河南省專升本考試考點(diǎn)精要·高等數(shù)學(xué)

章函數(shù)、極限與連續(xù)

章函數(shù)、極限與連續(xù)

考情綜述

考試大綱

1.函數(shù)

（1）函數(shù)的概念；（2）函數(shù)的性質(zhì)；（3）函數(shù)的運(yùn)算；（4）初等函數(shù)

2.極限

（1）極限的概念；（2）極限的性質(zhì)；（3）無窮小量與無窮大量；（4）兩個(gè)重要極限

3.連續(xù)

（1）函數(shù)的連續(xù)性；（2）函數(shù)的間斷點(diǎn)；（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

重難點(diǎn)

重點(diǎn)

1.函數(shù)的定義域、函數(shù)的表示法；

2.函數(shù)的奇偶性；

3.反函數(shù)；

4.兩個(gè)重要極限；

5.函數(shù)的間斷點(diǎn)；

6.分段函數(shù)的連續(xù)性

難點(diǎn)

1.無窮小的比較、等價(jià)無窮小替換；

2.零點(diǎn)定理

真題分布

年份

知識(shí)點(diǎn)

占比

2022函數(shù)的奇偶性、反函數(shù)、函數(shù)極限、等價(jià)無窮小替換、“抓大頭”法求極限、根式有理化法求極限、分段函數(shù)的連續(xù)性、分段函數(shù)的間斷點(diǎn)10%

2021函數(shù)的奇偶性、無窮大量、消公因式法求極限、等價(jià)無窮小替換、重要極限、極限等式求參數(shù)、函數(shù)的連續(xù)、間斷點(diǎn)的類型16%

2020

函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達(dá)式、函數(shù)極限、數(shù)列極限、無窮小的比較、兩個(gè)重要極限、極限存在與連續(xù)的關(guān)系

18%

2019函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達(dá)式、反函數(shù)、等價(jià)無窮小、間斷點(diǎn)的類型、兩個(gè)重要極限、無窮小的比較、分段函數(shù)的間斷點(diǎn)、函數(shù)的連續(xù)15%

2018函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達(dá)式、函數(shù)極限、兩個(gè)重要極限、間斷點(diǎn)的類型、無窮小的比較、無窮小量的性質(zhì)、等價(jià)無窮小、函數(shù)的連續(xù)17%

真題分布

年份

知識(shí)點(diǎn)

占比

2017函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達(dá)式、函數(shù)極限、數(shù)列極限、無窮小的比較、兩個(gè)重要極限、極限存在與連續(xù)的關(guān)系19%

2016函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達(dá)式、反函數(shù)、函數(shù)極限、數(shù)列極限、等價(jià)無窮小、分段函數(shù)的連續(xù)性、間斷點(diǎn)的類型18%

考點(diǎn)精析

知識(shí)框架

基礎(chǔ)知識(shí)精講

一、函數(shù)

（一）函數(shù)的概念及表示法

1.定義

設(shè)x與y是兩個(gè)變量，D是實(shí)數(shù)集R的某個(gè)非空子集，若對(duì)于D中的每一個(gè)x，按照對(duì)應(yīng)法則f，總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng)，則稱因變量y為自變量x的函數(shù)，記作y=f（x）。這里的D稱為函數(shù)f的定義域，相應(yīng)的函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域。

【注】

①函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，它包括兩大要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則。

②函數(shù)和變量的選取無關(guān)，只要定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，不管用什么變量表示函數(shù)的自變量和因變量，函數(shù)都是一樣的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一函數(shù)。

2.表示法

表示函數(shù)的主要方法有三種：解析法（公式法）、表格法、圖形法。

（1）解析法（公式法）：用數(shù)學(xué)式表示自變量和因變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法。

（2）表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法。

（3）圖形法：用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{P（x,y）y=f（x）,x∈D}來表示函數(shù)的方法。

（二）函數(shù)的性質(zhì)

1.有界性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集X�糄。如果存在正數(shù)M，使得對(duì)于任一x∈X，都有f（x）≤M，則稱f（x）在X上有界。如果這樣的M不存在，則稱f（x）在X上無界。

【注】

①函數(shù)的有界性也可以通過上、下界的方式來定義：如果存在實(shí)數(shù)m和M，使得對(duì)任一x∈X，都有m≤f（x）≤M，則稱函數(shù)f（x）在X上有界。其中m和M分別稱為函數(shù)f（x）在X上的下界和上界。

②在上述定義中，m（M）是函數(shù)f（x）在X上的下（上）界，則任何比m�。ū萂大）的數(shù)，都是f（x）在X上的下（上）界。上界、下界不唯一。

③函數(shù)在X上有界的充要條件是它在X上既有上界又有下界。

2.單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I�糄。如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有

f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），

則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。

單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

（1）單調(diào)性的性質(zhì)：

①如果f1（x）,f2（x）都是增函數(shù)（或減函數(shù)），則f1（x）+f2（x）也是增函數(shù)（或減函數(shù)）。

②設(shè)f（x）是增函數(shù)，如果常數(shù)C＞0，則C·f（x）是增函數(shù)；如果常數(shù)C＜0，則C·f（x）是減函數(shù)。

③如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相同，則函數(shù)y=f［g（x）］為增函數(shù)；如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相反，則函數(shù)y=f［g（x）］為減函數(shù)。

（2）常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

常見函數(shù)

單調(diào)增區(qū)間

單調(diào)減區(qū)間

y=x2+ax+b

- a2,+∞

-∞,- a2

y=ex

（-∞,+∞）

無

y=lnx

（0,+∞）

無

y=sinx

2kπ- π2,2kπ+ π2

2kπ+ π2,2kπ+ 3π2

y=cosx

［2kπ-π,2kπ］

［2kπ,2kπ+π］

y=1x

無

（-∞,0），（0,+∞）

3.奇偶性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果對(duì)于任一x∈D，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù)；如果對(duì)于任一x∈D，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)。

（1）奇、偶函數(shù)的性質(zhì)：

①偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

②如果f1（x）和f2（x）都是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），則對(duì)任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1 f1（x）+k2 f2（x）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。

③如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相同，則f1（x）·f2（x）為偶函數(shù)；如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相反，則f1（x）·f2（x）為奇函數(shù)。

（2）常見的偶函數(shù)：

y=x2k（k∈Z），y=cosx，y=x，

f（x），f（x）+f（-x）2， f（x）·f（-x），其中f（x）是定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的任意函數(shù)。

（3）常見的奇函數(shù)：

y=x2k+1（k∈Z），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln（1+x2±x），

f（x）-f（-x）2，其中f（x）是定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的任意函數(shù)。

4.周期性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)任一x∈D有x±T∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期。一般周期函數(shù)的周期是指小正周期。

【注】

①如果f（x）以T為小正周期，則對(duì)任意的非零常數(shù)C，Cf（x）仍然以T為小正周期， f（Cx）以TC為小正周期。

②如果f1（x）和f2（x）都以T為周期，則對(duì)于任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1f1（x）+k2f2（x）仍然以T為周期。注意這時(shí)小正周期有可能縮小，如f1（x）=cos2x+sinx,f2（x）=sinx都以2π為小正周期，但f1（x）-f2（x）=cos2x以π為小正周期。

（三）函數(shù)的運(yùn)算

1.四則運(yùn)算

設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的定義域分別為D1和D2，且D=D1∩D2≠��，則這兩個(gè)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算之后能形成新的函數(shù)：

和（差）運(yùn)算：f（x）±g（x），x∈D；

積運(yùn)算：f（x）·g（x），x∈D；

商運(yùn)算：f（x）g（x），x∈D＼{xg（x）=0,x∈D}。

2.復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f（u）的定義域?yàn)镈1，函數(shù)u=g（x）的定義域?yàn)镈2。如果g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1，則可以定義函數(shù)y=f［g（x）］，x∈D2為函數(shù)f（u）與g（x）的復(fù)合函數(shù)，記作y=f［g（x）］或f�甮。

【注】

①?gòu)?fù)合函數(shù)的基本思想是把y=f（x）,x∈D1中的x進(jìn)行推廣，變成一個(gè)新的函數(shù)，這是我們認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)的基本方式。

②注意能夠進(jìn)行復(fù)合的前提條件是g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1。如果該條件不滿足，只要g（x）的值域g（D2）和f（u）的定義域D1的交集不是空集，復(fù)合運(yùn)算也可以進(jìn)行，只不過此時(shí)復(fù)合之后函數(shù)的定義域變成了{(lán)xx∈D2且g（x）∈D1}。

3.反函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，其值域?yàn)閒（D）。如果對(duì)于每一個(gè)y∈f（D），都有唯一確定的x∈D，使得y=f（x）（我們將該對(duì)應(yīng)法則記作f -1）成立，則這個(gè)定義在f（D）上的函數(shù)x=f -1（y）就稱為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)。

【注】

①不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)。函數(shù)y=f（x）,x∈D存在反函數(shù)的充要條件是對(duì)于定義域D中任意兩個(gè)不相等的自變量x1,x2，有f（x1）≠f（x2）。一般來說，嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)一定有反函數(shù)。

②在同一坐標(biāo)平面上，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

（四）常見的函數(shù)類型

1.初等函數(shù)

（1）常用的基本初等函數(shù)有五類：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。

函數(shù)

名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖像函數(shù)的性質(zhì)

指數(shù)

函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）a）不論x為何值，y總為正數(shù);

b）當(dāng)x=0時(shí)，y=1

對(duì)數(shù)

函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1）a）其圖像總位于y軸右側(cè)，恒過（1，0）點(diǎn)；

b）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=logax在區(qū)間（0，1）的值為負(fù)，在區(qū)間（1，+∞）的值為正，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

冪函數(shù)y=xa，a為任意實(shí)數(shù)

這里只畫出部分函數(shù)圖像的

象限部分 令a=mn（mn是簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)），則

a）當(dāng)m為偶數(shù)、n為奇數(shù)時(shí)，xa是偶函數(shù);

b）當(dāng)m，n都是奇數(shù)時(shí)，xa是奇函數(shù)；

c）當(dāng)m為奇數(shù)、n為偶數(shù)時(shí)，xa沒有奇偶性

三角

函數(shù)y=sinx（正弦函數(shù)）

這里只寫出了正弦函數(shù) a）正弦函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)；

b）正弦函數(shù)是奇函數(shù)且sinx≤1

反三角

函數(shù)y=arcsinx（反正弦函數(shù)）

這里只寫出了反正弦函數(shù)由于此對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)多值函數(shù)，因此將此值域限制在- π2，π2，并稱其為反正弦函數(shù)的主值

（2）初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)。

2.分段函數(shù)

（1）分段函數(shù)的基本形式：

f（x）=f1（x），x∈I1，f2（x），x∈I2，

�螃�

fn（x），x∈In。

（2）隱含的分段函數(shù)：

①絕對(duì)值函數(shù)：

f（x）=x=x，x≥0，-x，x＜0，

其定義域是（-∞，+∞），值域是［0，+∞）。

②取整函數(shù)：f（x）=［x］表示不超過x的大整數(shù)。

③大值、小值函數(shù)：y=max{f（x），g（x）}，y=min{f（x），g（x）}。

3.隱函數(shù)

如果變量x和y滿足方程F（x,y）=0，當(dāng)x取區(qū)間I內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足該方程的唯一的y值存在，則這樣確定的函數(shù)關(guān)系y=y（x）稱為由方程F（x,y）=0確定的隱函數(shù)。

4.由參數(shù)方程定義的函數(shù)

若參數(shù)方程x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β