前 言 在當今的數(shù)字時代，數(shù)學作為一切自然科學的基礎(chǔ)，它化繁為簡，直擊事物本質(zhì)的思考方法，給很多事物以“透視眼”的思考力度，讓很多人從中受益。那些能領(lǐng)悟數(shù)學思想方法的人，哪怕就是在日常生活和工作中做起事來也是一通百通，事半功倍，這也就是為什么數(shù)學無論是在中考還是在高考中都作為必考學科的原因吧！它可以說是現(xiàn)代人的必備素養(yǎng)，而學好數(shù)學常常能讓你比別人有更多機會在眾人面前脫穎而出！ 數(shù)學應(yīng)該怎么學？事實上，很多學習數(shù)學的人會對它產(chǎn)生厭惡、自卑，逐漸地失去學好它的信心，這又是為什么呢？這既不是我們?nèi)吮旧淼膯栴}，也不是數(shù)學的問題，而是因為我們和數(shù)學之間缺失了一座橋梁。 作者從事中學數(shù)學教育20多年來，通過觀察發(fā)現(xiàn)周圍人對數(shù)學教育的普遍觀點是“數(shù)學是思維的體操”、是“計算和邏輯”、是“做題和考試”等等。因此，當前中學數(shù)學教育培養(yǎng)的數(shù)學好學生數(shù)學基礎(chǔ)扎實但知識面較窄；能攻抽象難題但缺乏解決實際問題的能力；有很強的好勝心但好奇心不足。這些現(xiàn)象導致了學生認為數(shù)學是一門“與實際無關(guān)”“枯燥乏味”“抽象晦澀”的學科，從而大部分學生為了升學不得不學，升學考試結(jié)束也就快速拋之腦后了！ 面對上述情況，我們以往的策略是通過教研活動讓老師們不斷改進教學方法，以便讓思維的體操不那么難學；通過教育學生要刻苦學習，以便老師在“灌輸”或“引導”時不那么“費勁”。雖然多年前的教改就強調(diào)以“以人為本”“教師和學生雙主體”等，但這些仍停留在“怎么教”和“怎樣學”上，最近全國推行的數(shù)學課程改革加強了數(shù)學的應(yīng)用和實踐的內(nèi)容，“數(shù)學建�！眱�(nèi)容已經(jīng)在高中課本中獨立成章了；“項目化學習”也如火如荼地開展起來；改革方向已經(jīng)朝著解決“教什么”和“學什么”的問題轉(zhuǎn)變了，相信不久的將來必將在初中課本中有所體現(xiàn)。 新課改理念中突出強調(diào)培養(yǎng)學生的“數(shù)學核心素養(yǎng)”，數(shù)學課程應(yīng)當將培養(yǎng)學生的“數(shù)學核心素養(yǎng)”貫穿于整個課程始終，本書試圖從“數(shù)學史料”“數(shù)學故事”“數(shù)學名題”“數(shù)學名家”等不同角度，用真實的歷史史料和人物故事作為背景，讓讀者首先了解數(shù)學不是憑空而來的，它是成千上萬的普通人因為好奇心而不斷探索得來的，而這些原本帶著好奇心的普通人向前探索的結(jié)果不但為大家開發(fā)了了不起的認識世界的數(shù)學工具，自己同時也變成了了不起的數(shù)學家。有了好奇心還不夠，我們還為讀者再現(xiàn)了這些普通人當時是通過怎樣的奇思妙想才發(fā)現(xiàn)的數(shù)學方法或發(fā)明了數(shù)學工具，進而為讀者架起一座通往建立“數(shù)學核心素養(yǎng)”的橋梁，讓讀者身臨其境地感受數(shù)學歷史上的風風雨雨，體會那些帶有好奇心的人在追求數(shù)學真理中的酸甜苦樂，重現(xiàn)他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理的閃光時刻，從而能更深刻地理解數(shù)學本質(zhì)，并受到他們的感染也加入到探索數(shù)學未知世界的行列中來，最起碼不會再畏懼數(shù)學的枯燥和抽象，因為它們都是有血有肉的存在。 本書分三章，重點是為初中學生科普數(shù)學知識的同時，也想為學生搭一座通往數(shù)學思維的橋梁，使學生在閱讀中不斷提高數(shù)學素養(yǎng)，本書根據(jù)人們認識數(shù)學的先后順序，分別從“算術(shù)、幾何、代數(shù)”中抽取了相對有趣和重要的歷史故事、事件和人物，讓讀者多角度體會數(shù)學的本質(zhì)特征。比如對于數(shù)學素養(yǎng)中的“數(shù)學抽象”，通過閱讀書中的故事，讀者能總結(jié)出： 數(shù)學的抽象不是憑空而來的，因為我們?nèi)祟愂强拷?jīng)驗感知世界并認識世界的，但是隨著經(jīng)驗的積累，發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展過程中總是有些規(guī)律是不變的，先輩中的一些有好奇心又聰明的人，把實踐經(jīng)驗感知的不變規(guī)律通過剝離外在表象，用最簡潔的符號（如1、 x等）代表研究對象，并把它們之間的關(guān)系用盡可能簡練的形式表達出來，這就有了數(shù)學表達。 再比如書中通過講述畢達哥拉斯定理的故事讓讀者體會數(shù)學核心素養(yǎng)中的“數(shù)學邏輯”，大家熟悉的勾股定理為什么在國際上叫畢達哥拉斯定理？雖然早在公元前1000年商朝的商高發(fā)現(xiàn)了勾三、股四、弦五，這一時間比畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)此定理早五六百年，非�？上У氖牵�我們并沒有發(fā)現(xiàn)商高提供更詳細的數(shù)學證明，現(xiàn)存發(fā)現(xiàn)的我國獨立證明勾股定理的證據(jù)是在畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)并證明了這個定理后大概三四百年，西漢中期的數(shù)學家在《九章算術(shù)》中給出了勾股定理的完整證明。而西方數(shù)學界認為畢達哥拉斯定理是奠定了數(shù)學證明的邏輯基礎(chǔ)，它在幾何學中有著極其重要的基礎(chǔ)性地位，這種邏輯證明思想不同于生活實踐的經(jīng)驗總結(jié)，它舍棄了感性的外衣，完全是理性的邏輯產(chǎn)物，它的優(yōu)點是盡可能少的依賴當時的外在條件，所以能穿越歷史，同時穿透人文形形色色的外衣，比如幾千年前數(shù)學證明是正確的結(jié)論幾千年后依然正確，再比如人類雖然說著千差萬別的語言，可是學的數(shù)學內(nèi)容基本一致，從某種意義上講，后者是更接近大自然本質(zhì)的語言。 其次，也是更重要的，是通過對數(shù)學知識的理解和再認識，實現(xiàn)思維方式的提升，為了達到這一目的，我們關(guān)鍵是對數(shù)學知識要有透徹理解，要想做到這一點還要從像畢達哥拉斯或是歐幾里德這樣的數(shù)學家的思維方式說起，從他們那個時代的視角再審視知識演變的過程，甚至是經(jīng)歷的各種磨難，我們就能更好地理解數(shù)學知識是如何發(fā)展的，從而使數(shù)學變成活的、有生命的知識體系。 作為數(shù)學科普讀物，本書主要面對的是中小學生，尤其適合初中這一承上啟下年齡階段的學生閱讀，目的就是要為讀者建立一座通往理解數(shù)學的橋梁。 下面舉例來感受一下數(shù)學角度思考問題與其他角度思考問題的不同。20世紀90年代，在祖國改革開放的前沿浦東新區(qū)陸家嘴建起了一座當時中國最高的摩天大樓——金茂大廈，人們站在它的腳下不禁駐足思量：這地標建筑有多高？ 對于這個問題，我們找來熟悉它的歷史的人問一問當然能得到準確答案，但如果你想通過這個問題推測一下你周圍人的教育背景也是可以的。 比如學文學的人喜歡用語言對事物進行描述，可能會說諸如“高大宏偉、直穿云霄”等系列詞匯對金茂大廈的高度進行描述，這些詞匯給了你美的享受和充分的想象空間，不過你卻不能據(jù)此準確得知它的高度。 學物理背景的人習慣用實驗的方法處理問題，要想知道金茂大廈的高度，按照實驗的思想是“拿根繩子量一量”： 從樓頂?shù)跸乱桓�繩子直達樓底，記下從樓頂?shù)綐堑桌K子的長度，這就是金茂大廈的高度。盡管這個做法不算簡單，也不一定具有可移植性。比如，要測量一根豎立在地面上又細又長的鋼管，人們就無法站到鋼管頂部，但是這個做法確實可以非常直觀地給出準確答案。 如果是學數(shù)學的人遇到這樣的問題，其處理方式會有很大不同。他善于對事物進行類比，因此會選取一個標尺，借助陽光，利用標尺與大廈投影的長度及相似原理測出大廈的高度；他擅長將事物進行轉(zhuǎn)化，因此可能通過直角三角形的直角邊長與其對角的依賴關(guān)系，把大廈高度的測量問題轉(zhuǎn)化為對仰視角的測量問題.他沒有爬上樓頂，但能準確得到樓頂?shù)降孛娴木嚯x；他沒有豐富的詞匯但卻能用數(shù)據(jù)告訴你大廈的雄偉。他的方法不僅可以用來測量大廈，還可以移作他用。這就是數(shù)學的威力——方法簡潔、結(jié)論可靠、適用廣泛。 書中同時回答了數(shù)學在生活中的應(yīng)用和人們以后從事職業(yè)的數(shù)學要求，比如是否每一個人都要學好數(shù)學呢？那要看你對數(shù)學的態(tài)度和將來要做的工作，不同的工作對數(shù)學見識的要求也不同： 如果將來是從事藝術(shù)類的，那最好要知道畢達哥拉斯發(fā)明的五度相生律；從事設(shè)計的，最起碼要知道畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的黃金分割吧！ 如果把數(shù)學比喻成一座宮城，這些都是相當于你到數(shù)學宮城做個參觀者，看看甚至摸一摸數(shù)學宮城的外表，數(shù)學宮城的每個宮殿可不是隨便為你敞開的，進城我們需要修橋，進入宮殿還需要每個宮殿的鑰匙，而且很多宮殿都是層層嵌套的，宮殿之間的道路也是錯綜復雜、迷路重重的。對待數(shù)學的態(tài)度很重要，當你對數(shù)學的學習充滿渴望和向往時，就會時不時有宮人（靈感）現(xiàn)身在你面前帶你繞過迷路，但當你并不覺得這些宮殿有什么了不起，并產(chǎn)生畏難情緒時，就經(jīng)常會迷失在路上，心煩意亂。當你今后的工作是跟經(jīng)濟學，如會計、金融方向相關(guān)，就相當于要在其中幾個宮殿拿到鑰匙，并且還要此宮的人傳你些“法寶”，如果今后向物理和計算機專業(yè)發(fā)展，那就不光需要傳些“法寶”，甚至要他們傳授“秘術(shù)”了；當然最厲害的要數(shù)有志成為數(shù)學家的人了，你將被允許終生留在宮殿學習“秘術(shù)”，把玩“法寶”，甚至有一天你可能成為某個宮殿的締造者！ 當“橋”建造好了，還需要讀者親自走過去，人類的天性之一就是擁有好奇心，很多人喜歡懸疑、偵探、科幻小說，有些人則喜歡解決諸如樂高、九連環(huán)、魔方等各種智力游戲，這都是好奇心的外在表現(xiàn)，也是對人腦思維的一種訓練，學習數(shù)學很多時候就是對事物好奇心的主動思考，能夠提高我們對事物關(guān)系的深層次的、本質(zhì)的理解。 人們在觀察周圍人的時候可能會發(fā)現(xiàn)兩種類型的牛人，一種是思維敏捷的人，另一種是思想深刻的人。無論想成為哪一類，都是可以通過后天訓練獲得的，訓練快速反應(yīng)的有效辦法就是不斷地輸入，比如多聽多看，之后再反復輸出，比如多說多練，使關(guān)聯(lián)的事物和知識在大腦中形成神經(jīng)聯(lián)結(jié)，在身體上形成肌肉記憶，比如英語聽說、打游戲、打球等做得好的人都是這種訓練的結(jié)果，而訓練深入思考就需要有意識地練習環(huán)環(huán)相扣的解套本事，數(shù)學就是練習這個本事非常好的素材，它經(jīng)一系列了不起的人發(fā)展了幾千年，已經(jīng)形成了成套的訓練材料，所以學數(shù)學更有點像晉級打怪，一點一點升級，一個一個突破。 本書的完成，除了書末所列的參考文獻外，還參考了其他許多書刊、雜志、網(wǎng)絡(luò)文章，并選用了許多的資料圖片和一些數(shù)學家的圖像，力求使每一章節(jié)都做到內(nèi)容豐富、圖文并茂。本書主要適用于中小學生，特別適用于初中生，當學生在學習數(shù)學課之前如果讀過書中相應(yīng)的內(nèi)容，不但能使讀者對所學數(shù)學知識的背景有比較準確的把握，而且能對知識的思維過程有更深的體會，從而進一步理解數(shù)學、喜歡數(shù)學，學習數(shù)學就不再是件辛苦的差事，很可能變成一種樂趣和享受。 作者 2021年8月