《高等數(shù)學(xué)(理工類)》是編者充分考慮了物理類和對數(shù)學(xué)要求比較高的專業(yè)對高等數(shù)學(xué)的需求，并結(jié)合自身長期從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗編寫而成的。全書分為上、下兩冊，本書為上冊，內(nèi)容包括函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用和微分方程。
《高等數(shù)學(xué)(理工類)》適合物理類、電類等對高等數(shù)學(xué)要求比較高的專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，也可作為相關(guān)人員的參考用書。全書由云南師范大學(xué)方鋼教授和嚴(yán)慶麗老師進(jìn)行修改、整理及最后統(tǒng)稿。
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《高等數(shù)學(xué)(理工類)》結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯清晰，敘述詳細(xì)，難點分散，例題豐富，通俗易懂，每小節(jié)后配有習(xí)題，書末附有習(xí)題參考答案，便于自學(xué)。
本書的一個特點是在重視基本理論、基本運算的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用。書中每章后配有相關(guān)的大量數(shù)學(xué)建模的例題與實際應(yīng)用，經(jīng)多年使用證明，此舉對提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)意識有很好的效果。全書由云南師范大學(xué)方鋼教授和嚴(yán)慶麗老師進(jìn)行修改、整理及最后統(tǒng)稿。
目錄
序言
前言
第1章 函數(shù)與極限 1
1.1 函數(shù) 1
1.2 初等函數(shù) 10
1.3 極限 14
1.4 函數(shù)的連續(xù)性 36
1.5 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 43
1.6 極限應(yīng)用舉例 45
總習(xí)題一 48
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 50
2.1 導(dǎo)數(shù)概念 50
2.2 求導(dǎo)法則和基本求導(dǎo)公式 57
2.3 復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法 62
2.4 高階導(dǎo)數(shù) 66
2.5 參數(shù)方程與極坐標(biāo)求導(dǎo)法 69
2.6 微分及其應(yīng)用 72
2.7 導(dǎo)數(shù)與微分應(yīng)用舉例 79
總習(xí)題二 81
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 83
3.1 中值定理 83
3.2 洛必達(dá)法則 89
3.3 泰勒公式 95
3.4 函數(shù)單調(diào)性與極值 99
3.5 曲線的凹凸性、拐點、漸近線 108
3.6 函數(shù)的作圖 112
3.7 應(yīng)用舉例 115
總習(xí)題三 116
第4章 不定積分 118
4.1 不定積貧的概念與性質(zhì) 118
4.2 換元積分法 124
4.3 分部積分法 134
4.4 有理函數(shù)的積分 138
4.5 積分表的使用 145
總習(xí)題四 147
第5章 定積分 149
5.1 定積分的概念和性質(zhì) 149
5.2 微積分基本公式 155
5.3 定積分的換元法和分部積分法 160
5.4 非正常積分（廣義積分）*函數(shù)與B函數(shù) 166
總習(xí)題五 171
第6章 定積分的應(yīng)用 173
6.1 定積分的微元法 173
6.2 定積分在幾何上的應(yīng)用 174
6.3 定積分在物理上的應(yīng)用 185
6.4 定積分的其他應(yīng)用舉例 192
總習(xí)題六 196
第7章 微分方程 198
7.1 微分方程的基本概念 198
7.2 可分離變量的微分方程 201
7.3 齊次微分方程 206
7.4 一階線性微分方程 211
7.5 幾種特殊的高階微分方程 216
7.6 線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 219
7.7 常系數(shù)齊次線性微分方程 223
7.8 常系數(shù)非齊次線性微分方程 227
總習(xí)題七 234
附錄 常用積分公式 237
都分習(xí)題答案與提示 247
第1章 函數(shù)與極限
初等數(shù)學(xué)的研究對象基本上是不變的量，而高等數(shù)學(xué)則以變量為研究對象.所謂函數(shù)關(guān)系就是變量之間的依賴關(guān)系.極限方法則是研究變量的一種基本方法.本章將介紹變量、函數(shù)、極限、函數(shù)的連續(xù)性等基本概念以及它們的一些性質(zhì).
1.1 函 數(shù)
1.1.1 常量與變量
定義1.1 在某一過程中，數(shù)值保持不變的量稱為常量（或常數(shù)）；數(shù)值不斷變化的量稱為變量（或變數(shù)）.
一個量是常量還是變量，在具體問題中要作具體分析.例如，就小范圍地區(qū)來說，重力加速度可以看成常量，但就廣大地區(qū)來說，重力加速度則是變量.以后，用字母a，b，c，d，.表示常量，用字母x，y，z，.表示變量.
1.1.2 區(qū)間與鄰域
在數(shù)學(xué)中，常用區(qū)間表示一個變量的變化范圍，下面介紹一些常用的區(qū)間符號.
設(shè)a和b都是實數(shù)，并且a＜b.
1.區(qū)間
（1）開區(qū)間（a，b）＝
x
a＜x＜b表示由滿足不等式a＜x＜b的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示以a，b為端點，但不包含端點a和b的線段（圖1.1）.
（2）閉區(qū)間
［a，b］＝｛x｜a≤x≤b｝表示由滿足不等式a≤x≤b的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示以a，b為端點且包含a和b的線段（圖1.2）.
（3）左閉右開區(qū)間
［a，b）＝｛x｜a≤x＜b｝表示由滿足不等式a≤x＜b的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示以a，b為端點且包含左端點a的線段（圖1.3）.
（4）左開右閉區(qū)間
（a，b］＝｛x｜a＜x≤b｝表示由滿足不等式a＜x≤b的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示以a，b為端點且包含右端點b的線段（圖1.4）.
左閉右開與左開右閉區(qū)間統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間.除了上述4種有限區(qū)間外，還有如下5種無限區(qū)間：
（1）
（a，+∞）＝｛x｜x＞a｝表示由大于a的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示如圖1.5所示.
（2）
［a，+∞）＝｛x｜x≥a｝表示由大于等于a的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示如圖1.6所示.
（3）
（-∞，a）＝｛x｜x＜a｝表示由小于a的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示如圖1.7所示.
（4）
（-∞，a］＝｛x｜x≤a｝表示由小于等于a的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上的表示如圖1.8所示.
圖1.7圖1.8
（5）
（-∞，+∞）＝｛x｜-∞＜x＜+∞｝表示全體實數(shù).注意：“+∞”（讀作正無窮大），“-∞”（讀作負(fù)無窮大）是引用的符號，不能作為數(shù)看待.
以后在不需要辨明所論區(qū)間是否包含端點，以及是有限區(qū)間還是無限區(qū)間的場合，就簡稱為“區(qū)間”，并且常用I表示.
2.鄰域（設(shè)a為實數(shù)）
（1）設(shè)δ為任意一正數(shù)，則稱開區(qū)間（a-δ，a+δ）為點a的δ鄰域，記為U（a，δ），即U（a，δ）＝（a-δ，a+δ）＝
x
a-δ＜x＜a+δ
，其中點a稱為這個鄰域的中心（圖1.9）.
圖1.9
第1章 函數(shù)與極限?3?
由于a-δ＜x＜a+δ相當(dāng)于｜x-a｜＜δ，因此，U（a，δ）＝｛x‖x-a｜＜δ｝.因為｜x-a｜表示點x與點a的距離，所以U（a，δ）表示與點a的距離小于δ的一切點x.
（2）有時要用到的鄰域需要把鄰域中心去掉，點a的δ鄰域去掉中心以后，稱為點a的去心鄰域，記作（a，δ），即（a，δ）＝｛x｜0＜｜x-a｜＜δ｝，U°U°
其中0＜｜x-a｜就表示x≠a.注1.1 在不需要強(qiáng)調(diào)半徑大小的情況下，將鄰域U（a，δ）簡記為U（a）.
1.1.3 函數(shù)
1.函數(shù)的定義
在同一個自然現(xiàn)象或技術(shù)過程中，往往同時有幾個變量在變化著，這幾個變量并不是孤立地在變，而是相互聯(lián)系并遵循一定的變化規(guī)律，現(xiàn)在就兩個變量的情況舉三個例子.
例1.1 圓的面積S與它的半徑r之間的關(guān)系由公式S＝πr2 確定，當(dāng)半徑r取定某一正的數(shù)值時，圓面積S相應(yīng)有一個確定的值.■
例1.2 自由落體運動.設(shè)物體下落的時間為t，落下的距離為s，假定開始下落的
時刻為t＝0，那么s與t之間的相互依賴關(guān)系由公式s＝12 gt2 給定，其中g(shù)為重力加速
度.假定物體著地的時刻為t＝T，那么當(dāng)時間t在閉區(qū)間［0，T］上任意確定一個數(shù)值時，由上式就可確定下落距離s的相應(yīng)數(shù)值.■
例1.3 設(shè)有半徑為r的圓，考慮內(nèi)接于該圓的正n邊形的周長Sn.由圖1.10可
以看出，Sn＝2nrsinαn，其中αn＝π n ，所以內(nèi)接正n邊形的周長Sn
與邊數(shù)n之間的相互依賴關(guān)系由公式Sn＝2nrsinπ n 給定.當(dāng)邊
數(shù)n在自然數(shù)3，4，5，.中任意取定一個數(shù)值時，由上式就可確定周長Sn的相應(yīng)數(shù)值.■
由上面三個例子可以看到，它們都表達(dá)了兩個變量之間的相依關(guān)系.這種相依關(guān)系給出了一種對應(yīng)法則，根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個變量在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，另一個變量就有確定的值與之對應(yīng)，兩個變量間的這種對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)概念的實質(zhì).
定義1.2 設(shè)x和y是兩個變量，D是一個給定的數(shù)集，如果對于每個數(shù)x∈D，變量y按照一定法則，總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y為x的函數(shù)，記為y＝f（x），其中f叫做對應(yīng)法則，數(shù)集D叫做函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量.
當(dāng)x取數(shù)值x0∈D時，與x0對應(yīng)的y的數(shù)值稱為函數(shù)y＝f（x）在點x0處的函數(shù)值，記作f（x0）.當(dāng)x遍取D的每個數(shù)值時，對應(yīng)函數(shù)值的全體組成的數(shù)集
W＝｛y｜y＝f（x），x∈D｝稱為函數(shù)的值域.
注1.2 符號y＝f（x）表示兩個數(shù)集間的一種對應(yīng)關(guān)系，因此，也可以用y＝φ（x），y＝F（x）等表示，但一個函數(shù)在討論中應(yīng)取定一種記法.當(dāng)同一問題中涉及多個函數(shù)時，則應(yīng)取不同的符號分別表示它們各自的對應(yīng)規(guī)律，以免混淆.
注1.3 在實際問題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義確定的，因此，當(dāng)不考慮函數(shù)的實際意義，而只抽象地研究用算式表達(dá)的函數(shù)時，就約定：函數(shù)的定義域就是使算式有意義的全體實數(shù)x構(gòu)成的集合.
例1.4 函數(shù)y＝
1 的定義域是開區(qū)間D＝（-1，1）.■1-x2
例1.5 函數(shù)y＝ln（5x-4）的定義域應(yīng)滿足5x-4＞0，故定義域為
D ＝ 45，+∞ .■
例1.6 函數(shù)y＝arcsinx的定義域為D＝［-1，1］.■
在函數(shù)關(guān)系中，對確定一個函數(shù)起決定作用的關(guān)鍵因素是對應(yīng)法則f和定義域D.今后，如果兩個函數(shù)的對應(yīng)法則f和定義域D都相同，則稱兩個函數(shù)為相同的（或者叫相等的）；否則，就稱為不同的（或者叫不相等的）.至于自變量和因變量用什么記號表示則無關(guān)緊要，因此，只要定義域相同，對應(yīng)法則相同，則這兩個函數(shù)表示同一個函數(shù).
例1.7 下列各對函數(shù)是否相同？為什么？
（1）f（x）＝x ，g（x）＝1；
x
（2）f（x）＝x，g（x）＝
x2；
（3）f（x）＝｜x｜，g（x）＝
x2.
解 （1）不相同，因為定義域不同，f（x）的定義域為D＝（-∞，0）∪（0，+∞），而g（x）的定義域為D＝（-∞，+∞）.
（2）不相同，因為對應(yīng)法則不同，當(dāng)x＝-1時，f（-1）＝-1，g（-1）＝1.
（3）相同，因為f（x）和g（x）的對應(yīng)法則相同，定義域也相同，均為D＝（-∞，+∞）.■
2.函數(shù)的表示法
1） 解析法
對自變量和常數(shù)施加四則運算、乘冪、取指數(shù)、取對數(shù)、取三角函數(shù)等數(shù)學(xué)運算所得到的式子稱為解析表達(dá)式.用解析表達(dá)式表達(dá)一個函數(shù)就稱為函數(shù)的解析法，解析法也叫公式法.高等數(shù)學(xué)中討論的函數(shù)大多由解析法表示，這是由于對解析表達(dá)式可以進(jìn)行各種運算，便于研究函數(shù)的性質(zhì).這里有一點必須指出：用解析法表示函數(shù)不一定總是用一個式子表示，也可以分段用幾個式子表示一個函數(shù).另外，有些特殊函數(shù)并不是用解析式給出的，其對應(yīng)關(guān)系是用“一句話”給出的，用約定的符號予以表示.
例1.8 函數(shù)y＝［x］＝n（n≤x＜n+1，n為整數(shù)）稱為取整函數(shù).例如，若x＝
1.5，則［x］＝1；若x＝57 ，則［x］＝0；若x＝-1.5，則［x］＝-2；若x＝π，則［x］＝3.也
就是說，若x為任意一實數(shù)，則不超過x的最大整數(shù)簡稱為x的最大整數(shù)，記為［x］.這一函數(shù)的圖像是“階梯”形，如圖1.11所示.■例1.9 分段函數(shù)x， x≥0，
y＝f（x）＝｜x｜＝
x，x＜0的定義域為D＝（-∞，+∞），值域為W＝［0，+∞），其圖像如圖1.12所示.■
圖1.12
例1.10 函數(shù)1， x＞0，y＝f（x）＝sgnx＝
0，x＝0，-1，x＜0稱為符號函數(shù)，它的定義域為D＝（-∞，+∞），值域為W＝
1 ，0 ，1
，其圖像如
圖1.13所示.
對于任何實數(shù)x，關(guān)系式x＝｜x｜sgnx總成立.■
2） 表格法
在實際應(yīng)用中，常把自變量所取的值和對應(yīng)的函數(shù)值列成表，用來表示函數(shù)關(guān)系，這樣的表示法稱為表格法.
3） 圖示法
在有的問題中，很難找到一個解析函數(shù)表達(dá)式來準(zhǔn)確地表示兩個變量之間的關(guān)系.有時，雖然可以用解析表達(dá)式表示函數(shù)，但是為了使變量之間的對應(yīng)關(guān)系更直觀形象，常把兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系用某條曲線表示出來，這種方法稱為圖示法.
函數(shù)的上述三種表示法各有優(yōu)缺點，在具體應(yīng)用時，常常是三種方法配合使用.
3.函數(shù)的幾種特性
1） 函數(shù)的有界性
定義1.3 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，數(shù)集X炒D，如果存在K1（或K2），使得f（x）≤K1（或f（x）≥K2）對任意一x∈X都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有上（或下）界，其中K1（或K2）稱為函數(shù)f（x）在X上的一個上（或下）界.如果存在正數(shù)M，使得
f（x）
≤M對任意一x∈X都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有界.如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f（x）在X上無界.例1.11 正弦函數(shù)y＝sinx和余弦函數(shù)y＝cosx為（-∞，+∞）上的有界函數(shù)，因為對每一個x∈（-∞，+∞）都有｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1.■
例1.12 函數(shù)y＝f（x）＝1 x 在開區(qū)間（0，1）內(nèi)無上界，但有下界，如1就是它的一
個下界，但當(dāng)1＜x＜2時總會有12＜ 1 x ＜1，故函數(shù)f（x）＝1 x 在開區(qū)間（1，2）內(nèi)有界.
■2）函數(shù)的單調(diào)性定義1.4 設(shè)有函數(shù)y＝f（x）（x∈D），區(qū)間I炒D，如果對于I上的任意兩點x1，
x2當(dāng)x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），則稱f（x）在區(qū)間I上為嚴(yán)格單調(diào)，增加（或減少）的.如果對于I上的任意x1＜x2，恒有f（x1）≤f（x2）或（f（x1）≥f（x2）），則稱f（x）在區(qū)間I上為單調(diào)增加（或減少）的.嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).
例1.13 函數(shù)y＝f（x）＝x2 在（0，+∞）上是嚴(yán)
格單調(diào)增加的，在（-∞，0）上是嚴(yán)格單調(diào)減少的，在
（-∞，+∞）內(nèi)不是單調(diào)的（圖1.14）. ■圖1.14例1.14 證明函數(shù)f（x）＝x3 在（-∞，+∞）內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的（圖1.15）.證 設(shè)x1，x2為（-∞，+∞）內(nèi)的任意兩點，當(dāng)x1＜x2時，只需證明f（x1）＝x31＜
x32＝f（x2），即證明x31-x32＜0.事實上，x31-x32＝（x1-x2）（x21+x1x2+x22），而當(dāng)x1＜x2時，x1-x2＜0，
x21+x1x2+x22＝x1+12 x22+ 34 x22＞0 ，
故x31-x32＜0，即x31＜ x32.
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