第1 章 緒論

1.1 研究背景

在自然界、人類(lèi)社會(huì)的生產(chǎn)生活和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域(如生物學(xué)、物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、控制理論等) 中，許多動(dòng)態(tài)系統(tǒng)具有下列特點(diǎn)：在某些時(shí)刻系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生突然改變，并且這些突然改變所經(jīng)歷的時(shí)間相對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間而言是非常短暫的、可忽略不計(jì)的. 因而，這種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生的突然改變可以看成瞬時(shí)發(fā)生的， 也就是以脈沖的形式出現(xiàn). 這種現(xiàn)象就稱(chēng)為所謂的“脈沖”現(xiàn)象，其發(fā)生突變的瞬間稱(chēng)為脈沖時(shí)刻， 具有脈沖變化現(xiàn)象的系統(tǒng)稱(chēng)為脈沖系統(tǒng). 常見(jiàn)的脈沖系統(tǒng)中，一些具體的脈沖變化形式有：“魚(yú)群生態(tài)系統(tǒng)的定時(shí)捕撈或補(bǔ)給”影響各種魚(yú)群的數(shù)量的突然改變、“電路系統(tǒng)中開(kāi)關(guān)的斷開(kāi)或閉合”會(huì)引起系統(tǒng)中電流的突然改變、“藥劑的注射”導(dǎo)致生物體內(nèi)病菌數(shù)量的突然變化、“國(guó)家調(diào)控政策的實(shí)施或國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)環(huán)境的改變”使得股票價(jià)格表現(xiàn)出的突變式的漲或跌等.對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng)的研究， 如果仍然采用通常的無(wú)脈沖的微分方程來(lái)描述系統(tǒng)模型就不夠合理， 因而利用具有脈沖作用的微分方程(或差分方程)來(lái)刻畫(huà)其系統(tǒng)模型是比較理想的選擇， 它能更真實(shí)地刻畫(huà)和反映這些運(yùn)動(dòng)過(guò)程.

脈沖能引起系統(tǒng)狀態(tài)的突然變化. 正因?yàn)槿绱耍?在生態(tài)學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、金融、化工、通信等各個(gè)領(lǐng)域的系統(tǒng)研究中，脈沖有著廣泛的應(yīng)用. 人們根據(jù)自身的需求，設(shè)計(jì)出脈沖控制使系統(tǒng)具有所期望的穩(wěn)定性， 即制造合適的脈沖使之對(duì)于系統(tǒng)起到積極作用.例如通過(guò)定時(shí)捕撈或補(bǔ)給可以控制魚(yú)群的生態(tài)平衡， 通過(guò)某些開(kāi)關(guān)的斷開(kāi)或閉合可以控制電路中電流的大小，通過(guò)國(guó)家調(diào)控政策的實(shí)施使得資本市場(chǎng)保持積極穩(wěn)定的狀態(tài)等. 脈沖控制是基于脈沖微分方程的控制方法.

一般來(lái)說(shuō)， 研究脈沖微分方程是以無(wú)脈沖微分方程的方法為依據(jù)， 并克服由于脈沖所引起的困難. 因此，對(duì)于脈沖微分方程的研究無(wú)疑要比研究相應(yīng)的無(wú)脈沖微分方程復(fù)雜得很多. 脈沖的作用表現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型上，就是適當(dāng)?shù)拿}沖能使不穩(wěn)定的系統(tǒng)變得穩(wěn)定， 使無(wú)界的解變得有界等“積極”作用. 當(dāng)然， 不恰當(dāng)?shù)拿}沖能使穩(wěn)定的系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，起到相反的作用， 它符合任何事物都存在兩面性的自然規(guī)律，這也正是脈沖控制的意義和目的所在.

時(shí)滯是自然界中廣泛存在的一種現(xiàn)象. 例如， 帶式運(yùn)輸機(jī)中物料傳輸?shù)难舆t， 衛(wèi)星通訊中信號(hào)傳遞的延遲，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中數(shù)據(jù)傳送的延遲等都是典型的時(shí)滯現(xiàn)象. 時(shí)滯是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定， 導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生不良性能的主要因素之一，因此研究具有時(shí)滯的脈沖系統(tǒng)是十分有必要的.

在控制系統(tǒng)中， 狀態(tài)變化的規(guī)律性的直觀表現(xiàn)在于系統(tǒng)的周期解的存在性、唯一性及其穩(wěn)定性等特性. 在現(xiàn)實(shí)生活中，有不少非線性系統(tǒng)可以由周期的脈沖系統(tǒng)來(lái)描述. 例如， 滿足一定環(huán)境條件下生物種群的捕獲系統(tǒng)， 往復(fù)運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)等.

一般的， 系統(tǒng)的研究對(duì)象分為確定性現(xiàn)象和不確定現(xiàn)象(隨機(jī)現(xiàn)象). 確定性現(xiàn)象是指對(duì)所關(guān)注的對(duì)象的結(jié)果能夠預(yù)先確定的現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象則是指對(duì)所關(guān)注的對(duì)象的結(jié)果不能預(yù)先確定的現(xiàn)象. 它們都大量存在于自然界和人類(lèi)社會(huì)當(dāng)中，因而研究隨機(jī)脈沖系統(tǒng)是十分必要的.

Stefan Hilger 在1988 年的一篇博士論文中開(kāi)始了對(duì)一般時(shí)間尺度的理論研究，隨后該理論發(fā)展迅速. 2001年專(zhuān)著Dynamic Equations on Time Scales: An Intro-duction withApplications的發(fā)表標(biāo)志著一般時(shí)間尺度理論達(dá)到了一個(gè)高峰. 這個(gè)理論的初衷就是要統(tǒng)一連續(xù)和離散的情況，以往對(duì)于這兩種情況不得不分開(kāi)分析. 由于一般時(shí)間尺度的統(tǒng)一性，一般時(shí)間尺度上脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究無(wú)疑對(duì)整個(gè)學(xué)科的發(fā)展具有重要的理論價(jià)值和應(yīng)用前景.

由于計(jì)算機(jī)容量的快速增長(zhǎng)和微電子技術(shù)的不斷進(jìn)步，吸引系統(tǒng)分析與建模工作者、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)者盡可能采用數(shù)字計(jì)算機(jī)或微處理裝置解決他們希望解決的問(wèn)題.而利用計(jì)算機(jī)或微處理裝置對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制或?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行模擬、分析或控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)， 必須將時(shí)間變量考慮為離散變量.因此要將所研究的系統(tǒng)考慮為離散系統(tǒng). 由于上述原因， 自20 世紀(jì)50 年代以來(lái)，離散控制系統(tǒng)的理論研究與實(shí)際應(yīng)用工作逐漸受到控制理論界的廣泛重視， 取得了很大成就，使離散控制系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)成為控制理論的一個(gè)重要組成部分.

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展， 人們著眼的系統(tǒng)規(guī)模也越來(lái)越大， 隨機(jī)現(xiàn)象越來(lái)越復(fù)雜. 以往的理論體系已難以適用于這些新的問(wèn)題，導(dǎo)致脈沖系統(tǒng)研究同時(shí)包含離散事件過(guò)程和連續(xù)變量過(guò)程的混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的需要. 目前，混雜系統(tǒng)研究給控制理論及系統(tǒng)工程的研究帶來(lái)了新的機(jī)遇和挑戰(zhàn). 其中切換系統(tǒng)和脈沖系統(tǒng)是兩類(lèi)典型的混雜系統(tǒng)，吸引著大量來(lái)自于應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域的科學(xué)家的興趣.

本書(shū)的內(nèi)容安排如下：

在本書(shū)的第1 章簡(jiǎn)要介紹一下脈沖系統(tǒng)研究的背景意義及一些本書(shū)中常用的記號(hào)、定義和引理.

第2 章研究脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

第2.1 節(jié)給出一般時(shí)間尺度上脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、一致Lipschitz穩(wěn)定性的判據(jù).

第2.2 節(jié)介紹線性脈沖系統(tǒng)和線性時(shí)變奇異脈沖系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性.第3 章研究時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

第3.1 節(jié)給出時(shí)滯脈沖線性系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性判據(jù)， 在脈沖點(diǎn)狀態(tài)變量與時(shí)滯有關(guān)的時(shí)滯脈沖線性系統(tǒng)一致穩(wěn)定的判據(jù).

第3.2 節(jié)研究脈沖泛函微分方程的穩(wěn)定性. 給出脈沖泛函微分方程嚴(yán)格穩(wěn)定的判據(jù)，并給出在脈沖點(diǎn)狀態(tài)變量與時(shí)滯有關(guān)的這類(lèi)方程一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和實(shí)用穩(wěn)定的判據(jù).

第3.3 節(jié)研究一般時(shí)間尺度上時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性.給出一般時(shí)間尺度上時(shí)滯脈沖系統(tǒng)一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定以及不穩(wěn)定的判據(jù)；并給出雙測(cè)度下一般時(shí)間尺度上時(shí)滯脈沖系統(tǒng)一致穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的判據(jù).

第4 章研究脈沖系統(tǒng)的可控性、可觀性.

第4.1 節(jié)給出分片線性時(shí)變脈沖系統(tǒng)的可控性、可觀性分析.

第4.2 節(jié)介紹復(fù)數(shù)域上脈沖系統(tǒng)的可達(dá)性、可觀性分析.

第4.3 節(jié)研究線性和線性時(shí)變切換脈沖系統(tǒng)的可控性、可觀性.

第5 章研究脈沖系統(tǒng)的邊值問(wèn)題和周期解.

第5.1 節(jié)研究一階脈沖微分方程的非線性邊值問(wèn)題.

第5.2 節(jié)研究一階脈沖泛函微分方程的非線性邊值問(wèn)題.

第5.3 節(jié)介紹脈沖控制系統(tǒng)的平穩(wěn)振蕩.

第5.4 節(jié)給出一類(lèi)變時(shí)刻單種群捕獲系統(tǒng)的周期解.

第6 章研究隨機(jī)脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定與控制問(wèn)題.

第6.1 節(jié)介紹隨機(jī)脈沖開(kāi)關(guān)系統(tǒng)的p 階穩(wěn)定性及一類(lèi)線性隨機(jī)脈沖滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

第6.2 節(jié)研究隨機(jī)脈沖系統(tǒng)的H1 濾波. 研究一類(lèi)帶脈沖效應(yīng)的隨機(jī)Marko-vian 切換系統(tǒng)H1濾波問(wèn)題以及一類(lèi)不確定隨機(jī)脈沖系統(tǒng)的魯棒H1 濾波.

第6.3 節(jié)研究隨機(jī)脈沖系統(tǒng)的鎮(zhèn)定與控制問(wèn)題. 具體地， (1) 討論一類(lèi)帶脈沖效應(yīng)和Markovian切換的不確定隨機(jī)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性， 設(shè)計(jì)了線性輸出反饋控制器使系統(tǒng)魯棒隨機(jī)穩(wěn)定， 并提出了計(jì)算線性輸出反饋控制器的增益的方法；(2)研究一類(lèi)帶Markovian 切換的不確定隨機(jī)脈沖系統(tǒng)的保成本控制問(wèn)題；(3) 探討一類(lèi)帶脈沖效應(yīng)的隨機(jī)非線性系統(tǒng)的H1 鎮(zhèn)定問(wèn)題，給出系統(tǒng)的線性狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)方法；(4) 討論一類(lèi)隨機(jī)非線性Markovian 切換系統(tǒng)的混雜控制問(wèn)題，首先給出了系統(tǒng)在脈沖控制下的鎮(zhèn)定條件， 并在脈沖控制下， 設(shè)計(jì)系統(tǒng)的線性輸出反饋控制器.

第7 章研究離散脈沖系統(tǒng)的控制問(wèn)題.

第7.1 節(jié)討論離散脈沖線性系統(tǒng)的H1 濾波和H1 輸出反饋鎮(zhèn)定. 分別研究了離散線性脈沖系統(tǒng)的H1 輸出反饋鎮(zhèn)定.一類(lèi)離散脈沖不確定系統(tǒng)的H1 濾波器設(shè)計(jì)以及分片離散脈沖系統(tǒng)的濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題.

第7.2 節(jié)給出離散脈沖時(shí)滯線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題.

1.2 記號(hào)

第2 章 脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論

2.1 一般時(shí)間尺度上脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論首先給出一般時(shí)間尺度上脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論的一些基本概念.這些概念主要來(lái)自文獻(xiàn)[8]，[68].

設(shè)T 是一般時(shí)間尺度(一種非空的閉的實(shí)數(shù)集) 滿足有最小元素t0 > 0， 沒(méi)有最大元素.