跨越千年的數(shù)學

1960 年，諾貝爾物理學獎獲得者尤金?維格納發(fā)表了名為《數(shù)學在自然科學中不合理的有效性》的文章。這篇文章立足于很廣泛的學科背景，為其他科學家解答了不少疑問。哪怕是60多年后的今天，他的許多觀點都為人所津津樂道。
隨著人類生產(chǎn)生活實踐的飛速發(fā)展，數(shù)學也在經(jīng)歷著驚人的蛻變。幾百年前，數(shù)學家普遍還認為自己是在探求客觀世界的真理。在公元前3 世紀誕生的極具影響力的歐幾里得著作《幾何原本》，就刻畫了我們現(xiàn)在所熟知的歐氏幾何，或者叫平面幾何�！稁缀卧�本》中的公理，即書中那套理論框架所基于的最原初的假設，是依據(jù)人們所認為的、能夠用于準確地反映現(xiàn)實世界中物體運行規(guī)律的原則而挑選出來的。無獨有偶，牛頓當時創(chuàng)建微積分理論的初衷，也是為了將他的物理學建立在堅實的基礎之上；而微積分的運算法則又基于牛頓本人對真實世界中物體運動的感知。
然而，今天的數(shù)學家不再堅定地篤信他們的公理基礎是正確的了。對于一組給定的公理體系，他們對其背后可能蘊含的深刻理論更感興趣，而不論公理本身是否一定成立。歐氏幾何本質(zhì)上就是從這樣一組公理體系中孕育出來的；而對于兩條平行“直線”看上去會互相背離對方遠去的雙曲幾何而言，它們存在的背后又是另一套不太一樣的公理假設。從某種意義上說，數(shù)學成了一個思想實驗的集合體，成了從假設出發(fā)不斷延長的推理鏈條；而這些假設在任何真實世界的背景之下是否真的成立還是一個未知數(shù)，甚至并不重要。數(shù)學演變成了一種抽象的藝術(shù)形式，開始形成一種內(nèi)在的審美價值。
“看似脫離實際”的數(shù)學如今依然是科學實踐中強有力的工具，這是一個奇跡，因為科學本身是為驗證真實世界中的假設而服務的。但是數(shù)學模型和統(tǒng)計分析等手段在其他科學領域中的重要性的確在顯而易見地凸顯。
在這本書中，我們著重呈現(xiàn)了《科學美國人》雜志自千禧年以來發(fā)表的一些數(shù)學瑰寶。在第1 章中，我們收錄了幾篇關(guān)于在過去幾十年間基礎數(shù)學領域中最重大成果的文章，它們是純數(shù)學理論研究的前沿之作。在第2 章中，我們探索了數(shù)學與生命，描述了數(shù)學建模是如何幫助科學家理解生物學的。第3章則講述了數(shù)學如何為物理學服務。這兩個領域數(shù)千年以來就互相糾纏在一起，直至今天也一直持續(xù)地相互促進和發(fā)展。第4 章探討了數(shù)學在人與人相互聯(lián)系的社會文化中所扮演的角色，話題涵蓋了政治、藝術(shù)、密碼的保護與破解等。
盡管數(shù)學在用模型刻畫世界和精確計算上不斷創(chuàng)造著愈加強大的工具，我們也必須考慮到數(shù)學所存在的固有局限性。在第5 章中，我們將帶來一篇深藏在數(shù)學寶庫之中的佳作，那就
是1956 年庫爾特?哥德爾關(guān)于不完備定理的顛覆性探索。他深刻地證明了，不論我們選取怎樣的公理體系，也不論我們從公理體系出發(fā)進行多么深入的研究，總存在一些數(shù)學永遠沒法回答的問題。從那一刻起，數(shù)學再一次進化了——數(shù)學家開始進一步努力，不斷地探求這門學科的局限性，試圖界定人類認知的邊界究竟在何處。