法國 Bourbaki 學派認為，數(shù)學特別是純數(shù)學是研究抽象結構的理論，現(xiàn)代數(shù)學有三大母結構: 代數(shù)結構、序結構、拓撲結構。從單結構的初始公理體系出發(fā)通過添加公理條件的方式可以得到各種特殊結構，從多種結構出發(fā)通過設置公理體系之間的協(xié)調性條件可以得到各種多結構系統(tǒng)。

At the center of our universe are found the great types of structures, of which the principal ones were called the mother-structures: algebraic structures, ordered structures and topological structures. Each of these types has the smallest number of axioms, and by enriching with supplementary axioms, it comes a harvest of new consequences. Those of multiple structures involve two or more of the great mother-structures simultaneously, combined organically by one or more axioms which set up a connection between them.(①

序結構是帶有偏序關系的集合，格結構是帶有某種完備性的序結構。序與格論起源于19 世紀末群論中的一個問題: 設A, B, C 是Abel 群G 的子群，問A, B, C 通過加法運算和交運算可以生成多少個互不相同的子群? 換成格序術語，即由三個元素生成的自由模格具有多少個元素②(? 1900 年，R. Dedekind 回答了這個問題[12]。20 世紀30 年代，G. Birkhoff 和O. Ore 開始系統(tǒng)研究序與格論。由Birkhoff 撰寫的世界上第一部格論專著Lattice Theory 于1940 年出版，后來又分別在1948 年和1967 年再版。序與格論及其相關領域重要的英文書目主要有:

– Lattice Theory (Birkhoff, 1940, 1948, 1967)[5]

– Lattice Theory (Gr?tzer, 1971)[27]

– Distributive Lattices (Balbes, Dwinger, 1974)[3]

– General Lattice Theory (Gr?tzer, 1978, 1998)[27]

– A Compendium on Continuous Lattices (Gierz, et. al., 1980)[23]

– A Course in Universal Algebra (Burris, Sankappanavar, 1981)[8]

– Stone Spaces (Johnstone, 1982)[40]

– Introduction to Lattices and Order (Davey, Priestley, 1990, 2002)[10]

– Continuous Lattices and Domains (Gierz, et. al., 2003)[24]

– Lattices and Ordered Algebraic Structures (Blyth, 2005)[6]

– Lattices and Ordered Sets (Roman, 2008)[68]

– Frames and Locales (Picado, Pultr, 2012)[60]

– Spectral Spaces (Dickmann, Schwartz, Tressl, 2019)[14]

中文書目主要有(按年份排序, 同一年份的按作者姓名字母排序):

–《格論》（中山正（董克誠譯），1964）[101]

–《格論基礎》（胡長流，宋振明，1990）[36]

–《拓撲分子格理論》（王國俊，1990）[83]

–《格論初步》（張杰，1990）[99]

–《Frame 與連續(xù)格》（鄭崇友，樊磊，崔宏斌，1994，2000）[100]

–《模糊集與剩余格》（方進明，2012）[19]

–《一般格論基礎》（李海洋，2012）[47]

–《格論導引》（方捷，2014）[18]

–《Quantale 理論基礎》（韓勝偉，趙彬，2016）[30]

–《序與拓撲》（徐曉泉，2016）[90]

–《概率計量邏輯及其應用》（周紅軍，2016）[102]

中國的序與格論及其相關領域的學術研究發(fā)展基本上可分為三個階段:

第一階段: 解放初期的萌芽階段。解放后的中國滿目瘡痍、百廢待興，學習和研究資料十分匱乏。1964 年，河北大學董克誠教授將日本學者中山正的《格論: 格的代數(shù)理論》翻譯為中文，成為格論的第一部中文書籍。

第二階段: 20 世紀90 年代的發(fā)展階段。這是改革開放的十余年后，離第一部中文格論書籍的出版已過去近三十年。伴隨著各種新思潮的涌入，Bourbaki 學派的結構主義思想深深地影響了中國數(shù)學工作者，20 世紀60 年代末70 年代初提出的Domain 理論中格序結構與拓撲結構相融合的內容及研究方法更是引起了中國學者極大的興趣。1990 年全國共出版了三部格論著作，1994 年Frame 和Domain理論方面的專著《Frame 與連續(xù)格》的出版將中國序與格論研究推向一個高度，該書在2000 年進行了修訂，添加了很多國內學者的重要工作。格論領域內的數(shù)學工作者從此擁有了開展學習和研究的豐富資料，為后續(xù)發(fā)展奠定了堅實的基礎。

第三階段: 21 世紀的繁榮階段。20 世紀90 年代后，中國學者學習和積淀了二十多年，逐步形成了若干個在國際上具有一定影響力的研究團隊，研究水平和成果得到了全面發(fā)展和提升。這一階段的特征是，各研究團隊結合自身特點和優(yōu)勢，將格序結構作為基礎結構進行了不同方面、不同層面和不同方向的深入研究，期間共有五部專著出版，特別是2016 年就有三部，從此格論研究達到了一個新的高度。

編寫本書的目的是: （1）闡述序與格等相關內容，加強相關概念和結論的代數(shù)性的表述，為國內學者和研究生的學習和研究提供素材；（2）細致處理諸多細節(jié)，使得理論體系更具嚴密性①(；（3）強調格論在其他方向的應用，加入部分與粗糙集理論、形式概念分析相關的格論知識；（4）將完全分配格和剩余格列為重要內容，單獨成章，為模糊數(shù)學理論的研究者提供全面的基礎知識；（5）將作者近年來的相關研究成果納入其中，充實格論內容。讀者可能會注意到本書在結構和內容的安排上與B.A. Davey 和H. Priestley 的Introduction to Lattices and Order具有一定的相似性，此書也是我們非常推崇的序與格論著作，建議初學者將此書選為入門學習的英文讀本。

現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展到今天，任何一個單一結構的數(shù)學理論在縱向方面的發(fā)展都已經相對比較完善，所以逐步向多結構交叉，或者與其他數(shù)學分支甚至與其他領域進行橫向交叉研究將是今后數(shù)學研究的主旋律。本書以格序結構為主體，將它與代數(shù)結構、拓撲結構的內在聯(lián)系作為主線貫穿全書，逐步展開序與格論的相關基礎理論知識的講述。下面分章節(jié)介紹全書內容。

第1 章給出偏序集、格與完備格等基本結構的定義，介紹序同態(tài)與格同態(tài)等保結構映射、分配格與Boole 代數(shù)等常見格結構、理想與濾子等重要子結構，以及交素元與并素元等特殊元素。

第2 章介紹Galois 伴隨和Galois 連接。Galois 伴隨和Galois 連接都可以看作互逆映射對的一種泛化或推廣，但這兩個名詞在許多文獻中存在混用現(xiàn)象，實際上它們是兩個不同的概念。Galois 連接是一種逆序的映射對，其歷史淵源可以追溯到法國數(shù)學家E. Galois 開創(chuàng)的Galois 理論，其偏序集框架下的確切定義是由O. Ore 在1944 年提出的[55]。而Galois 伴隨則是一種保序的映射對，首先由J. Schmidt 在1953 年提出[71]。特別指出，由T.S. Blyth 和M.F. Janowitz 發(fā)展的剩余理論[7] 是Galois 伴隨的另一種表現(xiàn)形式。無論是Galois 伴隨還是Galois連接，都在代數(shù)學、序與格論、Domain 理論、形式概念分析和邏輯學等學科分支

中具有重要的應用[13]。

第3 章是Heyting 代數(shù)，它由荷蘭數(shù)學家A. Heyting 在1930 年引入[32]，是經典命題演算的Tarski-Lindenbaum 代數(shù)的推廣，或直覺主義演算的Tarski-Lindenbaum 代數(shù)。在數(shù)學方面，Heyting 代數(shù)是Boole 代數(shù)的一般化，曾被稱作偽Boole 代數(shù)或Brouwer 格[44]。從范疇論的角度來看，一個偏序集是Heyting代數(shù)當且僅當它作為范疇是笛卡兒閉的[52]。本章介紹Heyting 代數(shù)的基本性質及其與Boole 代數(shù)的關系、濾子與同余關系之間的一一對應、相對極大濾子等特殊濾子，以及Heyting 代數(shù)的同態(tài)和直積等內容。

第4 章介紹Frame 與拓撲表示定理。拓撲結構和格序結構之間有著非常自然的聯(lián)系，從拓撲結構出發(fā)，如果我們“忘掉”基礎集，則開集族構成一個特殊的完備格，另外還可以利用開集族誘導基礎集上的預序關系（即特殊化序）；反過來，從格序結構出發(fā)，我們可以在上面定義很多內蘊拓撲，如序拓撲、Alexandrov拓撲和Scott 拓撲等。20 世紀30 年代末期，M.H. Stone 關于Boole 代數(shù)與分配格的拓撲表示定理出現(xiàn)后[75-77]，人們開始廣泛關注和重視這方面內容的研究。1938 年，H. Walman 提出可以利用格論方法來研究拓撲空間的性質[80]；1957 年，C. Ehresmann 認為具有某種分配性的格本身就可以作為一種廣義拓撲空間來研究[15]，其中frame 是替代拓撲空間的開集格的較直接而有效的格結構。后來的研究表明，這種融合拓撲結構和格序結構于一體的研究是極具特色的，并逐步形成了“序與拓撲”的穩(wěn)定研究方向。P.T. Johnstone 的著作Stone Spaces 是對該領域的研究工作的系統(tǒng)總結[40]，鄭崇友、樊磊和崔宏斌的專著《Frame 與連續(xù)格》則是該領域內國內學生和研究人員的必讀書目[100]，徐曉泉的專著《序與拓撲》側重論述該領域的一些最新進展[90]。

第5 章介紹基本的Domain 結構和連續(xù)格理論。Domain 理論由圖靈獎得主D.S. Scott 于20 世紀70 年代開創(chuàng)[72,73]，來源于兩個不同的背景: 一個是理論計算機中的函數(shù)式語言的研究；另一個是純數(shù)學方面的研究。在理論計算機科學的語義學特別是指稱語義學的研究中，基本思想是在輸入集和輸出集上基于所含信息量的多少賦予序結構，構成定向完備偏序集；而作為程序的映射則是Scott 連續(xù)映射，Scott 拓撲恰是使得映射的Scott 連續(xù)性和拓撲連續(xù)性等價的那個拓撲結構。在純數(shù)學方面，20 世紀70 年代中期，J.D. Lawson，K.H. Hofmann 和A.R. Stralka等人發(fā)現(xiàn)，連續(xù)格等價于緊的Lawson 交半格，從而可以從拓撲代數(shù)的角度研究Domain 理論[34,45]。1980 年，Scott 等6 位作者共同撰寫了Domain 理論的第一部專著A Compendium of Continuous Lattices，2003 年再版的Continuous Lattices and Domains 一書將后來20 多年的許多研究成果收入其中。J. Goubault-Larrecq 的專著Non-Hausdorff Topology and Domain Theory 以廣義度量空間為基本結構對Domain 理論進行了專題式研究[26]�，F(xiàn)如今，Domain 理論已被廣泛應用到拓撲學、邏輯學、積分理論、動力系統(tǒng)等研究領域中。

第6 章全面講述完全分配格及等價刻畫。完全分配格是集代數(shù)特征、序特征和拓撲特征于一體的一種數(shù)學結構。其早期研究主要集中在代數(shù)結構和序結構方面[4,64-66]，后來隨著Domain 理論的興起，人們發(fā)現(xiàn)完全分配格實際上是連續(xù)dcpo 上的Scott 拓撲的開集格[33,46]，再后來王國俊先生更是把完全分配格當作一種特殊的無點化的拓撲結構，直接將它作為研究對象，創(chuàng)立了拓撲分子格理論[83]。另外，在模糊數(shù)學中，完全分配格通常被選作賦值格[48,82]，它在一些概念的表述過程和一些結論的證明方法中所起的作用類似于單位區(qū)間[0,1]，因此以[0,1] 為賦值格的模糊數(shù)學結構的相關內容和結論大多可以被推廣到以完全分配格為賦值格的框架下。本章講述完全分配格的基本概念和各種刻畫方法，包括三角小于刻畫、極小集刻畫、Domain 式刻畫、拓撲式刻畫和關系型刻畫等。

第7 章介紹模糊邏輯的公共代數(shù)結構——剩余格。剩余格是由M. Ward 和R.P. Dilworth 在1939 年為研究交換環(huán)的理想格而引入的一種代數(shù)結構[86]，它是子結構命題邏輯的語義代數(shù)[20]。模糊邏輯的語義代數(shù)，如MTL-代數(shù)、BL-代數(shù)、MV-代數(shù)、R0-代數(shù)和Heyting 代數(shù)等都是特殊的剩余格。關于剩余格的名稱在很多文獻中不太統(tǒng)一，本書指最狹義的剩余格，即有界的整的交換的剩余格。剩余格和完備剩余格因其完善的邏輯背景和豐富的演算能力，被廣泛應用到模糊數(shù)學等相關領域的研究中。本章介紹剩余格基本理論及MTL-代數(shù)、可除剩余格、正則剩余格和MV-代數(shù)等特殊剩余格。

本書中常有一些結論被“顯然”和“容易證明”等詞一筆帶過，主要目的是要給讀者留下發(fā)揮的空間。但我們也建議讀者將更多的精力放在這些地方，不要輕易“放過”它們，同時爭取把每章后面的習題都做一遍。如此，會收到非同一般的學習效果.

本書的成稿離不開作者學習和科研道路上的三位導師: 陜西師范大學李生剛教授、趙彬教授、北京理工大學史福貴教授，特別是2002 年趙彬教授在擔任副校長期間，百忙之中每周抽出固定時間系統(tǒng)地完整地講授了格論和Domain 理論，引領作者進入了這絢麗多彩的格論世界。特別感謝新加坡南洋理工大學趙東升教授為本書作序，為本書增色添彩。本書寫作過程中得到了湖南大學李慶國教授、揚州大學徐羅山教授、廣州大學李海洋教授、中國海洋大學岳躍利教授、鹽城師范學院奚小勇教授、北京理工大學龐斌副教授、北京郵電大學沈沖博士、煙臺大學王凱博士等的支持和幫助，他們在閱讀書稿時提出了很多建設性的意見和建議。本書部分內容作為講義在河北科技大學和南京信息工程大學格論學習班上講授過，感謝王榮欣老師、趙蕾老師，博士后石毅，博士生張光旭、吳國俊，碩士生陶久鑫、陳曉慶、陳燁、楊俊、韓新月、孫佳、張亞寧，本科生任蜚白和張珊等，感謝北京理工大學教師和學生團隊，他們在學習過程中發(fā)現(xiàn)了書稿中的很多錯誤。特別感謝吳國俊同學詳細地通讀了全書，指出了書中各種類型的問題。感謝南京信息工程大學數(shù)學與統(tǒng)計學院學院辦公室宋潤琦老師在我們查找和閱讀法文材料時給予的幫助。同時也非常感謝清華大學出版社高效而細致的工作。

感謝國家自然科學基金項目(12231007，11871189) 對本書的資助。本書近一半內容是第一作者任職于河北科技大學期間完成的，在此感謝河北科技大學特別是理學院領導、同事和學生多年來的支持與幫助，感謝南京信息工程大學數(shù)學與統(tǒng)計學院的領導和同事的支持與鼓勵，本書成果可由兩校共享。

限于作者的水平，書中的不妥之處乃至謬誤在所難免，希望各位專家與讀者提出寶貴意見。有任何問題可發(fā)送郵件至作者郵箱(①，作者不勝感激。

作者

2022 年1 月

① 摘自[Bourbaki N. L'architecture des mathématiques, 1948] 的英文版[Bourbaki N. The architecture of mathematics. Amer. Math. Monthly, 1950, 57(4): 221-232]。

② 群的正規(guī)子群之集構成模格，見文獻[10] 中例4.6（5）。

(

( ① 如諸表示定理中的分配格范疇實際上是指有界分配格和保界格同態(tài)構成的范疇，這一點大部分格論著作都沒有指出。

( ① yaowei@nuist.edu.cn。