偏微分方程屬于分析學，是用來分析物理科學中模型的主要方式，也是很多數(shù)學分支發(fā)展的重要工具，其不僅是一門學科，更是應用數(shù)學的一個有力工具。本書根據(jù)作者為研究生講授Sobolev空間和偏微分方程的L2？理論課程的講稿，結(jié)合多年的學習、科研心得編寫而成。本書共10章，內(nèi)容覆蓋實分析、泛函分析、點集拓撲和偏微分方程的L2？理論等，可作為科研院所研究生、教師和研究人員泛函分析、偏微分方程等課程的教材或參考書籍。
許多研究生在準備考研時，主要精力都集中于考研科目，致使分析學基礎(chǔ)相對薄弱。而變分法、非線性泛函分析和橢圓偏微分方程方向的研究生，需要熟練掌握眾多相關(guān)分析學基礎(chǔ)工具，方能閱讀學術(shù)論文和開展研究。為使該方向領(lǐng)域的研究生迅速夯實基礎(chǔ)，以便在研究生期間就能閱讀前沿學術(shù)文獻，作者針對性地編寫了這本教材。本書共計10章，內(nèi)容豐富，涵蓋實分析、泛函分析、點集拓撲和偏微分方程的 L2 理論等。其內(nèi)容系統(tǒng)充實，語言通俗易懂，主要定理的證明過程詳盡，心得體會和總結(jié)性的注記眾多，無論對于初涉此領(lǐng)域的低年級研究生，還是已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的高年級學生，這本書都具有極高的參考價值。
華南師范大學副研究員，華南數(shù)學應用與交叉研究中心青年拔尖引進人才。主要研究方向為運用非線性分析、變分法等方法來研究幾何分析學、數(shù)學物理中橢圓型偏微分方程和方程組以及某些不等式問題。在非線性泛函分析和橢圓偏微分方程領(lǐng)域的Li-Lin 公開問題、Sirakov 公開問題、Bartsch-Jeanjean-Soave公開問題等重要課題方面獲得了領(lǐng)先性的成果。
第1章 預備知識1.1 偏微分方程的歷史1.2 為什么要學Sobolev空間和學Sobolev空間中的什么內(nèi)容？第2章 線性泛函分析2.1 拓撲空間2.2 拓撲線性空間2.3 緊性2.4 自反空間、可分空間、一致凸空間2.5 線性算子的基本定理第3章 Lp空間3.1 回顧積分中的一些基本定理性質(zhì)3.2 一些重要不等式3.3 Lp空間的定義和完備性3.4 用連續(xù)函數(shù)逼近，可分性3.5 卷積，軟化子（磨光算子），用光滑函數(shù)逼近（正則化）3.6 Lp空間的一致凸性3.7 自反性，以及Lp空間的對偶空間3.8 Lp強收斂的判斷準則3.9 Lp()中其他常用重要性質(zhì)匯總第4章 其他預備知識和相關(guān)技巧4.1 Holder空間4.2 截斷函數(shù)或切斷因子4.3 單位分解4.4 邊界拉直第5章 Sobolev 空間Wk;p() 5.1 弱導數(shù)（廣義導數(shù)或者分布意義下的導數(shù)）5.2 Sobolev空間的定義和基本性質(zhì)5.3 對偶性，空間W？m;p() 5.4 稠密性定理：用上的光滑函數(shù)逼近5.5 內(nèi)插不等式與延拓定理5.6 Sobolev 函數(shù)的跡第6章 全空間中的嵌入不等式6.1 Sobolev不等式以及kp < N情形的嵌入6.2 Morrey不等式以及N < kp < 情形的嵌入第7章 Poincare不等式和BMO空間7.1 Poincare不等式及其推廣7.2 Marcinkiewicz插值定理7.3 極大函數(shù)7.4 Sobolev空間的第三逼近7.5 BMO空間第8章 全空間中的嵌入不等式續(xù)：kp = N 的情形8.1 p = N時的BMO嵌入不等式8.2 高階導數(shù)情形kp = N時的BMO嵌入不等式8.3 嵌入空間Lq(RN) 8.4 空間WN;1(RN) 第9章 有界區(qū)域?qū)腤k;p()空間的嵌入和緊嵌入9.1 嵌入定理9.2 位勢理論及其應用9.3 緊嵌入第10章 二階橢圓型方程的L2-理論10.1 橢圓型方程的弱解10.2 二擇一定理10.3 弱解的正則性10.4 調(diào)和函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)簡介10.5 弱極值原理10.6 解的L模估計（先驗估計）10.7 強極值原理10.8 Harnack 不等式10.9 特征值問題參考文獻
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