第 1章 初中數(shù)學回顧 001

1.0　導言　002

要點是擴展、抽象和邏輯　002

1.1　正負數(shù)　004

1.1.1　負數(shù)的計算可以用數(shù)軸來思考　004

應(yīng)用　銀行貸款與溫度　005

1.2　無理數(shù)與平方根　006

1.2.1　要是沒有無理數(shù)就好了……　006

1.2.2　為什么一定要分母有理化？　007

1.3　代數(shù)式　008

1.3.1　使用代數(shù)式的原因　008

1.3.2　抽象化的好處　009

應(yīng)用　計算機程序要用代數(shù)式編寫　009

1.4　交換律、分配律和結(jié)合律　010

1.4.1　顯而易見的交換律　010

1.4.2　為什么代數(shù)式中不使用÷？　011

1.5　乘法公式與因式分解　012

1.5.1　不要想了，讓你的手作出反應(yīng)！　012

1.5.2　為什么要因式分解？　013

應(yīng)用　通過因式分解來解釋員工的努力與公司的效益之間

的關(guān)系　013

1.6　一元一次方程　014

1.6.1　方程是為了求未知數(shù)而建立的等式　015

應(yīng)用　求商品的價格　015

1.7　聯(lián)立方程　016

1.7.1　聯(lián)立方程是具有多個未知數(shù)的方程　016

應(yīng)用　求蘋果和橘子的個數(shù)　017

1.8　比例　018

1.8.1　身邊的比例的例子　018

1.8.2　坐標是什么？　019

1.9　反比例　020

1.9.1　身邊的反比例的例子　020

應(yīng)用　速度、時間、距離法則 = 比例·反比例　021

1.8.2　坐標是什么？　021

1.10　圖形的性質(zhì)（三角形、四邊形、圓）　022

1.10.1　圖形中最低限度要掌握的內(nèi)容　023

1.11　圖形的全等和相似　024

1.11.1　相似的含義　024

應(yīng)用　為什么不能制造一架巨大的飛機　025

1.12　證明　026

1.12.1　為什么要學習證明？　026

應(yīng)用　等腰三角形底角相等的證明　027

1.13　勾股定理　028

1.13.1　勾股定理很重要　028

1.13.2　把勾股定理擴展到立體圖形　029

應(yīng)用　電視屏幕的尺寸　029

專欄　絕對值就是距離　030

第　2章一次、二次函數(shù)與方程、不等式　031

2.0　導言　032

函數(shù)用來做什么？　032

為什么一次函數(shù)和二次函數(shù)很重要　032

如果通過圖像來思考，方程和不等式就比較容易理解　033

2.1　函數(shù)及其定義　034

2.1.1　函數(shù)是什么　034

2.1.2　反函數(shù)、多變量函數(shù)、復合函數(shù)　035

2.2　一次函數(shù)的圖像　036

2.2.1　一次函數(shù)是直線　036

應(yīng)用　為什么斜率和截距很重要　036

2.3　二次函數(shù)及其圖像　038

2.3.1　二次函數(shù)是拋物線　038

應(yīng)用　為什么頂點很重要？　039

2.4　一元二次方程的解法　040

2.4.1　一元二次方程的三種解法　041

應(yīng)用　點心鋪的利潤　041

2.5　一元二次方程的虛數(shù)解　042

2.5.1　當根號內(nèi)為負數(shù)時　042

應(yīng)用　虛數(shù)的價格!　043

2.6　一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系　044

2.6.1　判別式是為了稍微方便一點　044

應(yīng)用　快速解決問題　045

2.7　高次函數(shù)　046

2.7.1　隨著次數(shù)增加而蜿蜒曲折　046

應(yīng)用　使用高次函數(shù)擬合數(shù)值數(shù)據(jù)　047

2.8　因式定理和余式定理　048

2.8.1　通過具體的例子來思考，因式定理并不難　048

2.8.2　整式的長除法　049

應(yīng)用　高次方程的解法　049

2.9　不等式的解法　050

2.9.1　不等式兩邊乘以負數(shù)時要注意！　050

2.9.2　二次不等式的解法　051

2.10　不等式與區(qū)域　052

2.10.1　不等式與區(qū)域的問題要仔細地畫圖表示　052

應(yīng)用　通過線性規(guī)劃最大化銷售額　053

專欄　整數(shù)的素因子分解守護著網(wǎng)絡(luò)和平　054

第3章指數(shù)、對數(shù)　055

3.0　導言　056

指數(shù)可以方便地處理很大的數(shù)和很小的數(shù)　056

對數(shù)是指數(shù)的逆　056

3.1　指數(shù)　058

3.1.1　指數(shù)是一種表示大數(shù)的技術(shù)　058

應(yīng)用　求探測器隼鳥號的速度　059

3.1　指數(shù)的擴展　060

3.2.1　為什么要擴展指數(shù)　060

3.2.2　試著擴展指數(shù)　061

3.3　指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)　062

3.3.1　指數(shù)函數(shù)的特征　062

3.3.2　指數(shù)函數(shù)的圖像　063

應(yīng)用　復利計算　063

3.4　對數(shù)函數(shù)的定義　064

3.4.1　對數(shù)是指數(shù)的逆　064

應(yīng)用　對數(shù)的優(yōu)勢是什么？　065

3.5　對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)　066

3.5.1　對數(shù)函數(shù)的特征　067

應(yīng)用　用對數(shù)定義熵　067

3.6　換底公式　068

3.6.1　使用換底公式的問題示例　068

3.6.2　為什么底數(shù)不能是1 或負數(shù)？　069

3.7　常用對數(shù)與自然對數(shù)　070

3.7.1　常用對數(shù)和自然對數(shù)的特征　070

應(yīng)用　使用對數(shù)表進行計算　071

3.7.2　如何在計算機上計算指數(shù)和對數(shù)？　073

3.8　對數(shù)圖的用法　074

3.8.1　怪異的軸的含義　074

應(yīng)用　用對數(shù)圖表示二極管電流- 電壓特性　075

3.9　指數(shù)和對數(shù)的物理單位　076

3.9.1　表示指數(shù)的詞頭　076

應(yīng)用　分貝和震級　077

專欄　數(shù)學世界的炸彈　078

第4章三角函數(shù)　079

4.0　導言　080

三角函數(shù)不是三角形的函數(shù)，而是表示波的函數(shù)　080

三角函數(shù)的要點　080

4.1　三角函數(shù)的基本公式　082

4.1.1　首先通過直角三角形掌握三角函數(shù)　082

應(yīng)用　用三角法求高度　083

4.2　三角函數(shù)的擴展與圖像　084

4.2.1　定義從直角三角形變?yōu)閱挝粓A　084

4.2.2　畫出三角函數(shù)的圖像　085

應(yīng)用　用三角函數(shù)表示波　086

4.3　三角函數(shù)的各個公式　088

4.3.1　讓考生頭疼的公式們　088

應(yīng)用　智能手機中使用的無線電波頻譜搬移　089

4.4　弧度制（弧度）　090

4.4.1　為什么使用弧度制？　090

4.4.2　計算機中三角函數(shù)的角度單位　091

4.5　正弦定理和余弦定理　092

4.5.1　考試中經(jīng)常出現(xiàn)的正弦定理、余弦定理　092

應(yīng)用　三角形的各種面積公式　093

4.6　傅里葉級數(shù)　094

4.6.1　所有的波都歸結(jié)為正弦余弦　094

應(yīng)用　聲、光與頻率的關(guān)系　095

4.7　離散余弦變換　096

4.7.1　智能手機照片中用到的三角函數(shù)　096

應(yīng)用　圖像的壓縮方法　098

專欄　20 與20.00 的差異　100

第5章導數(shù)　101

5.0　導言　102

何為導數(shù)？　102

能處理無窮了　103

與積分的關(guān)系　103

5.1　極限與無窮大　106

5.1.1　容易被誤解的極限　106

應(yīng)用　復雜式子的閱讀理解方法　107

5.2　導數(shù)（求導的定義）　108

5.2.1　首先掌握求導的大體印象　108

5.3　導函數(shù)　110

5.3.1　xn 的導數(shù)很簡單　110

5.3.2　導函數(shù)的含義　111

5.4　三角函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的導數(shù)　112

5.4.1　三角函數(shù)的導數(shù)　112

5.4.2　自然常數(shù)登場　113

5.5　函數(shù)積的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)　114

5.5.1　驗證公式的方法　115

5.5.2　像分數(shù)一樣對待　115

5.6　切線的公式　116

5.6.1　如果理解了導數(shù)，切線應(yīng)該很容易　117

應(yīng)用　在計算機上編輯曲線　117

5.7　高階導數(shù)與函數(shù)的凹凸性　118

5.7.1　高階導數(shù)　118

應(yīng)用　函數(shù)的凹凸性　119

5.8　中值定理與可導性　120

5.8.1　顯然的定理？　120

5.8.2　可導性　121

專欄　不是分數(shù)？　122

第6章積分　123

6.0　導言　124

何為積分？　124

通過積分計算面積的方法　124

6.1　積分的定義與微積分基本定理　126

6.1.1　積分是求面積的工具　127

6.1.2　積分符號的含義　128

6.1.3　積分是求導的逆運算　128

6.2　不定積分　130

6.2.1　不定積分的方法　131

6.2.2　積分常數(shù)C 是什么　131

6.3　定積分的計算方法　132

6.3.1　定積分的計算方法　132

6.3.2　定積分的區(qū)間，面積的符號　133

6.4　分部積分法　134

6.4.1　顯而易見的交換律　134

6.4.2　為什么代數(shù)式中不使用÷？　135

6.5　換元積分法　136

6.5.1　換元積分法是復合函數(shù)求導公式的逆　137

6.6　積分與體積　138

6.6.1　體積是把立體劃分為無數(shù)塊薄板算出　139

6.7　曲線的長度　140

6.7.1　曲線的長度是通過將其分成無限短的直線段來計算　141

6.8　位置、速度和加速度的關(guān)系　142

應(yīng)用　牛頓運動方程　143

專欄　牛頓與萊布尼茨構(gòu)建了微積分　144

第7章高等微積分　145

7.0　導言　146

本章的學習對高中生也有好處　146

微分方程的解是函數(shù)　146

處理多元函數(shù)　147

7.1　微分方程　148

7.1.1　微分方程是求函數(shù)的方程　148

7.1.2　微分方程的求解方法　149

應(yīng)用　運動方程，放射性元素衰變　150

7.2　拉普拉斯變換　152

7.2.1　通過拉普拉斯變換容易求解微分方程　152

應(yīng)用　求解電子電路的微分方程　153

7.3　偏導數(shù)與多元函數(shù)　154

7.3.1　多元函數(shù)的導數(shù)是偏導數(shù)　154

應(yīng)用　多元函數(shù)的最大、最小值問題　155

7.4　拉格朗日乘數(shù)法　156

7.4.1　拉格朗日乘數(shù)法不用考慮為什么　157

應(yīng)用　統(tǒng)計分析的最大值和最小值　157

7.5　多重積分　158

7.5.1　多元函數(shù)的積分是多重積分　159

應(yīng)用　根據(jù)密度算出重量　159

7.6　線積分與面積分　160

7.6.1　多元函數(shù)有很多積分路徑　161

應(yīng)用　計算每條路徑所需的能量　161

專欄　ε- 語言　162

第8章數(shù)值分析　163

8.0　導言　164

沒有指令，計算機什么也做不了　164

數(shù)值處理的難度　164

8.1　線性近似公式　166

8.1.1　函數(shù)用切線來近似　166

應(yīng)用　單擺的等時性是近似的　167

8.2　泰勒展開式、麥克勞林展開式　168

8.2.1　麥克勞林展開式用xn 之和來表示函數(shù)　169

應(yīng)用　使用對數(shù)表進行計算　169

8.3　牛頓迭代法　170

8.3.1　用切線解方程的方法　170

應(yīng)用　讓計算機解方程　171

8.4　數(shù)值微分　172

8.4.1　在數(shù)值計算中，導數(shù)就是差商　172

應(yīng)用　自行車加速數(shù)據(jù)的求導　173

8.5　數(shù)值積分（梯形公式、辛普森公式）　174

8.5.1　基于什么來求面積？　175

應(yīng)用　指數(shù)函數(shù)積分值的計算　175

8.6　微分方程的數(shù)值解法（歐拉法）　176

8.6.1　歐拉法是用切線來近似曲線　176

8.6.2　雙擺的運動　177

專欄　計算機用二進制進行計算　178

第9章數(shù)列　179

9.0　導言　180

學習數(shù)列的意義是學習離散　180

在數(shù)列中求和很重要　181

9.1　等差數(shù)列　182

9.1.1　相鄰項之差為常數(shù)，因此是等差數(shù)列　182

應(yīng)用　數(shù)一數(shù)金字塔的磚的數(shù)量　183

9.2　等比數(shù)列　184

9.2.1　定義從直角三角形變?yōu)閱挝粓A　184

應(yīng)用　計算逸失利益的萊布尼茨系數(shù)　185

9.3　符號 的用法　186

9.3.1�。⊿igma）并不可怕　186

應(yīng)用　 的標記方法　187

9.4　遞推公式　188

9.4.1　遞推公式是局部地觀察數(shù)列的式子　188

應(yīng)用　元胞自動機和斐波那契數(shù)列　189

9.5　無窮級數(shù)　190

9.5.1　即使把無窮個數(shù)加起來也可能不會很大　190

應(yīng)用　把循環(huán)小數(shù)用分數(shù)表示　191

9.6　數(shù)學歸納法　192

9.6.1　數(shù)學歸納法就像多米諾骨牌　192

9.6.2　數(shù)學歸納法的悖論　193

專欄　專欄：習慣希臘字母　194

第　10章圖形與方程　195

10.0　導言　196

用數(shù)學式子來表示圖形　196

極坐標的存在是為了讓人輕松　196

10.1　直線的方程　198

10.1.1　作為圖形的直線方程　199

應(yīng)用　繪制直線的算法　199

10.2　圓的方程　200

10.2.1　把圓作為方程來看　200

應(yīng)用　繪制圓的方法　201

10.3　二次曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）　202

10.3.1　橢圓、雙曲線、拋物線的特征　203

應(yīng)用　衛(wèi)星的軌道　203

10.4　平移圖形的方程　204

10.4.1　移動圖形的方法　205

應(yīng)用　CG 中也用到的仿射變換　205

10.5　中心對稱和軸對稱　206

10.5.1　對稱變換引起的方程變化　207

應(yīng)用　奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分　207

10.6　旋轉(zhuǎn)　208

10.6.1　旋轉(zhuǎn)由三角函數(shù)表示　209

應(yīng)用　轉(zhuǎn)動參考系中的離心力和科里奧利力　209

10.7　參數(shù)　210

10.7.1　參數(shù)不是敵人　211

應(yīng)用　擺線分析　211

10.8　極坐標　212

10.8.1　極坐標是指定方向和距離的坐標系　213

應(yīng)用　船舶航行　213

10.9　空間圖形的方程　214

10.9.1　通過比較二維（平面）和三維（空間）來 理解本質(zhì)　215

專欄　數(shù)學中必需的空間認知能力　216

第　11章向量　217

11.0　導言　218

向量不僅僅是箭頭　218

向量乘法可以用多種方式定義　219

11.1　作為箭頭的向量　220

11.1.1　作為箭頭的向量是具有大小和方向的量　221

應(yīng)用　力的分解　221

11.2　向量的坐標表示、位置向量　222

11.2.1　用數(shù)字表示向量　223

應(yīng)用　內(nèi)分線段的點　223

11.3　向量的線性無關(guān)　224

11.3.1　線性無關(guān)很常見，線性相關(guān)是例外　224

應(yīng)用　坐標軸的變換　225

11.4　向量的內(nèi)積（平行和垂直的條件）　226

11.4.1　向量乘法不止一種　226

應(yīng)用　給予貨物的能量　227

11.5　平面圖形的向量式方程　228

１1.5.1　為什么使用向量式方程　229

11.6　空間向量　230

11.6.1　空間向量的變與不變　231

應(yīng)用　超弦理論：空間實際上是9 維的　231

11.7　空間圖形的向量式方程　232

11.7.1　空間圖形凸顯向量式方程的優(yōu)點　233

應(yīng)用　三維CAD 數(shù)據(jù)的二維化　233

11.8　向量的外積　234

11.8.1　外積的結(jié)果為向量　234

應(yīng)用　坐標軸的變換　235

11.9　速度向量與加速度向量　236

11.9.1　可以用向量分析平面上的運動　236

應(yīng)用　勻速圓周運動的分析　237

11.10　梯度、散度、旋度　238

11.10.1　向量微積分并不可怕　239

應(yīng)用　抽象化是價值　239

專欄　數(shù)學中必需的空間認知能力　240

第　12章矩陣　241

12.0　導言　242

矩陣用于向量的運算　242

矩陣與高中數(shù)學的關(guān)系　242

12.1　矩陣的基礎(chǔ)及計算　244

12.1.1　注意矩陣的乘積　245

應(yīng)用　程序的矩陣和數(shù)組　245

12.2　單位矩陣與逆矩陣、行列式　246

12.2.1　矩陣的除法使用逆矩陣　246

12.3　矩陣與聯(lián)立方程組　248

12.3.1　用矩陣也可以求解聯(lián)立方程組　248

應(yīng)用　用高斯消元法解聯(lián)立方程組　249

12.4　矩陣與線性變換　250

12.4.1　簡潔的表示很有價值　251

應(yīng)用　平移的表示方法　251

12.5　特征值和特征向量　252

12.5.1　直觀地理解特征值、特征向量　253

應(yīng)用　矩陣的對角化　253

12.6　33 矩陣　254

12.6.1　隨著矩陣變大，計算變得復雜　255

應(yīng)用　用高斯消元法求逆矩陣　255

專欄　應(yīng)該在高中數(shù)學教矩陣嗎？　256

第　13章數(shù)　257

13.0　導言　258

由人決定虛實　258

為什么要特意使用復平面？　258

13.1　復數(shù)的基礎(chǔ)　260

13.1.1　注意復數(shù)的絕對值　260

應(yīng)用　用復數(shù)表示反射系數(shù)　261

13.2　復平面與極坐標形式　262

13.2.1　復數(shù)與旋轉(zhuǎn)很契合　263

13.3　歐拉公式　264

13.3.1　連接指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的公式　264

應(yīng)用　交流電路的復數(shù)表示　265

13.4　傅里葉變換　266

13.4.1　傅里葉變換的含義　267

13.4.2　函數(shù)的正交和內(nèi)積是什么？　267

應(yīng)用　無線通信技術(shù)與傅里葉變換　268

13.5　四元數(shù)（Quaternion）　270

13.5.1　通過四元數(shù)加深復數(shù)的理解　271

應(yīng)用　CG 與火箭的旋轉(zhuǎn)　271

專欄　虛數(shù)時間是什么？　272

第　14章概率　273

14.0　導言　274

概率的關(guān)鍵是語文的理解　274

現(xiàn)實的概率與數(shù)學的概率　274

14.1　情況數(shù)　276

14.1.1　情況數(shù)就是不重不漏　277

14.1.2　加法還是乘法？　277

14.2　排列數(shù)公式　278

14.2.1　考慮順序時使用排列數(shù)公式　278

應(yīng)用　最短路徑問題　279

14.3　組合數(shù)公式　280

14.3.1　不考慮順序時使用組合數(shù)公式　280

14.3.2　排列與組合的總結(jié)　282

應(yīng)用　從楊輝三角推導出二項式定理　282

14.4　概率的定義　284

14.4.1　等可能的問題　285

應(yīng)用　古典概率與試驗概率　285

14.5　概率的加法定理　286

14.5.1　互斥是指沒有公共部分　287

14.6　獨立事件的概率公式　288

14.6.1　要從反面來理解獨立　288

應(yīng)用　購買紙尿褲的概率和購買啤酒的概率　289

14.7　獨立重復試驗的概率公式　290

14.7.1　獨立重復試驗考慮組合　290

應(yīng)用　用于風險管理的泊松分布　291

14.8　條件概率和概率的乘法定理　292

14.8.1　條件概率是分母發(fā)生了變化　292

14.9　貝葉斯定理　294

14.9.1　如果理解了條件概率，定理的機制就很簡單　294

應(yīng)用　垃圾郵件判定　294

專欄　蒙特卡羅方法　296

第　15章統(tǒng)計學基礎(chǔ)　297

15.0　導言　298

通過均值和標準差理解統(tǒng)計學的一半　298

正態(tài)分布是統(tǒng)計學上最大的發(fā)現(xiàn)　298

統(tǒng)計學成立的前提　299

15.1　均值　300

15.1.1　為什么要求均值？　300

應(yīng)用　收入分布的分析　301

15.2　方差與標準差　302

15.2.1　標準差是離散程度的指標　303

15.2.2　為什么要平方？　304

15.2.3　用計算機計算方差和標準差時的注意事項　305

應(yīng)用　過程能力指數(shù)　305

15.3　相關(guān)系數(shù)　306

15.3.1　相關(guān)系數(shù)表示兩組數(shù)據(jù)之間相關(guān)性的強度　307

應(yīng)用　投資組合　307

15.4　概率分布與期望值　308

應(yīng)用　賭博的期望值　309

15.5　二項分布、泊松分布　310

15.5.1　二項分布和泊松分布的關(guān)系　311

應(yīng)用　安打1 次數(shù)、不合格品個數(shù)　311

15.6　正態(tài)分布　312

15.6.1　為什么正態(tài)分布如此重要？　312

應(yīng)用　正態(tài)分布的局限　313

15.7　偏度、峰度、正態(tài)概率圖　314

15.7.1　把握偏離正態(tài)分布的程度　315

應(yīng)用　正態(tài)概率圖的用法　315

15.8　大數(shù)定律與中心極限定理　316

15.8.1　多少才算很多？　316

15.8.2　中心極限定理中呈現(xiàn)正態(tài)分布的是樣本均值　317

專欄　數(shù)據(jù)是統(tǒng)計的靈魂　318

第　16章高等統(tǒng)計學　319

16.0　導言　320

完全交給計算機是不行的　320

統(tǒng)計推斷是根據(jù)樣本對總體作出推斷　320

回歸分析使預測未來成為可能　321

16.1　總體均值的區(qū)間估計　322

16.1.1　從樣本的統(tǒng)計值推斷總體均值　322

應(yīng)用　日本成年男性的平均身高　323

16.2　總體比例的區(qū)間估計　324

16.2.1　從樣本的統(tǒng)計值推斷總體均值　324

應(yīng)用　電視收視率　325

16.3　假設(shè)檢驗　326

應(yīng)用　工廠之間產(chǎn)品的波動　327

16.4　簡單回歸分析　328

16.4.1　回歸分析的含義　329

應(yīng)用　廣告效果　329

16.5　多元回歸分析　330

16.5.1　多元回歸是具有多個自變量的回歸分析　330

應(yīng)用　天氣條件與產(chǎn)量的關(guān)系　331

16.6　主成分分析　332

16.6.1　主成分分析的目標　332

應(yīng)用　品牌形象調(diào)查　333

16.7　因子分析　334

16.7.1　因子分析聚焦于意義　335

應(yīng)用　顧客調(diào)查問卷分析　335

專欄　實用數(shù)學的最大敵人　336

結(jié)束語　337