哥德爾的第二項成果，是所謂“哥德爾不完全性定理”。其所證明的是：對于任何足夠復雜（其復雜度達到初等數(shù)論）的形式系統(tǒng)而言，如果它是相容的（無矛盾的），那么它就必定不是語義完全的。這個結果有一個重要推論（史稱“哥德爾第二不完全性定理”）：對于任何足夠復雜的形式系統(tǒng)而言，如果它是相容的，那么它的相容性是不可能在該系統(tǒng)之內得到證明的。哥德爾的這個結果在當時學界引起了極大的震動，因為它不僅清楚地揭示了作為公理化方法之最高成就的形式系統(tǒng)方法的局限性，而且否定了希爾伯特提出“證明論”的初始追求：徹底證明現(xiàn)有數(shù)學系統(tǒng)的相容性，確保悖論不再出現(xiàn)。由于哥德爾的證明嚴格遵循了“證明論”的要求，是無懈可擊的，從此人們只得把希爾伯特的“絕對相容性”訴求弱化為“相對相容性”訴求。
    “哥德爾不完全性定理”的證明，也粉碎了為當時已經(jīng)確立的“公理化集合論系統(tǒng)”提供嚴格的相容性證明、確保其不再出現(xiàn)悖論的希望。這些公理化集合論系統(tǒng)都是為消除導致所謂“第三次數(shù)學危機”的集合論悖論而建立的，它們都因為其復雜性高于初等數(shù)論而被哥德爾不完全性定理所統(tǒng)攝。哥德爾定理盡管說明了形式系統(tǒng)方法的局限性，但同時也有力展示了形式系統(tǒng)方法的巨大威力，使得現(xiàn)代邏輯基本研究方法和現(xiàn)代演繹科學方法論得以最終確立。
    上述意義的“證明論”、“模型論”，加上“集合論”和“遞歸論”，經(jīng)常被稱為“狹義數(shù)理邏輯”（有時再加上邏輯演算基礎理論），其中“集合論”可視為布爾的“類演算”向無限類研究擴張的結果；遞歸論則是對“能行可計算”這種“受控推理”的研究（也為哥德爾在證明不完全定理時所創(chuàng)立），是計算機科學和人工智能的直接理論基礎之一。在現(xiàn)代學科分類體系中，它們經(jīng)常被歸到“數(shù)學基礎”研究之下，但它們又都具有一般哲學與方法論價值，屬于當代邏輯學與數(shù)學學科的交叉研究領域。
    現(xiàn)代演繹邏輯另一個方面的巨大發(fā)展，是“哲理邏輯”學科群的興起。
    由上面的評述可以看出，現(xiàn)代邏輯的創(chuàng)生是在一批數(shù)學家的手中完成的，但這些數(shù)學家都具有強烈的哲學關懷，許多人本身就是出色的哲學家。
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