《江蘇省專轉(zhuǎn)本考試考前押密試卷·高等數(shù)學(xué)》共包含10套考前押密試卷, 每一套卷每一題均由中公教育江蘇專轉(zhuǎn)本考試研究院經(jīng)過精心打磨研發(fā)而成。8套試卷嚴(yán)格按照最新真題及考試要求全新研發(fā), 題型、題量及試題難易程度均與歷年真題保持一致。同時試卷嚴(yán)格按照真題的版式編排, 讓考生提前體驗考場考試的感覺, 以達(dá)到具備真正進(jìn)入考場時能夠迅速進(jìn)入考試狀態(tài)的能力。8套試卷在深入研究歷年真題的基礎(chǔ)上, 總結(jié)歷年真題中的高頻考點, 并根據(jù)重要知識點出題, 突出命題重點, 避免浪費(fèi)考生寶貴的復(fù)習(xí)時間, 以使考生在短期內(nèi)盡快溫習(xí)以及回顧。
江蘇省普通高等教育專轉(zhuǎn)本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）考試科目高等數(shù)學(xué)
考生姓名
考生編號
報考單位注
意
事
項1答題前，考生須按規(guī)定將考生姓名、考生編號和報考單位填寫到試卷規(guī)定的位置上，并在答題卡上填（涂）對應(yīng)的信息。
2所有答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，超出各題答題區(qū)域的答案無效。在草稿紙、試題上作答無效。
3考試結(jié)束后，將試題和答題卡一并交回。
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）第頁（共12頁）江蘇省普通高等教育專轉(zhuǎn)本考試
高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知limx→2x2+ax+bx2-x-2=2，則必有（）
A a=2，b=8B a=2，b=5
C a=0，b=-8D a=2，b=-8
2當(dāng)x→0時，下列四個無窮小量中，階數(shù)高的是（）
A x-sinxB 1-cosx2
C 1-x2-1D tanx-sinx
3已知函數(shù)f(x)在點x=1處連續(xù)，且limx→1f(x)x2-1=12，則f′(1)=（）
A 2B -2
C 1D -1
4設(shè)可導(dǎo)函數(shù)F(x)滿足F′(x)=f(x)，且C為任意常數(shù)，則（）
A ∫F′(x)dx=f(x)+CB ∫f(x)dx=F(x)+C
C ∫F(x)dx=F(x)+CD ∫f′(x)dx=F(x)+C
5積分區(qū)域D由圓x2+y2=2x所圍成，則Df(x2+y2)dσ=（）
A ∫π0dθ∫2cosθ0f(r)drB ∫π0dθ∫2cosθ0f(r)rdr
C ∫π2-π2dθ∫2cosθ0f(r)rdrD ∫π2-π2dθ∫2cosθ0f(r)dr
6設(shè)un=1npsinπn，要使級數(shù)∑∞n=1(-1)nun絕對收斂，則常數(shù)p的取值范圍是（）
A p>-1B p>0
C p≥0D p≥-1
7設(shè)A為三階矩陣，且A=2，A*為A的伴隨矩陣，則A*=（）
A 14B 1
C 2D 4
8設(shè)D1=a1b1c1a2b2c2a3b3c3=m≠0，則D2=a32b3-a33c3-2b3a22b2-a23c2-2b2a12b1-a13c1-2b1=（）
A 6mB -6m
C 0D 12m
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）9要使f(x)=2+x2-x1x在點x=0處連續(xù)，則應(yīng)補(bǔ)充定義f(0)=。
10已知y=(1+x2)sinx，則y′=。
11已知f(x)=e2x-1，則f(2023)(0)=。
12設(shè)反常積分∫+∞a1xln2xdx=1，其中a>1，則常數(shù)a=。
13設(shè)冪級數(shù)∑∞n=1an(x+2)n的收斂區(qū)間為(-4,0)，則冪級數(shù)∑∞n=1an(x-1)n2n的收斂區(qū)間為。
14若向量β=(1,2,k)可由向量組α1=(-1,2,7)，α2=(2,1,1)，α3=(1,-1,-4)線性表示，則k=。
三、計算題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）15求極限limx→0∫x0(t-arcsint)dtx2ln(1+x2)。
16求不定積分∫lnx(1-x)2dx。
17求定積分∫1-1(x2-x)1-x2dx。
18設(shè)z=z(x,y)是由方程x+2y+z-2xyz=0所確定的函數(shù)。求dz(0,1)。
19求微分方程y″+10y′+25y=2e-5x的通解。
20求二重積分I=Dxydxdy，其中D是由y=x，y=x-x2及x=1所圍成的閉區(qū)域。
21矩陣A=11002321-1，B=1233-21-2-52滿足方程XA=B,求矩陣X。
22已知線性方程組λx1+x2+x3=0，x1+2λx2+x3=0，x1+x2+x3=0有非零解。求λ的值，并求出方程組的所有非零解。
四、證明題（本大題共1小題，共10分）23證明：當(dāng)0 五、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）24已知函數(shù)f(x)=ax2+b(1-x)2在點x=0處取得極值，且有水平漸近線y=2。試求：
（1）常數(shù)a，b的值；
（2）曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間與拐點。
25設(shè)曲線y=f(x)上任一點(x,y)處的切線斜率為yx+x2，且該曲線經(jīng)過點1,12，由曲線y=f(x)與直線x=1，y=0所圍成的平面圖形記為D。試求：
（1）函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；
（2）平面圖形D的面積S；
（3）平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V。
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高等數(shù)學(xué)考前押密試卷（一）參考答案及解析
一、單項選擇題
1【答案】D
【解析】因為limx→2x2+ax+bx2-x-2=2，所以limx→2(x2+ax+b)=0，從而有4+2a+b=0，又
limx→2x2+ax+bx2-x-2=limx→22x+a2x-1=2，
可得4+a=6，解得a=2，b=-8。故選D。
2【答案】B
【解析】當(dāng)x→0時，
x-sinx~16x3，1-cosx2~12x4，1-x2-1~-12x2，
tanx-sinx=tanx(1-cosx)～x·x22=x32，
階數(shù)高的是1-cosx2。故選B。
3【答案】C
【解析】函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)，且limx→1f(x)x2-1=12，故limx→1f(x)=f(1)=0，因此題干等式可化為limx→1f(x)-f(1)(x+1)(x-1)=12，即
limx→1f(x)-f(1)x-1=1=f′(1)，
則f′(1)=1。故選C。
4【答案】B
【解析】由F′(x)=f(x)可知, f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，故
∫f(x)dx=F(x)+C。
故選B。
5【答案】C
【解析】令x=rcosθ，y=rsinθ，積分區(qū)域D如圖所示，可表示為
0≤r≤2cosθ，-π2≤θ≤π2，
于是
Df(x2+y2)dσ=∫π2-π2dθ∫2cosθ0f(r)rdr。
故選C。
6【答案】B
【解析】根據(jù)已知，
(-1)nun=un=1npsinπn，
當(dāng)n→∞時，sinπn～πn，即un~πnp+1，而級數(shù)∑∞n=1πnp+1當(dāng)p>0時收斂，從而p>0時級數(shù)∑∞n=1(-1)nun絕對收斂。故選B。
7【答案】D
【解析】由AA=AE得，
AA=AA=An，
故A=An-1=A2=4。
8【答案】B
【解析】根據(jù)行列式的性質(zhì)，
D2=a32b33c3-2b3a22b23c2-2b2a12b13c1-2b1=a32b33c3a22b23c2a12b13c1
=6a3b3c3a2b2c2a1b1c1=-6a1b1c1a2b2c2a3b3c3=-6m。
故選B。
二、填空題
9【答案】e
【解析】由函數(shù)連續(xù)的定義，
f(0)=limx→02+x2-x1x=limx→01+2x2-x1x
=limx→01+2x2-x2-x2x·22-x=elimx→022-x=e。
10【答案】(1+x2)sinxcosxln(1+x2)+2xsinx1+x2
【解析】函數(shù)兩邊同時取對數(shù)
lny=sinxln(1+x2)，
兩邊對x求導(dǎo)得
y′y=cosxln(1+x2)+sinx·2x1+x2，
將y=(1+x2)sinx代入可得
y′=(1+x2)sinxcosxln(1+x2)+2xsinx1+x2。
11【答案】22023e-1
【解析】f′(x)=2e2x-1, f″(x)=22e2x-1, f(x)=23e2x-1,…, f(n)(x)=2ne2x-1,故
f(2023)(0)=22023e-1。
12【答案】e
【解析】根據(jù)類換元積分法，
∫+∞a1xln2xdx=∫+∞a1ln2xdlnx=-1lnx+∞a=1lna=1，
解得a=e。
13【答案】(-3,5)
【解析】由題意知，冪級數(shù)∑∞n=1an(x+2)n的收斂半徑為R=limn→∞anan+1=2，于是
R′=limn→∞an2nan+12n+1=2limn→∞anan+1=4，
故-4 14【答案】5
【解析】由題意可知β=x1α1+x2α2+x3α3，則
-x1+2x2+x3=1,2x1+x2-x3=2,7x1+x2-4x3=k,
對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換得
-121121-1271-4k→1-2-1-10514000k-5，
該方程組有解，則k-5=0，即k=5。
三、計算題
15【解析】由等價無窮小替換及洛必達(dá)法則可得，
limx→0∫x0(t-arcsint)dtx2ln(1+x2)=limx→0∫x0(t-arcsint)dtx4=limx→0x-arcsinx4x3=limx→01-11-x212x2=limx→01-x2-112x2·1-x2=limx→0-112(1-x2+1)=-124。
16【解析】根據(jù)分部積分法，
∫lnx(1-x)2dx=∫lnx·d11-x=lnx1-x-∫11-x·1xdx
=lnx1-x-∫1x+11-xdx
=lnx1-x-lnx+ln1-x+C
=xlnx1-x+ln1-x+C。
17【解析】因為x21-x2是偶函數(shù)，x1-x2是奇函數(shù)，所以，
∫1-1x21-x2dx=2∫10x21-x2dx，∫1-1x1-x2dx=0,
∫1-1(x2-x)1-x2dx=∫1-1x21-x2dx-∫1-1x1-x2dx=2∫10x21-x2dx,
令x=sint，則dx=costdt。當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1時，t=π2。故
∫1-1(x2-x)1-x2dx=2∫π20sin2tcost·costdt
=12∫π20sin22tdt=14∫π20(1-cos4t)dt
=14t-14sin4tπ20=π8。
18【解析】方法一：當(dāng)x=0，y=1時，z=-2。
令F(x,y,z)=x+2y+z-2xyz，則
F′x=1-2yz，F(xiàn)′y=2-2xz，F(xiàn)′z=1-2xy，
從而
zx=-F′xF′z=-1-2yz1-2xy，zx(0,1)=-5，
zy=-F′yF′z=-2-2xz1-2xy，zy(0,1)=-2,
故dz(0,1)=-5dx-2dy。
方法二：當(dāng)x=0，y=1時，z=-2。
方程兩邊同時對x求偏導(dǎo)可得，
1+zx-2yz-2xyzx=0,
解得zx=1-2yz2xy-1，zx(0,1)=-5；
方程兩邊同時對y求偏導(dǎo)可得，
2+zy-2xz-2xyzy=0,
解得zy=2-2xz2xy-1，zy(0,1)=-2。
故dz(0,1)=-5dx-2dy。
方法三：當(dāng)x=0，y=1時，z=-2。
方程兩邊同時進(jìn)行微分如下，
dx+2dy+dz-2xydz-2xzdy-2yzdx=0,
整理可得
(1-2yz)dx+(2-2xz)dy=(2xy-1)dz,
則dz=1-2yz2xy-1dx+2-2xz2xy-1dy,
故dz(0,1)=-5dx-2dy。
19【解析】對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2+10r+25=0，解得特征根為r1=r2=-5，對應(yīng)齊次方程的通解為Y=(C1+C2x)e-5x。
設(shè)特解為y*(x)=Ax2e-5x，其中A為待定常數(shù)，代入方程解得A=1，所以y*(x)=x2e-5x。故原方程的通解為
y=(C1+C2x)e-5x+x2e-5x，其中C1,C2為任意常數(shù)。
20【解析】如圖所示，積分區(qū)域D用不等式表示為0≤x≤1，x-x2≤y≤x，因此
I=∫10dx∫xx-x2xydy=12∫10x3dx=18x410=18。
21【解析】A=11002321-1=1≠0，所以矩陣A可逆，且A-1=-5136-1-3-412，由XA=B得
X=BA-1=1233-21-2-52-5136-1-3-412=-523-31617-28513。
22【解析】原方程組有非零解，所以系數(shù)矩陣行列式
D=λ1112λ1111=(λ-1)(2λ-1)=0，
解得λ=1或λ=12。
當(dāng)λ=1時，對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換
A=111121111→101010000，
同解方程組為x1=-x3,x2=0,令x3=k，此時方程組的所有非零解為x=k-101，其中k為任意非零常數(shù)。
當(dāng)λ=12時，對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換
A=1211111111→100011000，
同解方程組為x1=0,x2=-x3,令x3=k，此時方程組的所有非零解為x=k0-11，其中k為任意非零常數(shù)。
四、證明題
23【證明】令f(x)=
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