目錄
叢書序
前言
譯者的話
第1章 群、環(huán)和除環(huán) 1
1.1 群 2
1.1.1 （內(nèi)部）二元運算 2
1.1.2 群的定義和運算法則 7
1.1.3 子群 12
1.1.4 子群的運算 14
1.1.5 群同態(tài) 16
1.2 環(huán)和除環(huán) 22
1.2.1 定義 22
1.2.2 子環(huán)和子除環(huán) 24
1.2.3 環(huán)中的運算法則 27
1.2.4 子環(huán)和子除環(huán)的運算 32
1.2.5 環(huán)（或除環(huán)）的同態(tài)32
1.3 習(xí)題36
第2章 關(guān)系，集合N,Z,Q和R 43
2.1 關(guān)系 44
2.1.1 關(guān)系的一般概念 44
2.1.2 序關(guān)系 46
2.1.3 等價關(guān)系 56
2.2 集合N和數(shù)學(xué)歸納法 57
2.2.1 集合N的定義57
2.2.2 數(shù)學(xué)歸納法 58
2.3 集合Z和絕對值65
2.3.1 集合Z和環(huán)的結(jié)構(gòu)65
2.3.2 Z 中的絕對值 67
2.4 實數(shù)集 68
2.4.1 有理數(shù)域 68
2.4.2 實數(shù)域和序關(guān)系 68
2.4.3 絕對值 69
2.4.4 上確界和下確界的性質(zhì) 71
2.4.5 整數(shù)部分 76
2.4.6 R 的區(qū)間的刻畫 78
2.4.7 擴(kuò)充實數(shù)集 R 81
2.4.8 Q和R\Q在R中的稠密性 82
2.4.9 實數(shù)的十進(jìn)制近似值 85
2.5 習(xí)題85
2.6 本章附錄 93
2.6.1 Z的構(gòu)造 93
2.6.2 有限集和計數(shù) 103
第3章 實或復(fù)數(shù)列125
3.1 實數(shù)列.126
3.1.1 概述126
3.1.2 序列的運算 129
3.1.3 子列134
3.2 由遞推關(guān)系定義的序列.135
3.2.1 算術(shù)（等差）序列和幾何（等比）序列 136
3.2.2 記號*和* 138
3.2.3 常系數(shù)的二階線性遞歸序列 143
3.3 序列的極限150
3.3.1 收斂到實數(shù)*定義及性質(zhì) 150
3.3.2 收斂性和符號 155
3.3.3 實數(shù)列的發(fā)散 157
3.3.4 收斂序列的運算 160
3.3.5 取極限與序關(guān)系的兼容性 166
3.3.6 收斂性與子列 171
3.3.7 稠密性的序列刻畫 175
3.4 極限的存在性定理177
3.4.1 單調(diào)極限定理 177
3.4.2 單調(diào)極限定理在正項級數(shù)上的應(yīng)用 181
3.4.3 鄰接序列定理和閉區(qū)間套定理 191
3.4.4 波爾查諾–魏爾斯特拉斯定理 193
3.5 比較關(guān)系 196
3.5.1 序列的大O和小o關(guān)系 196
3.5.2 等價的序列 198
3.5.3 參考序列的比較 203
3.5.4 序列的漸近展開 204
3.6 復(fù)數(shù)列 207
3.6.1 復(fù)數(shù)列的定義和收斂 207
3.6.2 與實部和虛部的聯(lián)系 209
3.7 習(xí)題 210
第4章 向量空間和線性映射 221
4.1 向量空間 222
4.1.1 定義和常見例子 222
4.1.2 向量空間中的運算法則 225
4.1.3 向量子空間 227
4.2 向量空間的運算 232
4.2.1 子空間的交以及由一個子集生成的子空間 232
4.2.2 向量子空間的和 239
4.2.3 子空間的直和以及補子空間 243
4.2.4 兩個向量空間的笛卡兒積 248
4.3 仿射子空間 250
4.3.1 向量空間的平移和平移群 250
4.3.2 仿射子空間的定義 251
4.3.3 平行 255
4.3.4 兩個仿射子空間的交集 255
4.4 線性映射 256
4.4.1 定義和例子 256
4.4.2 線性映射的核與像 261
4.4.3 線性方程 266
4.4.4 線性映射的集合* 267
4.4.5 同構(gòu)、自同構(gòu)和線性群 271
4.4.6 限制和歸并 273
4.4.7 向量空間的超平面以及線性型.277
4.4.8 重要的線性映射 280
4.5 習(xí)題288
第5章 Z中的算術(shù)297
5.1 Z中的算術(shù) 298
5.1.1 因數(shù)和同余 298
5.1.2 素數(shù)和素因數(shù)分解 301
5.1.3 歐幾里得除法 304
5.1.4 （Z，+）的子群 305
5.1.5 最大公因數(shù)和最小公倍數(shù) 306
5.1.6 貝祖定理和歐幾里得算法 308
5.1.7 歐幾里得引理和高斯定理 312
5.2 習(xí)題 318
5.3 附錄 320
5.3.1 環(huán)*以及一些性質(zhì) 320
5.3.2 除環(huán)*以及*的可逆元素322
第6章 單實變量的實值或復(fù)值函數(shù)324
6.1 單實變量函數(shù)的一般性質(zhì) 325
6.1.1 集合*和序關(guān)系.325
6.1.2 集合* 326
6.1.3 周期函數(shù)328
6.1.4 偶函數(shù)和奇函數(shù) 329
6.1.5 利普希茨函數(shù) 331
6.1.6 單調(diào)函數(shù) 333
6.2 函數(shù)的局部研究 334
6.2.1 點的鄰域 334
6.2.2 函數(shù)在一點處的極限和連續(xù)性 336
6.2.3 極限的代數(shù)運算 347
6.2.4 取極限與R中的序關(guān)系的兼容性 353
6.2.5 復(fù)合函數(shù)的極限以及極限的序列刻畫 360
6.2.6 單調(diào)極限定理 365
6.3 比較關(guān)系 369
6.3.1 函數(shù)的大O和 o關(guān)系 369
6.3.2 常用函數(shù)的比較 377
6.3.3 在一點處等價的函數(shù) 377
6.3.4 常用的等價式 382
6.4 全局連續(xù)性 385
6.4.1 定義和主要性質(zhì) 385
6.4.2 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合 388
6.4.3 限制函數(shù)以及連續(xù)性的局部刻畫 388
6.4.4 連續(xù)延拓 389
6.4.5 介值定理 392
6.4.6 閉區(qū)間在連續(xù)函數(shù)下的像 395
6.4.7 逆映射的連續(xù)性 398
6.4.8 一致連續(xù)性和海涅定理 399
6.5 小結(jié)：實值函數(shù)和復(fù)值函數(shù)的區(qū)別 403
6.6 習(xí)題 405
第7章 多項式和有理分式 411
7.1 集合K[X] 412
7.1.1 代數(shù)以及代數(shù)同態(tài) 412
7.1.2 多項式的定義 416
7.1.3 多項式上的常用運算 417
7.1.4 多項式的求導(dǎo) 425
7.2 多項式的次數(shù) 428
7.2.1 定義 428
7.2.2 次數(shù)的性質(zhì) 429
7.2.3 一些基本結(jié)果 430
7.3 K[X]中的算術(shù) 432
7.3.1 K[X]中的整除 432
7.3.2 K[X]中的歐幾里得除法 436
7.3.3 K[X]的理想 440
7.3.4 互素的多項式 442
7.3.5 貝祖定理和高斯定理 445
7.4 多項式的根 447
7.4.1 與多項式對應(yīng)的多項式函數(shù) 447
7.4.2 多項式的根 448
7.4.3 泰勒公式與根的重數(shù) 450
7.4.4 證明兩個多項式相等的方法 454
7.4.5 可完全分解的多項式以及根與系數(shù)的關(guān)系 454
7.5 不可約多項式與多項式的因式分解 457
7.5.1 C[X]中的不可約元素 458
7.5.2 R[X]中的不可約元素 459
7.6 集合K（X） .461
7.6.1 一元有理分式域K（X） 461
7.6.2 求導(dǎo)與次數(shù) 462
7.6.3 有理分式的零點和極點 464
7.6.4 部分分式分解 464
7.7 習(xí)題 467
譯后記 473