《浙江省專升本考試考前押密試卷·高等數(shù)學(xué)》共包含10套考前押密試卷, 每一套卷每一題均由中公教育浙江專升本考試研究院經(jīng)過精心打磨研發(fā)而成。8套試卷嚴格按照最新真題及考試要求全新研發(fā), 題型、題量及試題難易程度均與歷年真題保持一致。同時試卷嚴格按照真題的版式編排, 讓考生提前體驗考場考試的感覺, 以達到具備真正進入考場時能夠迅速進入考試狀態(tài)的能力。8套試卷在深入研究歷年真題的基礎(chǔ)上, 總結(jié)歷年真題中的高頻考點, 并根據(jù)重要知識點出題, 突出命題重點, 避免浪費考生寶貴的復(fù)習(xí)時間, 以使考生在短期內(nèi)盡快溫習(xí)以及回顧。
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浙江省普通高等教育專升本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（五）考試科目高等數(shù)學(xué)
考生姓名
考生編號
報考單位注
意
事
項1.答題前，考生須按規(guī)定將考生姓名、考生編號和報考單位填寫到試卷規(guī)定的位置上，并在答題卡上填（涂）對應(yīng)的信息。
2.所有答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，超出各題答題區(qū)域的答案無效。在草稿紙、試題上作答無效。
3.考試結(jié)束后，將試題和答題卡一并交回。
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（五）第頁（共12頁）浙江省普通高等教育專升本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（五）第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2sin1x5,x>0,e1x,x<0,則x=0是f(x)的（）
A. 可去間斷點B. 跳躍間斷點
C. 連續(xù)點D. 第二類間斷點
2.過曲線y=arctanx+ex上的點(0,1)處的法線方程為（）
A. 2x-y+1=0B. x-2y+2=0
C. 2x-y-1=0D. x+2y-2=0
3.下列等式正確的是（）
A. d∫df(x)=f′(x)+C
B. d∫df(x)=f(x)+C
C. ∫f′(x)dx=f(x)+C
D. ddx∫df(x)=f(x)
4.下列級數(shù)或廣義積分發(fā)散的是（）
A. ∑∞n=1(-1)n+1n+3B. ∑∞n=1sin2n
C. ∫3119-x2dxD. ∫+∞11(1+x2)2dx
5.微分方程4y″-12y′+9y=(3x2+2)e3x的特解y可設(shè)為（）
A. x2e3x(ax+b)B. xe3x(ax2+bx+c)
C. e3x(ax2+bx+c)D. x2e3x(ax2+bx+c)
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）6.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為［-1,1)，則函數(shù)ef(1-x)的定義域為。
7.設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=1，且當(dāng)x→0時，∫x-sinx0f(t)dt與16ln(1+xa)為等價無窮小，則a=。
8.設(shè)f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f′(1)=1，則limx→1f(x)-f(1)x3-1=。
9.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程x=t+et，y=sint確定，則d2ydx2t=0=。
10.函數(shù)y=xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間是。
11.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=x2-∫20f(x)dx，則∫20f(x)dx=。
12.設(shè)Ik=∫kπ0ex2sinxdx(k=1,2,3)，則I1,I2,I3的大小關(guān)系為。
13.微分方程y′-ytanx=secx的通解為。
14.已知點A(4,-1,2)，B(1,2,-2)，C(2,0,1)，則△ABC的面積為。
15.冪級數(shù)∑∞n=013n+1(x+1)n的收斂區(qū)間為。
三、計算題（本大題共8小題，其中16～19小題每小題7分，20～23小題每小題8分，共60分。計算題必須寫出必要的計算過程，只寫答案的不給分）16.求極限limx→∞3x2+55x+3sin2x。
17.設(shè)函數(shù)y=arctan2x1+x2，求dy。
18.求不定積分I=∫x21+x2arctanxdx。
19.求由拋物線2y2=x與直線x-2y=4所圍成平面圖形的面積。
20.設(shè)當(dāng)x>0時， f(x)可導(dǎo)，且滿足xf(x)=x+∫x1f(t)dt，求f(x)。
21.設(shè)f(x)=aex+1,x<0,bx+2,x≥0在x=0處可導(dǎo)，求常數(shù)a，b的值。
22.已知直線l:x+2y+3z+1=0,x-y-z+5=0,若平面π過點(2,1，-5)，且與直線l垂直，求平面π的方程。
23.求冪級數(shù)∑∞n=1(n+1)xn的和函數(shù)，并求級數(shù)∑∞n=1n+12n的和。
四、綜合題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）24.已知F(x)=∫x0(18t53-10t2)dt是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，求曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間與拐點。
25.假設(shè)某企業(yè)在兩個互相分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的銷售量分別是Q1=18-x2，Q2=12-x，其中x表示該產(chǎn)品在兩個市場的價格（單位：萬元/噸），該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C=2(Q1+Q2)+5，試確定x的值，使得企業(yè)獲得大利潤，并求大利潤。
26.設(shè)函數(shù)f(x)在［0,3］上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且2f(0)=∫20f(x)dx=f(2)+f(3)。證明：
（1）存在η1∈［2,3］，使f(η1)=f(0)；
（2）存在η2∈［0,2］，使f(η2)=f(0)；
（3）存在ξ∈(0,3)，使f″(ξ)=0。
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高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（五）參考答案及解析第Ⅰ卷一、選擇題
1.【答案】A
【解析】由題意得,
limx→0+f(x)=limx→0+x2sin1x5=0，limx→0-f(x)=limx→0-e1x=0。
因為limx→0+f(x)=limx→0-f(x)=0，且函數(shù)f(x)在x=0處無定義，所以x=0為函數(shù)f(x)的可去間斷點。
2.【答案】D
【解析】因為y′=11+x2+ex，則y′（0）=2，所以曲線上的點(0,1)處的法線的斜率為k=-12，則法線方程為y-1=-12x，即x+2y-2=0。
3.【答案】C
【解析】因為d∫df(x)=d∫f′(x)dx=d［f(x)+C］=f′(x)dx，故A、B兩項錯誤。
C項，因為積分與求導(dǎo)互為逆運算，則∫f′(x)dx=f(x)+C，故C項正確。
D項，因為ddx∫df(x)=ddx∫f′(x)dx=f′(x)，故D項錯誤。
4.【答案】B
【解析】A項，∑∞n=1(-1)n+1n+3=∑∞n=1(-1)n+1un，由萊布尼茨判別法可知，當(dāng)n=1,2,…,1n+3>1(n+1)+3,即un>un+1；且limn→∞un=limn→∞1n+3=0，則級數(shù)收斂。
B項，因為limn→∞sin2n不存在，所以由級數(shù)收斂的必要條件可知，級數(shù)發(fā)散。
C項，令x=3sint，則dx=3costdt，故
∫3119-x2dx=∫π2arcsin133cost3costdt=π2-arcsin13，
因此廣義積分收斂。
D項，令x=tant，則dx=sec2tdt，故
∫+∞11(1+x2)2dx=∫π2π4sec2tsec4tdt=∫π2π4cos2tdt
=∫π2π41+cos2t2dt=t2+14sin2tπ2π4=π8-14，
因此廣義積分收斂。
5.【答案】C
【解析】微分方程的特征方程為4r2-12r+9=0，解得其特征根為r1=r2=32。因為f(x)=(3x2+2)e3x，且3不是特征方程的根，所以微分方程的特解可設(shè)為y=e3x(ax2+bx+c)。
第Ⅱ卷
二、填空題
6.【答案】(0,2］
【解析】因為f(x)的定義域為［-1,1)，則在函數(shù)ef(1-x)中(1-x)∈［-1,1)，即x∈(0,2］。
7.【答案】3
【解析】limx→0∫x-sinx0f(t)dt16ln(1+xa)=limx→0∫x-sinx0f(t)dt16xa=limx→0(1-cosx)f(x-sinx)16axa-1
=limx→012x2f(x-sinx)16axa-1=3alimx→0f(x-sinx)xa-3=1，
所以a=3。
8.【答案】13
【解析】limx→1f(x)-f(1)x3-1=limx→1f(x)-f(1)(x-1)(x2+x+1)
=13limx→1f(x)-f(1)x-1=13f′(1)=13。
9.【答案】-18
【解析】dydx=y′(t)x′(t)=cost1+et，d2ydx2=ddty′(t)x′(t)·1x′(t)=-sint·(1+et)-etcost(1+et)3，則
d2ydx2t=0=-18。
10.【答案】(e,+∞)
【解析】y=xlnx的定義域為(0,1)∪(1,+∞)。y′=lnx-1ln2x，令y′>0，則x>e，即y=xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+∞)。
11.【答案】89
【解析】設(shè)I=∫20f(x)dx，對方程f（x）=x2-∫20f（x）dx兩邊同時�。�0,2］上的定積分，得I=∫20x2dx-2I，則
I=13∫20x2dx=13·13x320=89，
即∫20f(x)dx=89。
12.【答案】I2 【解析】I1=∫π0ex2sinxdx，因為當(dāng)x∈(0,π)時，ex2sinx>0，所以I1>0。
由題意得I2=I1+∫2ππex2sinxdx，因為當(dāng)x∈(π,2π)時，ex2sinx<0，所以∫2ππex2sinxdx<0，故I2 由題意得I3=I1+∫3ππex2sinxdx，其中，
∫3ππex2sinxdx=∫2ππex2sinxdx+∫3π2πex2sinxdx
=∫2ππex2sinxdx+∫2ππe(x+π)2sin(x+π)dx
=∫2ππ［ex2-e(x+π)2］sinxdx，
因為當(dāng)x∈(π,2π)時，［ex2-e(x+π)2］sinx>0，所以
∫2ππ［ex2-e(x+π)2］sinxdx>0，
即I3>I1。
綜上I2 13.【答案】y=(x+C)secx
【解析】y=e-∫-tanxdx∫secxe∫-tanxdxdx+C=e-∫1cosxdcosx∫secx·e∫1cosxdcosxdx+C
=1cosx∫secx·cosxdx+C=(x+C)secx。
14.【答案】352
【解析】BA={3,-3,4},BC={1,-2,3}，S△ABC=12|BA×BC|，而
BA×BC=ijk3-341-23={-1,-5,-3}，
故|BA×BC|=(-1)2+(-5)2+(-3)2=35，
所以S△ABC=352。
15.【答案】(-4,2)
【解析】limn→∞(x+1)n+13n+13n+2(x+1)n=|x+1|3<1，即|x+1|<3，則x∈(-4,2)，所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（-4，2）。
三、計算題
16.【解析】limx→∞3x2+55x+3sin2x=limx→∞3x2+55x+3·2x=limx→∞6x2+105x2+3x=limx→∞6+10x25+3x=65。
17.【解析】y′=11+2x1+x22·2(1+x2)-4x2(1+x2)2
=11+4x2(1+x2)2·2(1+x2)-4x2(1+x2)2
=2-2x2(1+x2)2+4x2=2-2x2x4+6x2+1，
故dy=2-2x2x4+6x2+1dx。
18.【解析】I=∫x21+x2arctanxdx=∫1-11+x2arctanxdx
=∫arctanxdx-∫arctanxd（arctanx）
=xarctanx-∫x1+x2dx-12arctan2x
=xarctanx-12ln(1+x2)-12arctan2x+C。
19.【解析】x-2y=4，x=2y2x=8，y=2或x=2，y=-1，所以拋物線與直線的交點坐標(biāo)分別為（8,2）和（2,-1），如圖所示，則所圍成的平面圖形的面積為
S=∫2-1(2y+4-2y2)dy=9。
20.【解析】等式兩邊同時對x求導(dǎo)得f(x)+xf′(x)=1+f(x)，所以f′(x)=1x，則f(x)=lnx+C。因為當(dāng)x=1時，f(1)=1，所以C=1，故f(x)=lnx+1。
21.【解析】因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，則在x=0處必連續(xù)，所以limx→0-f(x)=limx→0+f(x)=f(0)，解得a=1。
因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以f′-(0)=f′+(0)。
f′-(0)=limx→0-f(x)-f(0)x-0=limx→0-ex-1x=1，
f′+(0)=limx→0+f(x)-f(0)x-0=limx→0+bxx=b，
故b=1。
綜上a=b=1。
22.【解析】因為直線l的方向向量為
s=ijk1231-1-1={1,4，-3}，
且平面過點（2,1,-5），所以平面方程為
(x-2)+4(y-1)-3(z+5)=0，
即x+4y-3z=21。
23.【解析】令S(x)=∑∞n=1(n+1)xn，由題意易知其收斂域為(-1,1)，則
∫x0S(t)dt=∫x0∑∞n=1(n+1)tndt=∑∞n=1∫x0(n+1)tndt=∑∞n=1xn+1=x21-x，
從而有S(x)=∫x0S(t)dt′=x21-x′=2x-x2(1-x)2，x∈(-1,1)。
當(dāng)x=12時，∑∞n=1n+12n=S12=3。
四、綜合題
24.【解析】由題意可知f(x)=F′(x)=18x53-10x2，則f′(x)=30x23-20x，f″(x)=20x-13-20。
令f″(x)=0，解得x=1，且當(dāng)x=0時，二階導(dǎo)數(shù)不存在。
x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)f″(x)-不存在+0-f(x)凸函數(shù)拐點為(0,0）凹函數(shù)拐點為(1,8)凸函數(shù)通過列表分析得，函數(shù)的凸區(qū)間為(-∞,0)和(1,+∞)，函數(shù)的凹區(qū)間為(0,1)，函數(shù)的拐點為(0,0)和(1,8)。
25.【解析】由已知條件得利潤函數(shù)為
L=(Q1+Q2)x-C=(Q1+Q2)x-2(Q1+Q2)-5
=18-x2+12-x(x-2)-5=-32x2+24x-47。
求導(dǎo)得L′=-3x+24，令L′=0得x=8。根據(jù)實際情況，L存在大值，且駐點唯一，則駐點即大值點，Lmax=-32×82+24×8-47=49，故x=8時，企業(yè)獲得大利潤，且大利潤為49萬
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