本書是按照教育部大學數(shù)學教學指導委員會的基本要求,充分吸取當前優(yōu)秀高等數(shù)學教材的精華,并結(jié)合數(shù)年來的教學實踐經(jīng)驗,針對當前學生的知識結(jié)構(gòu)和習慣特點編寫而成。全書分為上、下兩冊。本書為上冊,是一元函數(shù)微積分部分,共四章,主要內(nèi)容包括函數(shù)極限與連續(xù),一元函數(shù)微分學及其應用,一元函數(shù)積分學及其應用,微分方程。每節(jié)前面配有課前導讀,核心知識點配備微課,每章后面附有章節(jié)測試和拓展閱讀。
本書注重知識點的引入方法,使之符合認知規(guī)律,更易于讀者接受。同時,本書精煉了主要內(nèi)容,使結(jié)構(gòu)更加簡潔,思路更加清晰。本書還注重知識的連貫性,例題的多樣性和習題的豐富性、層次性,使讀者在學習數(shù)學知識點的同時拓寬了視野,欣賞數(shù)學之美。
本書可作為高等院校理工科類各專業(yè)的教材,也可作為社會從業(yè)人員的自學參考用書。
1.內(nèi)容經(jīng)典,例題豐富,配備微課講解重點難點
2.以二維碼方式擴展閱讀內(nèi)容,既體現(xiàn)數(shù)學嚴謹?shù)乃季S邏輯,又反映數(shù)學之美。
3.細化考研題目。配套輔導教材將細致講解考研題目,培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。
殷俊鋒,同濟大學,教授,博導,上海市浦江人才,榮獲中國數(shù)學會計算數(shù)學分會應用數(shù)值代數(shù)獎,在國際期刊發(fā)表30余篇高質(zhì)量論文。
張弢,2000年9月開始在同濟大學教授公共課高等數(shù)學A,高等數(shù)學B,高等數(shù)學C等不同種類的公共基礎(chǔ)課,同時擔任數(shù)學系專業(yè)課數(shù)學分析、實變函數(shù)、泛函分析等授課任務,同時參與數(shù)學類精品課程,卓越課程,數(shù)學競賽等項目建設(shè)。
第 一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 1
第 一節(jié) 集合與函數(shù) 1
一、集合的概念 1
二、常用函數(shù) 4
習題1-1 9
第 二節(jié) 數(shù)列極限的定義與計算 10
一、數(shù)列極限的概念 10
二、數(shù)列極限的計算 13
習題1-2 15
第三節(jié) 函數(shù)極限的定義與計算 16
一、自變量趨于無窮大時的極限 16
二、自變量趨于有限值時的極限 18
三、函數(shù)極限的計算方法 21
習題1-3 23
第四節(jié) 極限性質(zhì) 24
*一、利用極限定義證明 24
二、數(shù)列極限的性質(zhì) 25
三、函數(shù)極限的性質(zhì) 26
*四、極限運算法則的證明 28
習題1-4 30
第五節(jié) 兩個重要極限 30
一、夾逼定理 31
二、第 一重要極限 33
三、單調(diào)有界收斂定理 35
四、第 二重要極限 36
習題1-5 38
第六節(jié) 無窮小與無窮大 39
一、無窮小 40
二、無窮大 41
三、無窮小與無窮大的關(guān)系 42
四、無窮小的比較 42
五、等價無窮小的應用 44
習題1-6 45
第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì) 46
一、連續(xù)的概念 47
二、函數(shù)的間斷點 49
三、初等函數(shù)的連續(xù)性 52
四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 54
習題1-7 56
本章小結(jié) 59
章節(jié)測試一 61
拓展閱讀 63
第 二章 一元函數(shù)微分學及其應用 65
第 一節(jié) 導數(shù)的概念及基本求導公式 65
一、割線與切線 65
二、導數(shù)的定義 66
三、簡單函數(shù)的求導 67
四、左、右導數(shù) 68
五、切線與法線方程 69
六、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系 70
七、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則 71
八、反函數(shù)的求導法則 72
九、求導公式與基本求導法則 73
習題2-1 74
第 二節(jié) 導數(shù)的計算法則 75
一、復合函數(shù)的求導法則 76
二、高階導數(shù) 78
三、隱函數(shù)的導數(shù) 81
四、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 82
*五、相關(guān)變化率 84
習題2-2 84
第三節(jié) 微分的概念與應用 88
一、微分的定義 88
二、基本初等函數(shù)的微分公式及微分法則 90
三、微分的幾何意義 92
四、近似計算 92
習題2-3 93
第四節(jié) 微分中值定理及其應用 95
一、羅爾定理 96
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 98
三、柯西中值定理 100
四、洛必達(L′Hospital)法則 100
習題2-4 103
*第五節(jié) 泰勒中值定理 105
一、多項式逼近函數(shù) 105
二、麥克勞林公式 108
三、泰勒公式的應用 109
習題2-5 111
第六節(jié) 函數(shù)的性態(tài)與圖形 111
一、函數(shù)單調(diào)性的判別 112
二、函數(shù)的極值及其求法 115
三、曲線的凹凸性與拐點 118
四、曲線的漸近線 121
五、函數(shù)圖形的描繪 122
習題2-6 124
第七節(jié) 微分學的實際應用 126
一、**大值、**小值 126
二、曲率 128
習題2-7 133
本章小結(jié) 135
章節(jié)測試二 137
拓展閱讀 139
第三章 一元函數(shù)積分學及其應用 143
第 一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 143
一、原函數(shù) 143
二、不定積分 143
三、基本積分公式 145
四、不定積分的性質(zhì) 146
習題3-1 148
第 二節(jié) 不定積分的換元法與分部法 149
一、第 一類換元法(湊微分法) 149
二、第 二類換元法 155
三、分部積分法 158
習題3-2 161
*第三節(jié) 有理函數(shù)的不定積分 164
一、真分式的分解 164
二、有理函數(shù)的不定積分 165
三、三角函數(shù)的有理式的不定積分 166
四、可化為有理函數(shù)的簡單無理根式的
不定積分 167
習題3-3 168
第四節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) 169
一、實例分析 170
二、定積分的定義 171
三、定積分的幾何意義 173
四、定積分的性質(zhì) 174
習題3-4 177
第五節(jié) 微積分基本定理 178
一、變速直線運動的路程 178
二、積分上限函數(shù) 179
三、微積分基本定理 182
習題3-5 184
第六節(jié) 定積分的換元法和分部法 186
一、定積分的換元法 186
二、定積分的分部法 190
習題3-6 193
第七節(jié) 定積分的幾何應用與物理應用 195
一、平面圖形的面積 195
二、空間立體的體積 201
三、曲線的弧長 205
*四、定積分在物理上的應用舉例 207
習題3-7 209
第八節(jié) 反常積分 211
一、無限區(qū)間上的反常積分 211
二、無界函數(shù)的反常積分(瑕積分) 214
習題3-8 216
本章小結(jié) 217
章節(jié)測試三 219
拓展閱讀 221
第四章 微分方程 227
第 一節(jié) 微分方程的概念 227
一、微分方程的引例 227
二、微分方程的基本概念 229
習題4-1 232
第 二節(jié) 一階微分方程 233
一、可分離變量方程 233
二、齊次方程 234
三、一階線性微分方程 236
習題4-2 239
第三節(jié) 二階微分方程 240
一、可降階的二階微分方程 240
二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 242
三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 244
*四、n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 247
五、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 248
習題4-3 250
*第四節(jié) 微分方程的實際案例 252
一、一階微分方程的實際案例 252
二、二階微分方程的實際案例 255
習題4-4 258
本章小結(jié) 259
章節(jié)測試四 261
拓展閱讀 263
習題答案 266