目錄
前言
第1章 線性賦范空間 1
1.1 預備知識 2
1.2 線性空間、度量空間及賦范空間 8
1.2.1 線性空間 8
1.2.2 度量空間 10
1.3 收斂性及空間上的映射 13
1.3.1 收斂性 13
1.3.2 空間上的映射 15
1.3.3 空間的同構 17
閱讀材料 關肇直先生在泛函分析中的一些成果 18
習題1 20
第2章 內積空間與Hilbert空間 22
2.1 內積空間 23
2.2 Hilbert空間 26
2.2.1 Hilbert空間的定義及性質 26
2.2.2 投影定理 27
2.2.3 Hilbert空間的正交基 29
2.2.4 Hilbert空間上的有界線性算子 34
2.3 不動點定理 38
閱讀材料 等時曲線 43
習題2 45
第3章 定性理論簡介 48
3.1 穩(wěn)定性的概念 49
3.2 自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 55
3.2.1 V函數(shù) 55
3.2.2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 57
3.2.3 Lyapunov漸近穩(wěn)定性定理 58
3.2.4 Lyapunov指數(shù)穩(wěn)定性定理 60
3.2.5 Lyapunov不穩(wěn)定性定理 61
3.3 非自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 64
3.3.1 Fftx)的基本概念 64
3.3.2 非自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性定理 66
3.3.3 非自治系統(tǒng)零解的漸近穩(wěn)定性定理 67
3.3.4 非自治系統(tǒng)零解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性定理 69
3.3.5 非自治系統(tǒng)零解的不穩(wěn)定性定理 69
3.4 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 70
3.4.1 自治線性系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性 71
3.4.2 非自治線性系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性 74
3.4.3 周期線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 76
3.5 自治的擬線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 78
3.6 動力系統(tǒng)的基本概念 81
3.6.1 自治系統(tǒng)的基本性質 82
3.6.2 動力系統(tǒng)的基本概念 84
3.6.3 奇點與閉軌 85
3.7 平面自治系統(tǒng)的奇點 86
3.7.1 平面線性自治系統(tǒng)的奇點 87
3.7.2 平面非線性自治系統(tǒng)的奇點 94
3.8 平面自治系統(tǒng)的極限環(huán) 95
3.8.1 極限環(huán)的有關概念 96
3.8.2 平面極限環(huán)存在的判別準則 97
3.8.3 平面閉軌不存在的判別準則 98
閱讀材料微分方程在彈簧振動中的應用 99
習題3 104
第4章 生物數(shù)學導論 110
4.1 單種群連續(xù)模型 111
4.1.1 連續(xù)增長模型 111
4.1.2 昆蟲爆發(fā)模型：云杉蚜蟲 114
4.1.3 時滯模型 116
4.1.4 時滯人口模型的線性分析：周期解 119
4.1.5 生理學中的時滯模型：疾病的周期性動態(tài) 120
4.1.6 帶捕獲的單種群模型 123
4.2 單物種的離散種群模型 125
4.2.1簡單模型簡介 125
4.2.2蛛網(wǎng)圖：求解的圖形化程序 128
4.2.3 離散Logistic模型與混沌 131
4.2.4 穩(wěn)定性、周期解和分支 136
4.2.5 離散義 139
4.2.6 混沌 142
4.3 多種群模型 142
4.3.1 Lotka-Volterra 競爭模型 143
4.3.2 功能性反應瞞 144
4.3.3 種間關系 147
閱讀材料 漁業(yè)管理模型 153
第5章 網(wǎng)絡動力學 156
5.1 復雜網(wǎng)絡的圖論基礎 157
5.1.1 圖的基本概念 157
5.1.2 圖的矩陣表示 159
5.2 復雜網(wǎng)絡簡史 160
5.2.1 Euler圖論 160
5.2.2 隨機圖論 162
5.2.3 現(xiàn)代網(wǎng)絡理論 162
5.2.4 復雜網(wǎng)絡直觀理解 163
5.2.5復雜網(wǎng)絡的特征 164
5.3 復雜網(wǎng)絡的基本概念 164
5.3.1 平均路徑長度 164
5.3.2 聚類系數(shù) 165
5.3.3 度與度分布 165
5.3.4 介數(shù) 166
5.4 復雜網(wǎng)絡的基本模型及性質 166
5.4.1 規(guī)則酶 166
5.4.2 隨機網(wǎng)絡 168
5.4.3 小世界網(wǎng)絡 170
5.4.4 無標度網(wǎng)絡 172
5.5 復雜網(wǎng)絡動力學 175
5.5.1網(wǎng)絡動力學 175
5.5.2 動力系統(tǒng) 176
5.5.3 復雜網(wǎng)絡群集動力學 176
5.5.4 網(wǎng)絡傳播動力學 179
閱讀材料 觀點動力學在社會科學上的應用 183
習題5 187
第6章 隨機分析基礎 190
6.1 隨機變量概念及性質 191
6.1.1 概率空間 191
6.1.2 隨機變量 192
6.1.3 期望與矩 193
6.1.4 條件期望 195
6.2 隨機過程 196
6.2.1 基礎概念 196
6.2.2 鞅 198
6.2.3 Brownian運動 199
6.3 隨機微積分 200
6.3.1 隨機積分 201
6.3.2 隨機微分 204
6.3.3 某些不等式 207
閱讀材料 隨機人口動力學 208
習題6 212
第7章 隨機微分方程及應用 214
7.1隨機微分方程解的存在唯一性 215
7.1.1 解的存在唯一性 215
7.1.2 解的估計和性質 219
7.2 隨機線性方程 220
7.2.1 一般情形 220
7.2.2 某些例子 224
7.3 隨機微分方程解的穩(wěn)定性 227
7.3.1 基本概念 227
7.3.2 依概率穩(wěn)定 228
7.3.3 幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定 229
7.3.4 矩指數(shù)穩(wěn)定 230
7.4 隨機微分方程的應用 231
7.4.1 一致性分析 232
7.4.2 數(shù)值模擬 233
閱讀材料 隨機分析奠基人——伊藤清簡介 235
習題7 237
第8章 積分變換 239
8.1 Fourier積分與變換 240
8.1.1 Fourier積分 240
8.1.2 Fourier變換 244
8.2 單位脈沖函數(shù)及廣義Fourier變換 246
8.2.1 單位脈沖函數(shù) 246
8.2.2 廣義Fourier變換 247
8.3 Fourier變換的性質及Fourier卷積 249
8.3.1 Fourier變換的性質 249
8.3.2 Fourier卷積 253
8.4 Laplace變換的概念 256
8.5 Laplace變換的基本性質 260
8.6 Laplace逆變換及其應用 264
8.6.1 Laplace逆變換 264
8.6.2 Laplace變換的應用 268
閱讀材料 積分變換在地質勘探中的應用 269
習題8 272
參考文獻 273