目錄
前言
緒論. 1
第 1 章 變分法 3
1.1 泛函 3
1.1.1 泛函的概念 3
1.1.2 泛函的具體形式 5
1.2 變分 5
1.2.1 變分的概念 5
1.2.2 變分的運(yùn)算規(guī)則 6
1.3 泛函導(dǎo)數(shù) 8
1.3.1 泛函導(dǎo)數(shù)的概念 8
1.3.2 泛函導(dǎo)數(shù)的操作定義 9
1.3.3 計(jì)算一階泛函導(dǎo)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)手續(xù) 12
1.4 泛函極值 13
1.4.1 泛函極值的必要條件 13
1.4.2 歐拉–拉格朗日方程 14
1.4.3 多個(gè)變量與多元函數(shù) 17
習(xí)題 19
第 2 章 位形空間 21
2.1 位形與時(shí)間演化 21
2.1.1 位形 21
2.1.2 位形空間與流形 21
2.1.3 世界線 22
2.2 廣義坐標(biāo) 22
2.2.1 廣義坐標(biāo)的概念 22
2.2.2 廣義坐標(biāo)的變換 25
2.3 速度、速度相空間 26
2.3.1 速度相空間 26
2.3.2 廣義坐標(biāo)的變換所誘導(dǎo)的廣義速度的變換 29
2.4 約束 29
2.4.1 約束的概念 29
2.4.2 約束的分類 30
2.5 自由度 35
習(xí)題 37
第 3 章 相對(duì)論時(shí)空觀 40
3.1 時(shí)空的基本概念 40
3.1.1 時(shí)空 40
3.1.2 粒子與場(chǎng) 40
3.1.3 世界線 41
3.2 度規(guī) 42
3.2.1 從勾股定理談起 42
3.2.2 一些典型空間的度規(guī) 43
3.2.3 度規(guī)的一般定義 45
3.2.4 時(shí)空的度規(guī) 46
3.2.5 逆變與協(xié)變 47
3.3 參考系 49
3.3.1 觀測(cè)者 49
3.3.2 慣性參考系 50
3.4 相對(duì)性原理 50
3.4.1 伽利略相對(duì)性原理 51
3.4.2 愛因斯坦狹義相對(duì)性原理 52
習(xí)題 52
第 4 章 最小作用量原理 55
4.1 新的力學(xué)原理 55
4.1.1 “力”是一個(gè)不必要的概念 55
4.1.2 從牛頓到哈密頓 56
4.2 作用量 57
4.2.1 最小作用量原理的表述 57
4.2.2 廣義動(dòng)量 60
4.3 自由粒子 61
4.3.1 4 維形式 61
4.3.2 3 維形式 64
4.3.3 非相對(duì)論極限 65
4.4 外場(chǎng)中的粒子 66
4.4.1 標(biāo)量場(chǎng) 67
4.4.2 電磁場(chǎng) 68
4.4.3 引力場(chǎng) 69
4.5 非相對(duì)論極限下作用量的基本形式 71
習(xí)題 76
第 5 章 對(duì)稱性與守恒律 80
5.1 運(yùn)動(dòng)常數(shù) 80
5.2 廣義動(dòng)量、能量守恒 82
5.2.1 廣義動(dòng)量守恒 82
5.2.2 廣義能量守恒 84
5.3 時(shí)空對(duì)稱性與守恒量 87
5.3.1 空間的均勻性與各向同性 87
5.3.2 時(shí)間的均勻性 90
5.4 作用量的形式變換 91
5.4.1 拉格朗日量與全導(dǎo)數(shù) 91
5.4.2 廣義坐標(biāo)的變換 93
5.5 對(duì)稱性 95
5.5.1 普通函數(shù)的對(duì)稱性 95
5.5.2 時(shí)間與廣義坐標(biāo)的變換 97
5.5.3 作用量的對(duì)稱性 99
5.6 諾特定理 102
5.6.1 諾特定理的證明 102
5.6.2 時(shí)空對(duì)稱性 104
5.6.3 標(biāo)度對(duì)稱性 107
習(xí)題 111
第 6 章 輔助變量 114
6.1 拉格朗日乘子法 114
6.1.1 函數(shù)的條件極值 114
6.1.2 完整約束 116
6.1.3 非完整約束 118
6.2 輔助變量與有效作用量 122
6.3 拉格朗日乘子與輔助變量的其他技巧 125
6.3.1 廣義速度的線性化 125
6.3.2 高階導(dǎo)數(shù)的降階 126
習(xí)題 127
第 7 章 微分變分原理 129
7.1 達(dá)朗貝爾原理 129
7.1.1 虛位移與虛功 129
7.1.2 達(dá)朗貝爾原理的表述 130
7.2 由達(dá)朗貝爾原理導(dǎo)出拉格朗日方程 131
7.2.1 保守系統(tǒng) 133
7.2.2 非保守系統(tǒng) 133
7.3 約爾當(dāng)原理和高斯最小約束原理 134
7.3.1 約爾當(dāng)原理 134
7.3.2 高斯最小約束原理 135
習(xí)題 135
第 8 章 兩體問題 137
8.1 兩體系統(tǒng) 137
8.1.1 兩體系統(tǒng)的拉格朗日量 137
8.1.2 兩體系統(tǒng)的退耦 138
8.2 中心勢(shì)場(chǎng) 140
8.2.1 中心勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 140
8.2.2 定性討論 143
8.2.3 貝特朗定理 143
8.3 開普勒問題 145
8.3.1 開普勒問題的求解 146
8.3.2 拉普拉斯–龍格–楞次矢量 147
8.3.3 開普勒問題的對(duì)稱性 150
8.4 彈性碰撞 152
8.5 散射. 154
8.5.1 散射角 154
8.5.2 散射截面 155
習(xí)題 156
第 9 章 微擾展開 158
9.1 線性化與微擾論 158
9.2 函數(shù)的微擾展開 158
9.3 作用量的微擾展開 160
9.3.1 單自由度 160
9.3.2 多自由度 162
9.4 穩(wěn)定平衡位形附近的微擾展開 164
9.4.1 單自由度 164
9.4.2 多自由度 168
9.5 一般位形附近的微擾展開 171
習(xí)題 174
第 10 章 小振動(dòng) 177
10.1 自由振動(dòng) 177
10.1.1 單自由度 177
10.1.2 簡(jiǎn)正模式 179
10.1.3 簡(jiǎn)正坐標(biāo) 185
10.2 阻尼振動(dòng) 191
10.2.1 耗散函數(shù) 191
10.2.2 阻尼振動(dòng)的求解 193
10.2.3 阻尼振動(dòng)的有效拉格朗日量 194
10.3 受迫振動(dòng) 195
10.4 參數(shù)共振 197
10.5 非線性振動(dòng). 199
習(xí)題 201
第 11 章 轉(zhuǎn)動(dòng)理論 204
11.1 歐氏空間中的轉(zhuǎn)動(dòng) 204
11.1.1 轉(zhuǎn)動(dòng)是保度規(guī)的坐標(biāo)變換 204
11.1.2 轉(zhuǎn)動(dòng)是線性空間中的基變換 206
11.1.3 轉(zhuǎn)動(dòng)的主動(dòng)與被動(dòng)觀點(diǎn) 207
11.1.4 無窮小轉(zhuǎn)動(dòng) 208
11.2 閔氏時(shí)空中的轉(zhuǎn)動(dòng) 209
11.3 轉(zhuǎn)動(dòng)群及其李代數(shù) 210
11.3.1 轉(zhuǎn)動(dòng)群 210
11.3.2 生成元 212
11.3.3 李代數(shù) 213
11.4 有限轉(zhuǎn)動(dòng)與指數(shù)映射 215
11.4.1 D = 2 215
11.4.2 D=3 216
11.4.3 指數(shù)映射 219
11.5 角速度 219
11.5.1 角速度矩陣 219
11.5.2 速度和加速度 222
11.5.3 D=3 224
11.5.4 有限轉(zhuǎn)動(dòng)與角速度 227
習(xí)題 228
第 12 章 剛體 230
12.1 剛體的描述. 230
12.2 歐拉角 232
12.3 慣量張量 235
12.3.1 慣量張量的定義 235
12.3.2 平行軸定理 240
12.3.3 剛體的角動(dòng)量 240
12.4 歐拉方程 241
12.4.1 剛體的拉格朗日量 242
12.4.2 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉方程 244
12.5 自由陀螺 246
12.6 剛體的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng) 249
習(xí)題 251
第 13 章 哈密頓正則方程 253
13.1 哈密頓量 253
13.2 勒讓德變換. 254
13.2.1 勒讓德變換的定義 254
13.2.2 勒讓德變換的幾何意義 258
13.3 相空間中的運(yùn)動(dòng)方程. 259
13.3.1 “正則”是什么意思 259
13.3.2 從拉格朗日方程到哈密頓正則方程 260
13.4 相空間的變分原理 265
13.5 相空間中的演化 268
13.6 勞斯方法 273
13.6.1 勞斯函數(shù) 273
13.6.2 勞斯函數(shù)在循環(huán)坐標(biāo)問題中的應(yīng)用 275
13.7 雙重勒讓德變換 278
習(xí)題 279
第 14 章 泊松括號(hào). 281
14.1 相空間的辛結(jié)構(gòu) 281
14.1.1 辛形式 281
14.1.2 哈密頓矢量場(chǎng) 284
14.2 辛內(nèi)積與泊松括號(hào) 284
14.2.1 相空間中的“辛內(nèi)積” 284
14.2.2 泊松括號(hào)的定義 285
14.2.3 泊松括號(hào)的性質(zhì) 287
14.2.4 基本泊松括號(hào) 289
14.3 力學(xué)量的演化 291
14.3.1 用泊松括號(hào)表達(dá)的動(dòng)力學(xué)方程 291
14.3.2 運(yùn)動(dòng)常數(shù) 292
14.3.3 泊松定理 292
14.4 角動(dòng)量的泊松括號(hào) 295
14.4.1 角動(dòng)量泊松括號(hào)的計(jì)算 295
14.4.2 開普勒問題 297
14.5 時(shí)空變換算符 299
14.5.1 時(shí)間演化算符 299
14.5.2 空間平移算符 301
14.5.3 空間轉(zhuǎn)動(dòng)算符 302
14.6 南部括號(hào) 303
習(xí)題 305
第 15 章 正則變換 308
15.1 相空間坐標(biāo)變換 308
15.1.1 運(yùn)動(dòng)方程的考慮 308
15.1.2 幾何的考慮 308
15.1.3 內(nèi)積與轉(zhuǎn)動(dòng) 309
15.2 保辛與正則變換 310
15.2.1 正則變換是相空間的流動(dòng) 310
15.2.2 點(diǎn)變換是正則變換 316
15.3 生成函數(shù) 317
15.3.1 正則變換的生成函數(shù) 317
15.3.2 生成函數(shù)的 4 種基本類型 320
15.4 單參數(shù)正則變換 325
15.4.1 無窮小正則變換 325
15.4.2 演化即是正則變換 329
15.4.3 對(duì)稱性與生成元 330
15.5 劉維爾定理 332
15.5.1 相空間體元與劉維爾定理 332
15.5.2 相空間密度 334
15.6 三種空間：對(duì)比與總結(jié) 336
習(xí)題 336
第 16 章 哈密頓---雅可比理論 340
16.1 哈密頓–雅可比方程. 340
16.1.1 把哈密頓量變?yōu)榱?340
16.1.2 哈密頓–雅可比方程的導(dǎo)出 342
16.2 分離變量 344
16.3 經(jīng)典作用量 352
16.3.1 作為經(jīng)典路徑端點(diǎn)函數(shù)的作用量 352
16.3.2 哈密頓主函數(shù)即經(jīng)典作用量 354
16.4 從經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué) 358
16.4.1 泊松括號(hào)與正則量子化 358
16.4.2 哈密頓–雅可比方程與薛定諤方程 361
習(xí)題 363
第 17 章 可積系統(tǒng). 366
17.1 尋找最簡(jiǎn)單的正則變量 366
17.1.1 將相流“拉直” 366
17.1.2 可積系統(tǒng) 367
17.1.3 周期運(yùn)動(dòng) 369
17.2 作用–角變量 371
17.2.1 單自由度 371
17.2.2 多自由度 379
17.3 絕熱不變量 384
17.3.1 絕熱變化中的近似不變量 384
17.3.2 絕熱不變量的一般證明 390
17.3.3 哈內(nèi)角 392
習(xí)題 396
附錄 A 數(shù)學(xué)附錄 398
A.1 -符號(hào) 398
A.1.1 -符號(hào)的定義 398
A.1.2 叉乘 399
A.1.3 對(duì)偶 400
A.2 矢量與矩陣的求導(dǎo) 401
A.3 δ-函數(shù)作為泛函 402
A.4 空間與流形 403
A.5 角速度矩陣與聯(lián)絡(luò) 405
A.6 雅可比恒等式的代數(shù)意義 405