.4一元函數(shù)積分學(xué)(126)

1.4.1原函數(shù)的判定及其求法(126)

題型1.4.1.1函數(shù)存在原函數(shù)的條件(126)

題型1.4.1.2原函數(shù)的判定(127)

題型1.4.1.3求分段函數(shù)的原函數(shù)(127)

題型1.4.1.4利用積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的互逆關(guān)系求解與原函數(shù)有關(guān)的問題(129)

題型1.4.1.5已知函數(shù)的原函數(shù)，求該函數(shù)或與該函數(shù)有關(guān)的不定積分(129)

1.4.2計算不定積分(130)

題型1.4.2.1計算f(x)g(x)dx(130)

題型1.4.2.2計算簡單無理函數(shù)的不定積分(131)

題型1.4.2.3求1(ax b)kf1(ax b)k-1dx，其中k1為正實(shí)數(shù)(133)

題型1.4.2.4求f(x)g(x)dx(134)

題型1.4.2.5求被積函數(shù)的分母為相差常數(shù)的兩函數(shù)乘積的積分(136)

題型1.4.2.6求被積函數(shù)的分子、分母為sinx,cosx的線性組合的不定積分(137)

題型1.4.2.7求被積函數(shù)含反三角函數(shù)為因子函數(shù)的積分(137)

1.4.3利用定積分性質(zhì)計算定積分(138)

題型1.4.3.1利用其幾何意義計算定積分(138)

題型1.4.3.2計算對稱區(qū)間上的定積分(139)

題型1.4.3.3計算周期函數(shù)的定積分(139)

題型1.4.3.4利用定積分的常用計算公式求其值(140)

題型1.4.3.5計算被積函數(shù)含函數(shù)導(dǎo)數(shù)的積分(142)

題型1.4.3.6比較和估計定積分的大小(142)

題型1.4.3.7求解含積分值為常數(shù)的函數(shù)方程(144)

題型1.4.3.8計算幾類需要分子區(qū)間積分的定積分(145)

題型1.4.3.9計算含參數(shù)的定積分(146)

題型1.4.3.10求需換元計算的定積分(147)

題型1.4.3.11求連續(xù)函數(shù)的定積分的極限(148)

1.4.4求解與變限積分有關(guān)的問題(149)

題型1.4.4.1求含變限積分的未定式極限(149)

題型1.4.4.2求變限積分的導(dǎo)數(shù)(151)

題型1.4.4.3求變限積分的定積分(153)

題型1.4.4.4計算分段函數(shù)的變限積分(153)

題型1.4.4.5討論變限積分函數(shù)的性態(tài)(154)

1.4.5證明定積分等式(155)

題型1.4.5.1證明定積分的變換公式(155)

題型1.4.5.2證明定積分中值等式(157)

1.4.6定積分不等式的常用證法(158)

1.4.7計算反常積分(162)

題型1.4.7.1計算無窮區(qū)間上的反常積分(162)

題型1.4.7.2判別 adxxp與 adxx(lnx)p(a>0)的斂散性(165)

題型1.4.7.3計算無界函數(shù)的反常積分(165)

題型1.4.7.4判別badx(b-x)p與badx(x-a)p的斂散性(167)

題型1.4.7.5判別混合型反常積分的斂散性，如收斂計算其值(168)

1.4.8定積分的應(yīng)用(169)

題型1.4.8.1已知曲線方程，求其所圍平面圖形的面積(169)

題型1.4.8.2求旋轉(zhuǎn)體體積(170)

題型1.4.8.3求解幾何應(yīng)用與值問題相結(jié)合的應(yīng)用題(173)

題型1.4.8.4已知曲線所圍平面圖形的面積(或其旋轉(zhuǎn)體體積)反求該曲線(174)

題型1.4.8.5求函數(shù)在區(qū)間上的平均值(174)

題型1.4.8.6由變化率求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)或其變化值(175)

題型1.4.8.7由邊際函數(shù)求()總函數(shù)(176)

1.5多元函數(shù)微積分學(xué)(178)

1.5.1二(多)元函數(shù)微分學(xué)中的幾個概念(178)

題型1.5.1.1判別二元函數(shù)的極限、連續(xù)、可偏導(dǎo)及可微之間的相互關(guān)系(179)

題型1.5.1.2用定義判別二元函數(shù)在某點(diǎn)是否可微(180)

1.5.2計算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分(181)

題型1.5.2.1計算顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(181)

題型1.5.2.2求帶抽象函數(shù)記號的復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)(182)

題型1.5.2.3利用隱函數(shù)存在定理確定隱函數(shù)(186)

題型1.5.2.4計算由一個方程確定的多元隱函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)(186)

題型1.5.2.5求由方程組確定的多元隱函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)(187)

題型1.5.2.6變換含一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式(188)

題型1.5.2.7求二元函數(shù)的全微分(189)

1.5.3多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用(190)

題型1.5.3.1求二元函數(shù)的極值和值(190)

題型1.5.3.2求二(多)元函數(shù)的條件極值(192)

1.5.4用直角坐標(biāo)系計算二重積分(195)

題型1.5.4.1根據(jù)積分區(qū)域選擇積分次序計算二重積分(195)

題型1.5.4.2根據(jù)被積函數(shù)選擇積分次序計算二重積分(196)

題型1.5.4.3證明二次積分等于單積分(198)

題型1.5.4.4利用對稱性簡化計算二重積分(198)

題型1.5.4.5分塊計算二重積分(201)

題型1.5.4.6計算無界區(qū)域上較簡單的二重積分(203)

1.5.5用極坐標(biāo)系計算二重積分(205)

題型1.5.5.1計算圓域x2 y2a2(a>0)上的二重積分(205)

題型1.5.5.2計算圓域x2 y22ax(a>0)上的二重積分(206)

題型1.5.5.3計算圓域x2 y2-2ax(a>0)上的二重積分(206)

題型1.5.5.4計算圓域x2 y22by(b>0)上的二重積分(207)

題型1.5.5.5計算圓域x2 y2-2by(b>0)上的二重積分(208)

題型1.5.5.6計算圓域x2 y22ax 2by c上的二重積分(209)

1.5.6交換二次積分次序與轉(zhuǎn)換二次積分(210)

題型1.5.6.1交換二(累)次積分的積分次序(210)

題型1.5.6.2轉(zhuǎn)換二次積分(211)

1.5.7求含二重積分的極限(212)

1.6無窮級數(shù)(215)

1.6.1判別常數(shù)項級數(shù)的斂散性(215)

題型1.6.1.1判別正項級數(shù)的斂散性(215)

題型1.6.1.2判別交錯級數(shù)的斂散性(220)

題型1.6.1.3判別任意項級數(shù)的斂散性(222)

1.6.2求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域(227)

1.6.3求級數(shù)的和函數(shù)(229)

題型1.6.3.1求n=1P(n)xn的和函數(shù)，其中P(n)為n的多項式(230)

題型1.6.3.2求n=01Q(n)xn的和函數(shù)，其中Q(n)為n的多項式(232)

題型1.6.3.3求n=0P(n)Q(n)xn的和函數(shù)，其中P(n)及Q(n)為n的多項式(234)

題型1.6.3.4求其系數(shù)分母為連乘積的冪級數(shù)的和函數(shù)(234)

題型1.6.3.5求數(shù)項級數(shù)的和(236)

1.6.4初等函數(shù)展為冪級數(shù)與簡單冪級數(shù)求和(237)

題型1.6.4.1初等函數(shù)f(x)展為冪級數(shù)(237)

題型1.6.4.2求函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)(240)

題型1.6.4.3利用冪級數(shù)的展開式求數(shù)列通項(240)

1.7常微分方程與差分方程(242)

1.7.1求解一階線性微分方程(242)

題型1.7.1.1求解變量可分離的微分方程(242)

題型1.7.1.2求解齊次微分方程(242)

題型1.7.1.3求解一階線性微分方程(243)

題型1.7.1.4求解以x為因變量，y為自變量的一階微分方程(245)

題型1.7.1.5求以分段函數(shù)為非齊次項或系數(shù)的一階微分方程的連續(xù)解(246)

題型1.7.1.6求解可化為一階微分方程的函數(shù)方程(247)

1.7.2求解二階(高階)常系數(shù)線性微分方程(248)

題型1.7.2.1求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程(248)

題型1.7.2.2求解高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程(249)

題型1.7.2.3求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(249)

題型1.7.2.4變換已知的函數(shù)方程或微分方程為新的形式，并求其解(251)

題型1.7.2.5已知線性微分方程，求具有某性質(zhì)的特解(253)

1.7.3已知特解，反求其二階常系數(shù)線性方程(254)

題型1.7.3.1已知特解，反求其二階齊次方程(254)

題型1.7.3.2已知特解，反求其二階非齊次方程(255)

1.7.4微分方程的簡單應(yīng)用(255)

題型1.7.4.1求解與幾何量有關(guān)的問題(255)

題型1.7.4.2求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題(256)

1.7.5常系數(shù)線性差分方程(257)

題型1.7.5.1求解一階常系數(shù)齊次差分方程(258)

題型1.7.5.2求解一階非齊次差分方程(258)

題型1.7.5.3求解二階常系數(shù)非齊次差分方程(262)

第2篇 線 性 代 數(shù)

2.1計算行列式(264)

2.1.1計算數(shù)字型行列式(264)

題型2.1.1.1計算非零元素(主要)在一條或兩條線上的行列式(264)

題型2.1.1.2計算非零元素在三條線上的行列式(266)

題型2.1.1.3計算行(列)和相等的行列式(267)

題型2.1.1.4計算范德蒙行列式(268)

題型2.1.1.5求代數(shù)余子式之和的值(269)

題型2.1.1.6計算n階可逆矩陣的所有代數(shù)余子式的和(270)

題型2.1.1.7求行列式中含某因子的所有項(270)

2.1.2計算抽象矩陣的行列式(271)

題型2.1.2.1計算由行(列)向量表示的矩陣的行列式的值(271)

題型2.1.2.2計算與伴隨矩陣有關(guān)的矩陣行列式(272)

題型2.1.2.3計算含零子塊的四分塊矩陣的行列式(273)

題型2.1.2.4證明方陣的行列式等于零或不等零(273)

2.1.3克拉默法則的應(yīng)用(274)

2.2矩陣(277)

2.2.1證明矩陣的可逆性(277)

題型2.2.1.1證明矩陣可逆(277)

題型2.2.1.2證明和(差)矩陣可逆(279)

題型2.2.1.3證明方陣為不可逆矩陣(280)

2.2.2矩陣元素給定，求其逆矩陣的方法(280)

2.2.3求解與伴隨矩陣有關(guān)的問題(282)

題型2.2.3.1計算與伴隨矩陣有關(guān)的矩陣行列式(282)

題型2.2.3.2求與伴隨矩陣有關(guān)的矩陣的逆矩陣(283)

題型2.2.3.3求與伴隨矩陣有關(guān)的矩陣的秩(284)

題型2.2.3.4求伴隨矩陣(285)

題型2.2.3.5證明伴隨矩陣的性質(zhì)(286)

2.2.4計算方陣高次冪的方法(287)

2.2.5求矩陣的秩(291)

題型2.2.5.1求元素具體給定的矩陣的秩(291)

題型2.2.5.2求抽象矩陣的秩(292)

題型2.2.5.3已知矩陣的秩，求其待定常數(shù)(295)

2.2.6分塊矩陣乘法運(yùn)算的應(yīng)用(296)

2.2.7初等變換與初等矩陣的關(guān)系的應(yīng)用(298)

題型2.2.7.1用初等矩陣表示初等變換(298)

題型2.2.7.2利用初等矩陣的性質(zhì)計算矩陣(299)

題型2.2.7.3利用矩陣的初等變換性質(zhì)解題(299)

2.2.8求解矩陣方程(300)

題型2.2.8.1求解含單位矩陣E加項的矩陣方程(300)

題型2.2.8.2求解未知矩陣前或(和)后的系數(shù)矩陣可逆的矩陣方程(301)

題型2.2.8.3求解含多個未知矩陣的矩陣方程(302)

題型2.2.8.4已知一矩陣方程，求方程中某矩陣的行列式(304)

2.2.9求解與矩陣等價的有關(guān)問題(305)

題型2.2.9.1判別兩矩陣等價(305)

題型2.2.9.2利用矩陣等價的性質(zhì)求解有關(guān)問題(305)

2.3向量(307)

2.3.1判別向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)(307)

題型2.3.1.1用線性相關(guān)性定義做選擇題、填空題(307)

題型2.3.1.2判別分量已知的向量組的線性相關(guān)性(308)

題型2.3.1.3證明幾類向量組的線性相關(guān)性(310)

題型2.3.1.4已知向量組的線性相關(guān)性，求其待定常數(shù)(315)

2.3.2判定向量能否由向量組線性表示(316)

題型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量組線性表示(316)

題型2.3.2.2判斷一抽象向量能否由向量組線性表示(317)

題型2.3.2.3判別一向量組可否由另一向量組線性表示(318)

2.3.3兩向量組等價的判別方法及常用證法(319)

2.3.4向量組的秩與極大線性無關(guān)組的求(證)法(322)

題型2.3.4.1求分量給出的向量組的秩及其極大無關(guān)組(322)

題型2.3.4.2將向量用極大線性無關(guān)組線性表示(323)

題型2.3.4.3求解(證明)與向量組的秩有關(guān)的問題(324)

題型2.3.4.4證一向量組為一極大無關(guān)組(326)

2.3.5將線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化(326)

2.4線性方程組(328)

2.4.1判定線性方程組解的情況(328)

題型2.4.1.1判定齊次線性方程組解的情況(328)

題型2.4.1.2判定非齊次線性方程組解的情況(331)

2.4.2由其解反求方程組或其參數(shù)(332)

題型2.4.2.1已知AX=0的解的情況，反求A中參數(shù)(332)

題型2.4.2.2已知AX=b的解的情況，反求方程組中參數(shù)(333)

題型2.4.2.3已知其基礎(chǔ)解系，求該方程組的系數(shù)矩陣(334)

2.4.3證明一組向量為基礎(chǔ)解系(335)

2.4.4基礎(chǔ)解系和特解的簡便求法(337)

2.4.5求解含參數(shù)的線性方程組(338)

題型2.4.5.1求解方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的含參數(shù)的線性方程組(338)

題型2.4.5.2求解方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)不等的含參數(shù)的線性方程組(342)

題型2.4.5.3求解參數(shù)僅出現(xiàn)在常數(shù)項的線性方程組(343)

題型2.4.5.4求解通解滿足一定條件的含參數(shù)的方程組(344)

題型2.4.5.5求解有無窮多解的矩陣方程(344)

2.4.6求抽象線性方程組的通解(346)

題型2.4.6.1A沒有具體給出，求AX=0的通解(347)

題型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解(347)

題型2.4.6.3利用線性方程組的向量形式求(證明)其解(349)

2.4.7求兩線性方程組的非零公共解(350)

題型2.4.7.1求兩齊次線性方程組的非零公共解(350)

題型2.4.7.2證明兩齊次線性方程組有非零公共解(351)

題型2.4.7.3討論兩方程組同解的有關(guān)問題(352)

2.5矩陣的特征值、特征向量(354)

2.5.1求矩陣的特征值、特征向量(354)

題型2.5.1.1求元素已給出的矩陣的特征值、特征向量(354)

題型2.5.1.2求(證明)抽象矩陣的特征值、特征向量(356)

2.5.2由特征值和(或)特征向量反求其矩陣(358)

題型2.5.2.1由特征值和(或)特征向量反求其矩陣的待定常數(shù)(358)

題型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩陣(360)

2.5.3求相關(guān)聯(lián)矩陣的特征值、特征向量(361)

2.5.4判別或證明矩陣是否可對角化(363)

題型2.5.4.1判別元素給定的矩陣是否可對角化(363)

題型2.5.4.2判別或證明含重特征值的矩陣是否可對角化(364)

題型2.5.4.3判別或證明滿足抽象矩陣等式的矩陣是否可對角化(365)

2.5.5相似矩陣的判別及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用(366)

題型2.5.5.1判定兩矩陣是否相似(366)

題型2.5.5.2相似矩陣性質(zhì)的簡單應(yīng)用(368)

2.5.6與兩矩陣相似有關(guān)的計算(370)

題型2.5.6.1n階矩陣A可相似對角化，求A中待定常數(shù)及可逆矩陣P，使P-1AP

=diag(λ1,λ2,…,λn)(λi為A的特征值)(370)

題型2.5.6.2求n階實(shí)對稱矩陣A中待定常數(shù)及正交矩陣Q，使Q-1AQ=QTAQ

=diag(λ1,λ2,…,λn)(λi為A的特征值)(371)

題型2.5.6.3A為實(shí)對稱矩陣，求與其相似的對角矩陣Λ(373)

題型2.5.6.4已知矩陣A和可逆陣P，使P-1AP=B,求方陣B(374)

題型2.5.6.5計算相似矩陣的高次冪(詳見2.2.4節(jié))(374)

2.6二次型(375)

2.6.1求二次型的矩陣及其秩(375)

題型2.6.1.1用矩陣形式表示二次型(375)

題型2.6.1.2求二次型的秩(376)

2.6.2化標(biāo)準(zhǔn)形及由標(biāo)準(zhǔn)形確定二次型(377)

題型2.6.2.1化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形(378)

題型2.6.2.2將實(shí)對稱矩陣合同對角化(384)

題型2.6.2.3由二次型的標(biāo)準(zhǔn)形確定該二次型(386)

2.6.3判別(證明)實(shí)二次型(實(shí)對稱矩陣)的正定性(386)

題型2.6.3.1判別或證明具體給定的二次型或其矩陣的正定性(387)

題型2.6.3.2判別或證明抽象的二次型(實(shí)對稱矩陣)的正定性(387)

題型2.6.3.3確定參數(shù)值或其取值范圍使二次型或其矩陣正定(390)

2.6.4判別兩矩陣是否合同(391)

題型2.6.4.1判別(證明)兩實(shí)對稱矩陣合同(391)

題型2.6.4.2判別(證明)兩矩陣不合同(393)

2.6.5討論矩陣等價、相似及合同的關(guān)系(393)

第3篇 概率論與數(shù)理統(tǒng)計

3.1隨機(jī)事件和概率(396)

3.1.1隨機(jī)事件間的關(guān)系及其運(yùn)算(396)

題型3.1.1.1描繪隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間(396)

題型3.1.1.2用式子表示事件關(guān)系(396)

題型3.1.1.3利用事件運(yùn)算的性質(zhì)或圖示法簡化事件算式(397)

題型3.1.1.4求滿足一定條件的事件關(guān)系(397)

3.1.2直接計算隨機(jī)事件的概率(398)

題型3.1.2.1計算古典型概率(398)

題型3.1.2.2計算幾何型概率(400)

題型3.1.2.3計算伯努利概型中事件的概率(401)

3.1.3間接計算隨機(jī)事件的概率(402)

題型3.1.3.1計算和、差、積事件的概率(402)

題型3.1.3.2求與包含關(guān)系有關(guān)的事件的概率(405)

題型3.1.3.3計算與互斥事件有關(guān)的事件的概率(406)

題型3.1.3.4求與條件概率有關(guān)的事件的概率(406)

題型3.1.3.5求與他事件有關(guān)的單個事件的概率(407)

題型3.1.3.6判別或證明事件概率不等式(407)

3.1.4幾個計算概率公式的實(shí)際應(yīng)用(408)

題型3.1.4.1用加法公式求解實(shí)際應(yīng)用題(408)

題型3.1.4.2用條件概率與概率的乘法公式求解實(shí)際應(yīng)用題(408)

題型3.1.4.3用全概率公式和逆概率(貝葉斯)公式求解實(shí)際應(yīng)用題(409)

題型3.1.4.4利用抽簽原理計算事件概率(413)

3.1.5判別事件的獨(dú)立性(413)

題型3.1.5.1判別(證明)兩事件相互獨(dú)立(413)

題型3.1.5.2判別(證明)n(n>2)個事件相互獨(dú)立(415)

3.2一維隨機(jī)變量及其分布(417)

3.2.1分布列、概率密度及分布函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(417)

題型3.2.1.1判別分布列、概率密度及分布函數(shù)(418)

題型3.2.1.2利用分布的性質(zhì)，確定待定常數(shù)或所滿足的條件(420)

題型3.2.1.3求隨機(jī)變量落在某點(diǎn)或某區(qū)間上的概率(421)

3.2.2求分布列(概率分布)、概率密度及分布函數(shù)(422)

題型3.2.2.1求概率分布(分布律)及分布函數(shù)(422)

題型3.2.2.2求連續(xù)型或混合型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或其取值(424)

題型3.2.2.3求概率密度(427)

3.2.3利用常見分布計算事件的概率(428)

題型3.2.3.1利用二項分布計算伯努利概型中事件的概率(428)

題型3.2.3.2利用超幾何分布計算事件的概率(430)

題型3.2.3.3利用幾何分布計算事件的概率(431)

題型3.2.3.4利用泊松分布計算事件的概率(432)

題型3.2.3.5利用均勻分布計算事件的概率(433)

題型3.2.3.6利用指數(shù)分布計算事件的概率(433)

題型3.2.3.7利用正態(tài)分布計算事件的概率(434)

題型3.2.3.8利用相關(guān)分布與二項分布相結(jié)合計算事件的概率(438)

3.2.4求隨機(jī)變量函數(shù)的分布(438)

題型3.2.4.1求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布(438)

題型3.2.4.2求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布(439)

題型3.2.4.3討論隨機(jī)變量函數(shù)分布的性質(zhì)(444)

3.3二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布(445)

3.3.1求二維隨機(jī)變量的分布(445)

題型3.3.1.1求二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律(445)

題型3.3.1.2求二維隨機(jī)變量的邊緣分布(449)

題型3.3.1.3由聯(lián)合分布、邊緣分布求條件分布(452)

題型3.3.1.4由條件分布反求聯(lián)合分布、邊緣分布(454)

題型3.3.1.5已知分區(qū)域定義的聯(lián)合密度，求其分布函數(shù)(456)

3.3.2判別隨機(jī)變量的獨(dú)立性(457)

題型3.3.2.1判別兩隨機(jī)變量的獨(dú)立性(457)

題型3.3.2.2利用獨(dú)立性確定聯(lián)合分布中的待定常數(shù)(462)

3.3.3計算二維隨機(jī)變量取值的概率(463)

題型3.3.3.1計算兩離散型隨機(jī)變量運(yùn)算后取值的概率(463)

題型3.3.3.2求二維連續(xù)型隨機(jī)變量落入平面區(qū)域內(nèi)的概率(464)

題型3.3.3.3求與max{X,Y}或(和)min{X,Y}有關(guān)的概率(465)

題型3.3.3.4求系數(shù)為隨機(jī)變量的二次方程有根、無根的概率(466)

題型3.3.3.5已知系數(shù)為隨機(jī)變量的二次方程有根、無根的概率，反求該隨機(jī)變量的分布

(466)

3.3.4求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布(466)

題型3.3.4.1已知(X，Y)的聯(lián)合分布律，求Z=g(X,Y)的分布律(466)

題型3.3.4.2求兩連續(xù)型隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布(468)

題型3.3.4.3求分布連續(xù)型和離散型的兩隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布(472)

題型3.3.4.4已知X，Y的分布，求max{X,Y}與min{X,Y}的分布(473)

3.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(475)

3.4.1求一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征(475)

題型3.4.1.1求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差(475)

題型3.4.1.2求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差(480)

題型3.4.1.3計算隨機(jī)變量的矩(483)

3.4.2求二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征(483)

題型3.4.2.1求(X，Y)的函數(shù)g(X，Y)的數(shù)學(xué)期望和方差(483)

題型3.4.2.2計算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)(489)

3.4.3計算兩類分布的數(shù)字特征(497)

題型3.4.3.1計算二維正態(tài)分布的數(shù)字特征(497)

題型3.4.3.2計算Z=maxX,Y或(和)W=minX,Y的數(shù)字特征(498)

3.4.4討論隨機(jī)變量相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系(501)

題型3.4.4.1確定兩隨機(jī)變量相關(guān)與不相關(guān)(501)

題型3.4.4.2討論相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系(502)

3.4.5已知數(shù)字特征，求分布中的待定常數(shù)(503)

3.4.6求解兩類綜合應(yīng)用題型(504)

題型3.4.6.1求解與數(shù)字特征有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題(504)

題型3.4.6.2求解概率論與其他數(shù)學(xué)分支的綜合應(yīng)用題(507)

3.5大數(shù)定律和中心極限定理(510)

3.5.1用切比雪夫不等式估計事件的概率(510)

3.5.2大數(shù)定律成立的條件和結(jié)論(512)

題型3.5.2.1利用三個大數(shù)定律成立的條件解題(514)

題型3.5.2.2求隨機(jī)變量序列依概率的收斂值(516)

3.5.3兩個中心極限定理的簡單應(yīng)用(516)

題型3.5.3.1利用棣莫弗�怖�普拉斯定理近似計算事件的概率(517)

題型3.5.3.2已知隨機(jī)變量取值的概率，估計取值范圍(517)

題型3.5.3.3應(yīng)用列維�擦值虏�格中心極限定理的條件和結(jié)論解題(518)

題型3.5.3.4近似計算n個隨機(jī)變量之和取值的概率(519)

題型3.5.3.5已知n個隨機(jī)變量之和取值的概率，求個數(shù)n(520)

3.6數(shù)理統(tǒng)計初步(521)

3.6.1求解統(tǒng)計量分布有關(guān)的問題(521)

題型3.6.1.1求解與統(tǒng)計量分布有關(guān)的基本概念問題(521)

題型3.6.1.2求統(tǒng)計量的分布及其分布參數(shù)(523)

題型3.6.1.3求統(tǒng)計量取值的概率(529)

題型3.6.1.4已知統(tǒng)計量取值的概率，反求取值范圍(531)

題型3.6.1.5求統(tǒng)計量的數(shù)字特征(531)

題型3.6.1.6求經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(533)

3.6.2參數(shù)估計(535)

題型3.6.2.1求總體分布中未知參數(shù)的矩估計量(值)(535)

題型3.6.2.2求未知參數(shù)的極()大似然估計量(值)(538)

附錄一經(jīng)典�？碱}型同步測試題(543)

附錄二習(xí)題答案與提示(601)