《折紙與數(shù)學》使用文字語言、符號語言和圖形語言相結合的方式介紹了折紙幾何學的7個基本公理，并通過舉例說明了折紙基本公理的操作過程，給出了折紙操作的基本性質。用A4紙和正方形紙，使用統(tǒng)一的折紙操作語言，按照“折一折”、“想一想”、“做一做”結構，給出了平面基本圖形的折疊方法，討論了2長方形、3長方形和黃金長方形的折疊過程及相關的數(shù)學問題。通過將平面基本圖形折疊成一個無縫無重疊的長方形，討論了多邊形的面積公式。利用折紙基本公理對平面基本圖形進行分解與合成，探索了分數(shù)運算的算理，給出了一次、二次和三次方程解的折疊方法。
《折紙與數(shù)學》還從數(shù)學課堂教學原理和數(shù)學課堂教學藝術的角度出發(fā)，結合中小學數(shù)學課程對“數(shù)學活動”的基本要求，以中小學數(shù)學教材為范本，按照“折一折、想一想、做一做”的教學模式給出了“垂線的教學設計”、“平行線的教學設計”、“等腰三角形性質的教學設計”等7個具體的數(shù)學教學設計案例。最后，從近幾年中國各地的中考數(shù)學試題中精選了16道與折紙有關的題目，應用折紙的基本公理，對題目的折紙操作方法進行了解析，并應用折紙基本性質對題目的解答過程進行了分析。
《折紙與數(shù)學》適合中、小學數(shù)學教師、學生、數(shù)學愛好者、折紙愛好者、數(shù)學教育研究者閱讀參考。
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《折紙與數(shù)學》是一本書學折紙活動的操作指南書，研究折紙與數(shù)學教學的基礎《折紙與數(shù)學》是一本書學折紙活動的操作指南書，研究折紙與數(shù)學教學的基礎
黃燕蘋女，1961年5月生，教育學博士，現(xiàn)任西南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院教授、數(shù)學認知研究所所長。1983年7月西南師范學院數(shù)學系本科畢業(yè)，1994年3月日本大阪大學工學部碩士研究生畢業(yè)，2007年12月西南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院博士研究生畢業(yè)�，F(xiàn)主要從事折紙與數(shù)學認知思維、少數(shù)民族數(shù)學教育、教師教育等研究，主講《數(shù)學教育學概論》、《數(shù)學教學設計》等本科課程和《數(shù)學教育研究方法概論》、《數(shù)學課程與教材分析》等研究生課程。
李秉彝男，1938年12月生，現(xiàn)任教于新加坡南洋理工大學國立教育學院。1959年12月新加坡南洋大學第一屆畢業(yè)生，1965年9月英國北愛爾蘭女皇大學博士研究生畢業(yè)，1971年回返新加坡任教至今。曾任國立教育學院數(shù)學與數(shù)學教育系主任，國際數(shù)學教育委員會副主席，東南亞數(shù)學學會會長等職。專長實分析和序列空間理論，已出版中英文專著數(shù)部，培養(yǎng)博士研究生20余人。
目錄
前言
第1章 折紙的基本理論 1
1.1 兩點折線 1
1.2 兩點對折 4
1.3 兩錢對折 7
1.4 過點對折 9
1.5 點折到錢 12
1.6 雙點到錢 13
1.7 點錢線點 17
第2章 平面基本圓形折紙 20
2.1 2長方形 20
2.2 3長方形 23
2.3 黃金長方形 25
2.4 等腰三角形 30
2.5 等邊三角形 33
2.6 直角三角形 35
2.7 平行四邊形 38
第3章 長方形與多邊形面積 44
3.1 正方形折二重長方形 44
3.2 長方形折二重長方形 48
3.3 三角形的面積 52
3.4 梯形的面積 53
3.5 平行四邊形的面積 55
3.6 風箏的面積 58
第4章 析紙與分數(shù) 61
4.1 1/2分解61
4.2 1/4和1/8分解 65
4.3 折1/3和1/n分解 69
4.4 異分母分數(shù)加減法 73
4.5 面積比 79
附錄 83
第5章 聽紙與方程 84
5.1 一次方程 84
5.2 平方根 89
5.3 二次方程 93
5.4 立方根 96
5.5 三次方程 99
第6章 折紙活動課教學設計 105
6.1 垂線的教學設計 105
6.2 平行線的教學設計 110
6.3 等腰三角形性質的教學設計 115
6.4 三角形中位線定理的教學設計 119
6.5 含30°的直角三角形性質的教學設計 125
6.6 發(fā)現(xiàn)勾股定理的教學設計 129
6.7 發(fā)現(xiàn)角平分線性質的教學設計 136
第7章 中考題中的折紙問題解析 140
參考文獻 163
本章討論了折紙操作的7個公理及其性質,是全書折紙操作的基礎.前6個公理分別是由JustinJacques在1989年和HumiakiHuzita在1991年提出的[1,2],我們在此6個公理的基礎上給出了折紙操作的第7公理及其性質.前5個折紙公理的結果都能用歐氏幾何尺規(guī)作圖完成,第6和第7公理是折紙幾何學所特有的操作,其最大的特點是翻折“紙―平面”的時候借用了三維空間.本章中,前5個折紙公理的應用舉例,全部選用歐氏幾何的相關問題,作為第5公理的應用,例舉了經過兩次折疊三等分直角的方法,即得到含30.的直角三角形的操作過程,而作為第6公理的應用,則介紹了阿部恒在1980年發(fā)表的三等分任意銳角和解倍立方問題的折紙方法[3],我們用第7公理描述了芳賀和夫關于三等分線段的第三定理的折紙步驟[4].
1.1兩點折線
歐幾里得《幾何原本》的第1公設：“任意一點到另外任意一點可以畫直線”,在折紙幾何中這一公設仍然成立.
折一折
操作1過長方形ABCD的A,C兩點折疊,折痕AC即為長方形ABCD的對角線AC,如圖1-1所示.
公理1(兩點折線)
圖1-1A.C
設P1,P2為已知兩點,則過P1,P2能折且只能折一條直線.我們將過P1,P2折疊的操作用記號
P1.P2表示,如圖1-2所示.
想一想
在長方形紙ABCD的BC邊上取一點E,過D,E兩點折疊,折痕為DE,點C的落點為F.
圖1-3D.E
因為折疊以后點C的落點是F,.CDE與.DEF重合,有EF=CE,DF=CD,DE=DE,且∠CED=∠FED,∠DFE=∠DCE,∠EDF=∠EDC,也即.CDE的三條邊和三個角與.DEF相對應的三條邊和三個角分別相等,因而可以說.CDE≌.DEF.
這里,將折疊以后重合的兩點稱為對應點.關于對應點有下列性質成立.
性質1-1過已知兩點折疊,一對對應點分別與已知兩點構成的兩個三角形全等.
2
如圖
1-4,過點P1,P2折疊,點P的對應點為
P.,則.P1PP2≌.P1P.P2.
性質1-2如圖1-5,過點P1,P2折疊,設P的對應點為Q,M的對應點為N,則四邊形P1MPP2與四邊形P1NQP2全等.
事實上,在圖1-5中,過點P1,P2折疊后,四邊形P1MPP2與四邊形P1NQP2重合,即四邊形P1MPP2的四條邊與四個角分別與四邊形P1NQP2所對應的四條邊與四個角相等,也就是說四邊形P1MPP2與四邊形P1NQP2全等.
做一做
1)怎樣將長方形紙分解為四個形狀和大小都相同的直角三角形.
圖1-4圖1-5
操作2設E,F分別是長方形ABCD的邊AD和BC上的中點,利用公理1,分別過E,F兩點,A,F兩點和D,F兩點折疊,可將長方形ABCD分成四個全等的直角三角形,如圖1-6所示.
2)如何在面積為1的正方形ABCD中折面積為15的正方形.
操作3如圖1-7所示,設E,F,G,H分別是正方形ABCD各邊上的中點,分別過A,G兩點,B,H兩點,C,E兩點,D,F兩點折疊(公理1),則折痕所圍成
的四邊形MNPQ為面積為51的正方形.
由.ABH≌.ADG(兩邊及夾角對應相等),有∠ABH=∠DAG,而∠BAM+∠DAG=90.,所以∠BAM+∠ABM=90.,即AG⊥BH.同理可以證明每兩條折痕相互垂直,由此可得.ADQ≌.ABM≌.CBN≌.CDP,因此,AQ=BM=CN=DP.又因為E,F,G,H分別是正方形ABCD各邊上的中點,所以M,N,P,Q分別是AQ,BM,CN,DP的中點,因此四邊形MNPQ是正方形.容易
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