《純數(shù)學教程》詳細梳理了經(jīng)典數(shù)學相關概念，其知識框架清晰而有條理，囊括了數(shù)論、代數(shù)、幾何和拓撲學等多個領域。全書共分十章，每一章內(nèi)容循序漸進、層層深入，從基礎的核心概念講起，提供嚴謹?shù)淖C明過程，以及豐富的例子和習題。
第一章至第三章介紹了實數(shù)、復數(shù)等概念，其中，第二章著重通過圖片展示的方式，直觀地分析與講解抽象的函數(shù)。第四章和第五章引入了極限、連續(xù)、振蕩等概念。第六章至第八章詳細介紹了微積分的概念和相關定理證明，如中值定理、達布定理等，此外，還論述了收斂的判別法。第九章和第十章，從多重角度出發(fā)，給出了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的定義及其應用。
英國第一本數(shù)學分析書，奠定了20世紀初數(shù)學分析課程基礎，
以通俗易懂的數(shù)學語言全面梳理經(jīng)典數(shù)學相關概念，
對諸多數(shù)學論證給出了邏輯嚴密且詳細的推導過程，知其然更知其所以然。
每章皆收錄大量相關雜例與數(shù)學習題集，供讀者進一步了解與鞏固所學。
概念清晰，內(nèi)容詳實，從最基礎的數(shù)學概念出發(fā)，逐步引導讀者進入更復雜的數(shù)學世界，讓非數(shù)學專業(yè)的學習者也能感受到數(shù)學之美。
譯者序
從1908年初版至今，《純數(shù)學教程》一共經(jīng)歷了11 次重印或再版，不斷被譯成不同的語言文字， 其在數(shù)學界的受歡迎程度不言而喻。在無數(shù)次不同語言之間的翻譯過程中，看似是譯者對本書言語的打磨， 實則是數(shù)學思想與邏輯思維的碰撞；不斷修訂的過程， 也是使本書不斷吸收和納入新時代的數(shù)學思想與分析方法的過程。這本數(shù)學著作之所以經(jīng)典，除了本身的學術價值，作者哈代（Hardy）的人格魅力也為其增光添彩。
哈代先生既是著名的數(shù)學家，又是優(yōu)秀的教育家。他在英國牛津大學、劍橋大學任教期間的數(shù)學成果斐然，在數(shù)論、不等式、級數(shù)、極限以及微積分計算等領域中做出了巨大的貢獻，同時還挖掘了拉馬努金、華羅庚先生等優(yōu)秀的數(shù)學家。《純數(shù)學教程》的再譯、再版、再印并不僅是出千對哈代先生的尊重與崇敬，更是因為這是一本暢銷書，具有普及思想的價值。能夠由我承擔本書的翻譯工作，為廣大讀者傳播哈代先生的數(shù)學知識與邏輯思維， 與讀者一同領略字里行間閃爍的汗漫靈光，何其榮幸！
數(shù)學，這門學科從遠古的計數(shù)開始，不僅是工具，更是思想。譯者在中國和美國都曾學習過高等數(shù)學，學習內(nèi)容差不多，但老師的教學方法卻略有不同。《純數(shù)學教程》與國內(nèi)高等院校數(shù)學教科書的區(qū)別在于一它更為詳盡地描述了公式、定理的推導過程，對于邊界或限制條件的來源、假設方式都進行了詳細的考證。非常有意思的是，這本教科書中的很多問題并沒有給出最終答案，而是留給讀者自行思考，似乎讀者得出的答案才是正確答案。這其實反映了東西方教育的不同理念一結果導向論vs思維導向論。
譯者在美國參加博士生入學考試時，我們所有考生都有著相似的心得體會：看著出題風格尤其是使用的動詞，就能大致猜出它出自哪國老師的手筆一如果題目給定限制條件，通過代入公式得到最終結果的，十有八九是亞洲老師的杰作（題目中最常見的動詞為obtain）。這是因為在東方（如中、日、韓等國）的數(shù)學教育中，側重千解決問題（problem-solving），也非常崇尚 打破砂鍋豐到底 的追蹤精神。而與之相對，歐美數(shù)學系教授的出題方式往往偏向論述，無限制條件（題目中最常見的動詞為describe）。這樣一來，試題往往對千最后數(shù)值答案的分值設定不高。東方崇尚的結果導向論與西方追求的思維導向論，這兩種不同的教育方式，塑造出來的學生思維風格也不盡相同。在此我想要強調(diào)的是，這兩種教育方式并無高下之分，也無對錯之別，只是對學生的大腦皮層刺激點以及思維路徑的不同。我們既不可妄自菲薄，也不可驕傲自大。回頭看來，《純數(shù)學教程》這本書既是對數(shù)學思維的推廣，又是對數(shù)學能力的培養(yǎng)，既具有思維導向性，也具有結果導向性，讀之將受益無窮。
《純數(shù)學教程》作為英國 第一本數(shù)學分析書，對千數(shù)學分析的邏輯思路進行了統(tǒng)一，直接奠定了數(shù)學分析課程的基礎。本書將直觀與抽象結合起來進行數(shù)學分析，全面梳理了經(jīng)典數(shù)學的相關概念，系統(tǒng)闡述了微積分的產(chǎn)生與應用，還襄括了劍橋大學數(shù)學課程的習題集以及解題技巧，適合學習數(shù)學以及數(shù)學愛好者閱讀，下面簡要介紹一下本書的內(nèi)容結構：
全書一共分為十章，內(nèi)容層層遞進，邏輯清晰。第一章與第三章進行了數(shù)論擴充的討論，從有理數(shù)到實數(shù)，再到復數(shù)，介紹了其分類關系、大小比較及相關定理，尤其是第一章中戴德金分割定理的分析尤為精彩。第二章介紹了函數(shù)的概念，著重以圖像展示的方法來分析函數(shù)，讀者也應吸收理解圖像分析這一思想。第四章和第五章開始引入極限、級數(shù)、連續(xù)、振蕩等相對晦澀難懂的概念， 并且對于邊界條件進行了分類討論。從第六章到第八章開始詳細介紹了微積分的概念、相關定理證明、特殊函數(shù)的積分討論以及收斂的判別法。值得注意的是，此三章通過細致入微的討論，為19世紀以來的歐洲數(shù)學界微積分辯論找到了答案，推薦讀者多次閱讀并熟練使用微積分工具。第九章與第十章針對常見且重要的對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)進行了多重角度分析。
本書的翻譯是譯者在不斷翻閱相關數(shù)學資料的基礎上反復推敲的過程，對于很多數(shù)學概念的分析、定理的推導過程及限制條件都進行了仔細的琢磨，譯者也自行對部分習題進行了驗算。在此，我向曾經(jīng)請教過的同事表示衷心的感謝，也向在翻譯過程中給予幫助和指導的編輯們表示感謝。作為一部20世紀的著作，原文的一些表達都已過時，因此譯者盡量使用了最新的數(shù)學概念與表達方式進行翻譯，便千讀者理解。但由千水平有限，最終譯文難免會有欠妥之處，懇請各位讀者批評指正。
譯者序/1
前言/5
第一章實變量/1
（1）有理數(shù)1
（2）通過線上的點來代表有理數(shù)2
（3）無理數(shù)3
（4）無理數(shù)（續(xù)）6
（5）無理數(shù)（再續(xù)）7
（6）無理數(shù)（三續(xù)）9
（7）無理數(shù)（四續(xù)）10
（8）實數(shù)11
（9）實數(shù)之間的大小比較12
（10）實數(shù)的代數(shù)運算14
（11）實數(shù)的代數(shù)運算（續(xù)）15
（12）的研究16
（13）二次方根17
（14）關于二次方根的一些定理18
（15）連續(xù)統(tǒng)21
（16）連續(xù)實變量23
（17）實數(shù)的分割23
（18）極限點25
（19）魏爾施特拉斯定理26
例題集27
第二章實變量函數(shù)/37
（20）函數(shù)的定義37
（21）函數(shù)的圖形表示法40
（22）極坐標41
（23）更多的函數(shù)以及圖形表示的例子42
（24）B.有理函數(shù)44
（25）有理函數(shù)（續(xù)）46
（26）C.顯式代數(shù)函數(shù)47
（27）D.隱式代數(shù)函數(shù)48
（28）超越函數(shù)50
（29）F.其他種類的超越函數(shù)53
（30）包含著單一未知數(shù)的方程圖像解法56
（31）二元函數(shù)以及它們的圖像表示法57
（32）平面曲線58
（33）空間中的軌跡60
例題集63
第三章復數(shù)/69
（34）直線與平面上的位移69
（35）位移的相同性、位移的數(shù)乘法70
（36）位移的加法71
（37）位移的乘法74
（38）位移的乘法（續(xù)）75
（39）復數(shù)76
（40）復數(shù)（續(xù)）78
（41）方程i2=-179
（42）與i相乘的幾何解釋79
（43）方程z2 1=0，az2 2bz c=080
（44）阿爾干（Argand）圖82
（45）棣莫弗定理83
（46）幾個關于復數(shù)的有理函數(shù)定理85
（47）復數(shù)的根97
（48）方程zn=a的解98
（49）棣莫弗定理的一般形式101
例題集101
第四章正整數(shù)變量對應函數(shù)的極限/109
（50）正整數(shù)變量的函數(shù)109
（51）函數(shù)插值110
（52）有限集和無限集111
（53）對于大數(shù)值n的函數(shù)性質(zhì)112
（54）對于大數(shù)值n的函數(shù)性質(zhì)（續(xù)）113
（55）n趨向于無窮的表述114
（56）當n趨向于無窮時n的函數(shù)表現(xiàn)115
（57）當n趨向于無窮時n的函數(shù)表現(xiàn)（續(xù)）117
（58）極限的定義117
（59）極限的定義（續(xù)）119
（60）極限的定義（再續(xù)）119
（61）關于定義的幾個基礎要點120
（62）振蕩函數(shù)123
（63）關于極限的一些定理127
（64）定理1的附屬結果128
（65）B.兩個增減趨勢已知的函數(shù)乘積的增減趨勢129
（66）C.兩個增減趨勢已知的函數(shù)的差或商的增減趨勢131
（67）定理5132
（68）定理5（續(xù)）133
（69）以n為變量且與n一起遞增的函數(shù)134
（70）對定理的說明137
（71）魏爾施特拉斯定理的另一種證明137
（72）當n趨向于時xn隨著n變化的極限138
（73）的極限142
（74）一些代數(shù)引理143
（75）的極限145
（76）無窮級數(shù)146
（77）關于無窮級數(shù)的一般定理147
（78）無窮幾何級數(shù)149
（79）用極限方法來表示連續(xù)實變量154
（80）有界集合的邊界157
（81）一個有邊界函數(shù)的邊界158
（82）一個有邊界函數(shù)的不確定的極限158
（83）有邊界函數(shù)的一般收斂性原則161
（84）無邊界函數(shù)162
（85）復數(shù)函數(shù)的極限及復數(shù)項的級數(shù)163
（86）定理的延伸164
（87）當n時，zn的極限（z是復數(shù)）166
（88）當z是復數(shù)時的幾何級數(shù)1 z z2 …166
（89）符號O，o，~168
例題集169
第五章一個連續(xù)變量的函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)/179
（90）當x趨向于時的極限179
（91）當x趨向于-時的極限181
（92）第四章第6369課時的結論對應的定理182
（93）當x趨向于0時的極限182
（94）當x趨向于a時的極限184
（95）遞增或遞減函數(shù)185
（96）不定元的極限以及收斂原則185
（97）不定元的極限以及收斂原則（續(xù)）187
（98）符號O，o，~：大、小的級別對比192
（99）一個實變量的連續(xù)函數(shù)193
（100）一個實變量的連續(xù)函數(shù)（續(xù)）195
（101）連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)199
（102）連續(xù)函數(shù)的其余性質(zhì)201
（103）連續(xù)函數(shù)的取值范圍202
（104）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的振蕩204
（105）第103課時定理2的另一種證明205
（106）直線上的區(qū)間集，海恩-博萊爾（Heine-Borel）定理206
（107）連續(xù)函數(shù)的振幅209
（108）多元的連續(xù)函數(shù)211
（109）隱函數(shù)212
（110）反函數(shù)214
例題集216
第六章導數(shù)與積分/221
（111）導數(shù)或微分系數(shù)221
（112）一些一般性的注解223
（113）一些一般性的注解（續(xù)）226
（114）微分法的一些一般法則227
（115）復函數(shù)的導數(shù)230
（116）微分學的記號230
（117）標準形式232
（118）B.有理函數(shù)235
（119）C.代數(shù)函數(shù)236
（120）D.超越函數(shù)238
（121）高階導數(shù)241
（122）關于導函數(shù)的一些一般性定理245
（123）最大值與最小值247
（124）最大值與最小值（續(xù)）249
（125）最大值與最小值（再續(xù)）249
（126）中值定理257
（127）中值定理（續(xù)）259
（128）柯西中值定理259
（129）達（Darboux）定理260
（130）積分261
（131）實際的積分問題262
（132）多項式264
（133）有理函數(shù)265
（134）有理函數(shù)的實際積分268
（135）代數(shù)函數(shù)269
（136）換元積分法和有理化積分法269
（137）由圓錐曲線相連的積分270
（138）積分271
（139）積分272
（140）積分273
（141）分部積分法273
（142）一般的積分，其中y2=ax2 2bx c276
（143）超越函數(shù)280
（144）以x的倍數(shù)的正弦與余弦為變量的多項式280
（145）積分，及相關的積分281
（146）cosx和sinx的有理函數(shù)281
（147）包含arcsinx，arctanx和logx的積分283
（148）平面曲線的面積284
（149）平面曲線的長度285
例題集290
第七章微分和積分的其他定理/303
（150）更高階的中值定理303
（151）泰勒定理的另一種形式308
（152）泰勒級數(shù)310
（153）泰勒定理的應用A.求最值312
（154）B.某些極限的計算312
（155）C.平面曲線的相切315
（156）多變量函數(shù)的導數(shù)320
（157）雙變量函數(shù)微分法322
（158）雙變量函數(shù)微分法（續(xù)）325
（159）雙變量函數(shù)的中值定理326
（160）微分328
（161）定積分和面積計算332
（162）定積分335
（163）圓的扇形面積，三角函數(shù)336
（164）從定積分作為和的極限來計算定積分340
（165）定積分的一般性質(zhì)341
（166）分部積分法和換元積分法345
（167）利用分部積分法證明泰勒定理348
（168）余項的柯西形式在二項式中的應用349
（169）定積分的近似公式，辛普森公式350
（170）實變量復數(shù)函數(shù)的積分352
例題集353
第八章無窮級數(shù)與無窮積分的收斂/365
（171）前言365
（172）正項級數(shù)365
（173）正項級數(shù)（續(xù)）366
（174）這些判別的第一批應用366
（175）比值判別法367
（176）德里赫特判別法371
（177）正項級數(shù)的乘法371
（178）對于收斂與發(fā)散的額外判別法373
（179）阿貝爾（或普林斯姆）定理374
（180）麥克勞林（或柯西）積分判別法376
（181）級數(shù)377
（182）柯西并項判別法379
（183）進一步的比值判別法380
（184）無窮積分381
（185）取值為正的情形383
（186）替換積分法和分部積分法對無限積分的應用386
（187）其他類型的無窮積分389
（188）其他類型的無窮積分（續(xù)）391
（189）其他類型的無窮積分（再續(xù)）395
（190）正負項的級數(shù)397
（191）絕對收斂級數(shù)398
（192）德里赫特（Dirichlet）定理延伸到絕對收斂級數(shù)400
（193）條件性收斂級數(shù)400
（194）條件性收斂級數(shù)的收斂判別法401
（195）交錯級數(shù)402
（196）阿貝爾收斂判別法和德里赫特收斂判別法405
（197）復數(shù)項的級數(shù)408
（198）冪級數(shù)409
（199）冪級數(shù)（續(xù)）410
（200）冪級數(shù)的收斂域、收斂圈410
（201）冪級數(shù)的唯一性413
（202）級數(shù)的乘法413
（203）絕對收斂無限積分和條件收斂無限積分415
例題集417
第九章實變量的對數(shù)、指數(shù)及三角函數(shù)/427
（204）引言427
（205）logx的定義428
（206）logx滿足的函數(shù)等式429
（207）logx隨著x趨向于無窮時的情況431
（208）當x時x-logx0的證明431
（209）當x 0時logx的性狀432
（210）無窮的尺度，對數(shù)的尺度432
（211）數(shù)字e435
（212）指數(shù)函數(shù)436
（213）指數(shù)函數(shù)的一般性質(zhì)437
（214）一般冪函數(shù)ax439
（215）ex作為極限的表示法440
（216）logx作為極限的表示法441
（217）常用的對數(shù)442
（218）級數(shù)和積分收斂的對數(shù)判別法449
（219）與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關的級數(shù)，用泰勒定理展開ex454
（220）對數(shù)級數(shù)457
（221）反正切函數(shù)級數(shù)459
（222）二項級數(shù)462
（223）建立指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)理論的另一種方法464
（224）三角函數(shù)的分析理論466
（225）三角函數(shù)的解析理論（續(xù)）469
（226）三角函數(shù)的解析理論（再續(xù)）471
例題集472
第十章對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的一般理論/483
（227）單復變量的函數(shù)483
（228）單復變量的函數(shù)（續(xù)）484
（229）實數(shù)和復數(shù)曲線積分484
（230）的定義485
（231）Log的值486
（232）指數(shù)函數(shù)491
（233）exp的值492
（234）exp滿足的函數(shù)方程492
（235）一般的冪a493
（236）a的一般值494
（237）正弦和余弦的指數(shù)值498
（238）對于所有的，sin和cos的定義498
（239）推廣的雙曲線函數(shù)499
（240）與，等有關的公式500
（241）對數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)之間的聯(lián)系503
（242）expz的冪級數(shù)505
（243）cosz和sinz的冪級數(shù)507
（244）對數(shù)級數(shù)509
（245）對數(shù)級數(shù)（續(xù)）510
（246）對數(shù)級數(shù)的一些應用，指數(shù)極限513
（247）二項式定理的一般形式514
例題集517
附錄1Hlder不等式和Minkowski不等式/527
附錄2每一個方程都有一個根的證明/533
附錄3雙極限問題的注記/540
附錄4分析和幾何中的無窮/543
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