這本《流形上的分析》由謝孔彬、謝云鵬譯，是根據(jù)J.R.曼克勒斯先生所著的Analysis on Manifolds一書譯出。原書稟承了作者一貫的寫作風格，論述精辟，深入淺出。主要內(nèi)容包括：第一章復習并擴充了全書所需要的代數(shù)與拓撲知識；第二至四章系統(tǒng)論述了n維歐氏空間中的多元微積分，這是對普通數(shù)學分析的推廣與提高，也是為流形上的分析做準備；第五至八章系統(tǒng)論述流形上的分析，其中包括一般Stokes定理和de Rham上同調(diào)等內(nèi)容。此外，為便于初學者理解與接受，本書采用將流形嵌入高維歐氏空間中的觀點講述，故而又在第九章給出了抽象流形的概念并簡要介紹了一般可微流形和Riemann流形。 《流形上的分析》可作為數(shù)學專業(yè)的研究生和高年級本科生的教材或參考書，也可供物理及某些工科專業(yè)的研究生、青年教師和有關(guān)工程技術(shù)人員參考。
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本書根據(jù)J.R.曼克勒斯先生所著的Analysis on Manifolds一書譯出。原書稟承了作者一貫的寫作風格，論述精辟，深入淺出。主要內(nèi)容包括：第一章復習并擴充了全書所需要的代數(shù)與拓撲知識；第二至四章系統(tǒng)論述了n維歐氏空間中的多元微積分，這是對普通數(shù)學分析的推廣與提高，也是為流形上的分析做準備；第五至八章系統(tǒng)論述流形上的分析，其中包括一般Stokes定理和de Rham上同調(diào)等內(nèi)容。此外，為便于初學者理解與接受，本書采用將流形嵌入高維歐氏空間中的觀點講述，故而又在第九章 給出了抽象流形的概念并簡要介紹了一般可微流形和Riemann流形。
本書可作為數(shù)學專業(yè)的研究生和高年級本科生的教材或參考書，也可供物理及某些工科專業(yè)的研究生、青年教師和有關(guān)工程技術(shù)人員參考。
目錄
譯者的話
前言
第一章 Rn的代數(shù)和拓撲 1
1. 線性代數(shù)回顧 1
2. 矩陣的逆與行列式 9
3. Rn的拓撲回顧 21
4. Rn的緊子空間和連通子空間 27
第二章 微分 34
5. 導數(shù) 34
6. 連續(xù)可微函數(shù) 41
7. 鏈規(guī)則 46
8. 反函數(shù)定理 53
9. 隱函數(shù)定理 60
第三章 積分 68
10. 矩形上的積分 68
11. 積分的存在性 76
12. 積分的計算 82
13. 有界集上的積分 87
14. 可求積的集合 94
15. 非正常積分 102
第四章 變量替換 113
16. 單位分解 113
17. 變量替換定理 120
18. Rn中的微分同胚 126
19. 變量替換定理的證明 134
20. 變量替換的應(yīng)用 141
第五章 流形 148
21. k維平行六面體的體積 148
22. 參數(shù)化流形的體積 155
23. Rn中的流形 162
24. 流形的邊界 167
25. 流形上標量函數(shù)的積分 173
第六章 微分形式 181
26. 多重線性代數(shù) 181
27. 交錯張量 187
28. 模積 196
29. 切向量和微分形式 202
30. 微分算子 209
31. 對向量場和標量場的應(yīng)用 217
32. 可微映射的作用 221
第七章 Stokes定理 227
33. 參數(shù)流形上的形式的積分 227
34. 可定向流形 231
35. 定向流形上形式的積分 242
36. 形式和積分的幾何解釋 245
37. 廣義Stokes定理 248
38. 對向量分析的應(yīng)用 255
第八章 閉形式和恰當形式 267
39. Poincare引理 267
40. 有孔Euclid空間的de Rham群 275
第九章 尾聲——Rn之外的世界 285
41. 可微流形和Riemann流形 296
參考文獻 296
索引 297
第一章Rn 的代數(shù)和拓撲
x1. 線性代數(shù)回顧
一、向量空間
假設(shè)已經(jīng)給定了一個稱作向量的研究對象的集合V , 并且給定了一個稱作向
量加法的運算, 使得向量x 和y 的和是一個向量, 記為x + y. 還假設(shè)給定了一個
稱為數(shù)乘的運算使得標量(例如實數(shù))c 與向量x 的積是一個向量, 記為cx.
集合V 連同這兩種運算, 若對所有向量x; y; z 與標量c; d, 滿足下列性質(zhì), 則
稱之為一個向量空間(或線性空間)：
(1) x + y = y + x.
(2) x + (y + z) = (x + y) + z.
(3) 有唯一的一個向量0 使得x + 0 = x 對所有向量x 成立.
(4) x + (?1)x = 0.
(5) 1x = x.
(6) c(dx) = (cd)x.
(7) (c + d)x = cx + dx.
(8) c(x + y) = cx + cy.
向量空間的一個例子是所有實數(shù)n 元組的集合Rn 連同按分量的加法和數(shù)乘,
即如果x = (x1; … ; xn) 且y = (y1; … ; yn), 那么
x + y = (x1 + y1; … ; xn + yn);
cx = (cx1; … ; cxn):
向量空間的性質(zhì)容易驗證.
設(shè)V 是一個向量空間, W 是V 的一個子集, 若對W 的每一對元素x, y 和每
一個稱量c, 向量x+y 和cx 的屬于W, 則稱W 是V 的一個線性子空間(簡稱子
空間). 在這種情況下, 若用W 從V 繼承的運算, 則W 自身也滿足性質(zhì)(1)|(8),
因而W 本身也是一個向量空間.
在本書的前半部分, Rn 及其子空間是我們唯一關(guān)心的向量空間. 在后面的各
章中我們將論述更一般的向量空間.
令V 是一個向量空間, 對于V 中的一組向量a1; … ; am, 如果V 中的每個向
量x 都至少對應(yīng)一組標量c1; … ; cm, 使得
x = c1a1 + … + cmam;
則稱V 由向量組a1; … ; am 張成. 在這種情況下, 我們說x 可以寫成向量組
a1; … ; am 的線性組合.
如果V 中的每個向量x 都至多對應(yīng)一組標量c1; … ; cm, 使得
x = c1a1 + … + cmam;
則稱向量組a1; … ; am 是線性無關(guān)的(或稱獨立的). 等價地, 若零向量0 只對應(yīng)
一組標量d1; … ; dm, 使得
0 = d1a1 + … + dmam;
即d1 = d2 = … = dm = 0, 則fa1; … ; amg 是線性無關(guān)的.
如果向量組a1; … ; am 既能張成V 又是線性無關(guān)的, 則稱它是V 的一個基.
對此我們有下列結(jié)果：
定理1.1 設(shè)V 的基由m 個向量組成, 那么張成V 的任何向量組至少有m
個向量, 而V 的任何線性無關(guān)的向量組至多有m 個向量. 特別, V 的任何基恰有
m 個向量. ¤
如果V 的基恰有m 個向量組成, 則稱V 的維數(shù)是m. 我們約定僅由零向量
組成的向量空間的維數(shù)是零.
容易看出Rn 的維數(shù)是n. 下列向量組稱為Rn 的標準基：
e1 = (1; 0; 0; … ; 0);
e2 = (0; 1; 0; … ; 0);
… …
en = (0; 0; 0; … ; 1):
向量空間Rn 還有許多其他基, 但是Rn 的任何基必定恰好由n 個向量組成.
可以把張成、線性無關(guān)以及基的定義擴展到允許對無窮向量集來定義. 那么向
量空間可能具有無窮基(參看習題). 然而我們并不涉及這種情況.
因為Rn 具有有限的基, 所以它的每一個子空間也有有限基. 這個事實是下列
定理的推論.
定理1.2 令V 是一個m 維向量空間. 如果W 是V 的一個(不同于V 的)
線性子空間, 那么W 的維數(shù)小于m, 而且W 的任何一個基a1; … ; ak 均能擴張
成V 的一個基a1; … ; ak; ak+1; … ; am. ¤
二、內(nèi)積
如果V 是一個向量空間, 那么V 上的內(nèi)積是這樣一個函數(shù), 它對V 的每一對
向量x; y 指派一個實數(shù), 記為hx; yi, 并且使得下列性質(zhì)對V 中的所有向量x; y; z
和所有標量c 成立：
(1) hx; yi = hy; xi.
(2) hx + y; zi = hx; zi + hy; zi.
(3) hcx; yi = chx; yi = hx; cyi.
(4) 若x 6= 0; 則hx; xi > 0.
一個向量空間V 連同V 上的一個內(nèi)積稱為一個內(nèi)積空間.
一個給定的向量空間可以有許多不同的內(nèi)積. Rn 上的一個特別有用的內(nèi)積定
義如下：若x = (x1; … ; xn); y = (y1; … ; yn), 則定義
hx; yi = x1y1 + … + xnyn:
容易驗證它具有內(nèi)積的性質(zhì). 這將是Rn 中通常使用的內(nèi)積, 有時稱之為點乘積,
將它記為hx; yi 而不記作x ￠ y 是為了避免與不久將要定義的矩陣乘積相混淆.
如果V 是一個內(nèi)積空間, 那么將V 中向量x 的長度(或模) 定義為
kxk = hx; xi1=2:
模函數(shù)具有下列性質(zhì)：
(1) 若x 6= 0, 則kxk > 0.
(2) kcxk = jcjkxk.
(3) kx + yk 6 kxk + kyk.
其中第三個性質(zhì)是唯一需要付出一些努力才能證明的, 一般稱之為三角形不等式
(參看習題). 人們發(fā)現(xiàn), 這個不等式的一種等價形式常常是有用的, 這就是不等式
(30)kx ? yk > kxk ? kyk.
從V 到實數(shù)集R 的任何滿足上列性質(zhì)(1)|(3) 的函數(shù)都稱作V 上的范數(shù).
從內(nèi)積導出的長度函數(shù)就是范數(shù)的一個例子. 但也確實有些范數(shù)不是從內(nèi)積導出
的. 例如在Rn 上不僅有熟知的從點乘積導出的范數(shù), 稱為Euclid 范數(shù), 而且還有
上確界范數(shù), 其定義為
jxj = maxfjx1j; … ; jxnjg:
確界范數(shù)常常比Euclid 范數(shù)用起來更方便. 我們指出Rn 上的這兩種范數(shù)滿足下
列不等式
jxj 6 kxk 6 pnjxj:
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