目錄
第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 映射 1
1.1.2 函數(shù)的概念 2
1.1.3 函數(shù)的幾種特性 3
1.1.4 初等函數(shù) 5
1.1.5 多元函數(shù) 6
1.2 極限 7
1.2.1 數(shù)列的極限 7
1.2.2 一元函數(shù)的極限 8
1.2.3 極限的性質(zhì) 11
1.2.4 二元函數(shù)的極限 12
1.3 無窮小量與無窮大量 14
1.3.1 無窮小量 14
1.3.2 無窮大量 15
1.4 極限的運算法則與存在準則 17
1.4.1 極限的四則運算法則 17
1.4.2 復合函數(shù)的極限運算法則 18
1.4.3 極限存在準則 20
1.5 無窮小量的比較 26
1.6 函數(shù)的連續(xù)性 27
1.6.1 一元函數(shù)連續(xù)的概念 28
1.6.2 連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì) 28
1.6.3 間斷點 29
1.6.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 30
1.6.5 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 31
第2章 導數(shù)與微分 34
2.1 導數(shù)的概念 34
2.1.1 函數(shù)在一點的導數(shù) 34
2.1.2 單側(cè)導數(shù) 36
2.1.3 導函數(shù) 37
2.1.4 可導與連續(xù)的關(guān)系 38
2.1.5 高階導數(shù) 39
2.2 函數(shù)的求導法則 40
2.2.1 導數(shù)的四則運算法則 40
2.2.2 反函數(shù)與復合函數(shù)求導法則 41
2.2.3 隱函數(shù)求導法則 46
2.2.4 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 47
2.3 多元函數(shù)的偏導數(shù) 49
2.3.1 偏導數(shù)的定義及其計算方法 49
2.3.2 高階偏導數(shù) 51
2.4 微分的概念 52
2.4.1 一元函數(shù)的微分 52
2.4.2 二元函數(shù)的全微分 54
2.5 多元復合函數(shù)求導法則 57
2.5.1 一元函數(shù)與多元函數(shù)復合的情形 57
2.5.2 多元函數(shù)與多元函數(shù)復合的情形 58
2.5.3 多元復合函數(shù)的高階偏導數(shù) 60
2.6 方向?qū)��?shù)與梯度 62
2.6.1 方向?qū)��?shù) 62
2.6.2 梯度 65
2.7 導數(shù)的應用 66
2.7.1 函數(shù)的單調(diào)性 67
2.7.2 函數(shù)的極值 67
2.7.3 函數(shù)的最大值與最小值 70
2.7.4 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法 72
第3章 積分 76
3.1 不定積分的概念與基本積分公式 76
3.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 76
3.1.2 基本積分公式 78
3.2 求不定積分的方法 79
3.2.1 第一換元積分法 79
3.2.2 第二換元積分法 81
3.2.3 分部積分法 85
3.3 定積分的定義與性質(zhì) 89
3.3.1 定積分的概念 89
3.3.2 定積分的性質(zhì) 92
3.3.3 積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 96
3.4 定積分的計算 98
3.4.1 牛頓–萊布尼茨公式 98
3.4.2 定積分的換元積分法 100
3.4.3 定積分的分部積分法 103
3.5 反常積分 104
3.6 二重積分的定義與性質(zhì) 106
3.6.1 二重積分的概念 106
3.6.2 二重積分的性質(zhì) 108
3.7 二重積分的計算 112
3.7.1 利用直角坐標計算二重積分 112
3.7.2 利用極坐標計算二重積分 118
3.8 三重積分 122
3.8.1 三重積分的概念與性質(zhì) 122
3.8.2 利用直角坐標計算三重積分 123
3.8.3 利用柱面坐標計算三重積分 126
3.8.4 利用球面坐標計算三重積分 129
第4章 矩陣 133
4.1 矩陣及其運算 133
4.1.1 矩陣的定義 133
4.1.2 矩陣的運算 134
4.2 行列式 137
4.2.1 排列及其逆序數(shù) 137
4.2.2 行列式的定義 139
4.2.3 行列式的性質(zhì) 140
4.2.4 方陣的行列式 144
4.3 逆矩陣 145
4.3.1 方陣的伴隨矩陣 145
4.3.2 逆矩陣的概念及求解 145
4.4 分塊矩陣 148
4.4.1 分塊矩陣的概念 148
4.4.2 分塊矩陣的運算 148
4.5 矩陣的秩 151
4.5.1 矩陣的初等變換 151
4.5.2 矩陣的秩的概念及求解 153
4.6 向量組的線性相關(guān)性與正交性 155
4.6.1 n 維向量及其線性運算 155
4.6.2 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 157
4.6.3 向量組的秩 159
4.6.4 正交向量組 160
4.7 齊次線性方程組 163
4.8 方陣的特征值與特征向量 168
4.8.1 特征值與特征向量的概念 168
4.8.2 特征值與特征向量的性質(zhì) 171
4.9 相似矩陣 173
4.9.1 相似矩陣的定義與性質(zhì) 173
4.9.2 方陣對角化的條件 174
4.9.3 實對稱矩陣的對角化 175
第5章 插值與擬合 179
5.1 拉格朗日插值函數(shù) 179
5.1.1 線性插值 180
5.1.2 二次插值 180
5.1.3 n.1 次拉格朗日插值 182
5.2 牛頓插值函數(shù) 184
5.2.1 差商的定義與性質(zhì) 185
5.2.2 牛頓插值多項式 186
5.3 等距節(jié)點的牛頓插值函數(shù) 189
5.3.1 差分的概念 189
5.3.2 牛頓前插公式 190
5.4 分段插值函數(shù) 191
5.4.1 分段線性插值 192
5.4.2 三次樣條插值 193
5.5 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法 198
5.5.1 最小二乘法的基本概念 199
5.5.2 最小二乘法的法方程組 199
第6章 概率 203
6.1 隨機事件及其概率 203
6.1.1 基本概念 203
6.1.2 隨機事件的概率 206
6.1.3 等可能概型 207
6.2 條件概率與貝葉斯公式 209
6.2.1 條件概率 209
6.2.2 乘法公式 210
6.2.3 事件的獨立性 211
6.2.4 全概率公式和貝葉斯公式 212
6.3 隨機變量及概率分布 214
6.3.1 隨機變量 214
6.3.2 離散型隨機變量的分布律 215
6.3.3 隨機變量的分布函數(shù) 216
6.3.4 幾種重要的離散型隨機變量的概率分布 218
6.3.5 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 220
6.3.6 幾種重要的連續(xù)型隨機變量的分布 222
6.4 多維隨機變量及其分布 225
6.4.1 二維隨機變量的概率分布 226
6.4.2 二維離散型隨機變量 228
6.4.3 二維連續(xù)型隨機變量 233
6.5 隨機變量的數(shù)字特征 238
6.5.1 數(shù)學期望 238
6.5.2 方差 242
6.5.3 常見分布的數(shù)學期望與方差 245
6.5.4 切比雪夫不等式 247
6.5.5 協(xié)方差 247
6.5.6 相關(guān)系數(shù) 248
6.5.7 矩的概念 251
6.6 極限定理 251
6.6.1 大數(shù)定律 251
6.6.2 中心極限定理 252
第7章 數(shù)理統(tǒng)計 255
7.1 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 255
7.1.1 總體與樣本 255
7.1.2 抽樣分布 257
7.1.3 幾個重要統(tǒng)計量的分布 261
7.2 參數(shù)估計 261
7.2.1 參數(shù)的點估計 261
7.2.2 參數(shù)的區(qū)間估計 268
7.3 假設檢驗 275
7.3.1 假設檢驗的基本概念 275
7.3.2 正態(tài)總體均值的假設檢驗 277
7.3.3 正態(tài)總體方差的假設檢驗 280
7.3.4 兩正態(tài)總體期望差的假設檢驗 282
7.3.5 兩正態(tài)總體方差比的假設檢驗 284
7.3.6 兩種類型的錯誤 285
7.4 方差分析 286
7.4.1 單因素試驗的方差分析 286
7.4.2 雙因素試驗的方差分析 290
7.5 回歸分析 298
7.5.1 一元線性回歸 298
7.5.2 非線性回歸問題的處理 305
7.5.3 多元線性回歸 306
參考文獻 310