證明不是為了讓你相信某些事物是正確的，而是向你展示它為什么是正確的。
—— Andrew Gleason
一個(gè)好的證明可以使我們更聰明。
——Yu．I．Manin
許多工作都是在為那些已經(jīng)有了證明方法的定理尋找新的證明方法，而這僅僅是因?yàn)楝F(xiàn)存的方法不夠美觀。許多數(shù)學(xué)的證明方法僅是讓人信服，借用著名的數(shù)學(xué)物理學(xué)家Lord Rayleigh的名言，“他們迫使大家同意這些證明方法”。但其實(shí)還有許多其他優(yōu)美和充滿智慧的證明方法。“它們讓人們欣喜并情不自禁構(gòu)就蘊(yùn)含在這首詩里面。
——Morris Kline
什么是“無需語言的證明呢？”正如你將要從這套叢書的第2季上看到的，這個(gè)問題并沒有一個(gè)簡單明了的答案（叢書的第1季，Proofswithout words：Exercises in Visual Thinking，已經(jīng)在1993由美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)出版，中文版《數(shù)學(xué)寫真集（第1季）——無需語言的證明》由機(jī)械工業(yè)出版社出版）。一般地，無需語言的證明（PWWs）就是用一些圖和圖表來幫助讀者了解為什么一個(gè)具體的數(shù)學(xué)命題是正確的，同時(shí)也讓讀者了解怎樣去證明它是正確的。有些時(shí)候在整個(gè)證明過程中會(huì)配有一兩個(gè)等式來引導(dǎo)讀者。然而，關(guān)鍵之處是所提供的可視化思維能夠激發(fā)讀者的數(shù)學(xué)思想。
在由美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)出版的期刊中Pwws是王牌欄目。Pwws首先是出現(xiàn)在約1975年的《數(shù)學(xué)雜志》上，十年后又出現(xiàn)在《數(shù)學(xué)�？飞�。 但無需語言的證明并不是最近的創(chuàng)新，它們已經(jīng)有很長一段歷史了。在本書中你會(huì)發(fā)現(xiàn)PWWs的許多現(xiàn)代思想來自于古代中國、10世紀(jì)的阿拉伯和文藝復(fù)興時(shí)期的意大利。PWWs現(xiàn)在也會(huì)出現(xiàn)在其他的雜志和期刊里，包括美國以及海外出版的雜志，甚至還會(huì)出現(xiàn)在互聯(lián)網(wǎng)上。
當(dāng)然，有些人就認(rèn)為PWWs并不是真正的“證明” （其實(shí)它們并不是“無需語言的，”因?yàn)榈仁蕉紩?huì)配有一個(gè)PWW）。在James Rober Brown最近的《數(shù)學(xué)哲學(xué)：有關(guān)證明與圖形世界的介紹》（1999年倫敦勞特利奇出版社）一書中有記載：
“數(shù)學(xué)家，就像我們中的一些人，會(huì)珍惜聰明的想法；特別地，他們會(huì)因?yàn)橐粋�(gè)巧妙的圖形而高興。但這種欣賞并不會(huì)淹沒一個(gè)普遍的懷疑。畢竟，一個(gè)圖表（當(dāng)然是最好的情況下）僅僅只是一種特殊情況，所以并不能建立一個(gè)一般的定理。更糟糕的是，它也許會(huì)成為一個(gè)徹底的誤導(dǎo)。即使不是很普遍，但一般的觀點(diǎn)就是圖畫確實(shí)沒有啟發(fā)式教育的受益多；它們在心理暗示方面和在教學(xué)方法上是很重要的，但是卻沒有證出任何結(jié)論。我要反對這種觀點(diǎn)并且要說明圖畫在證明過程中真的有起到一個(gè)有效的作用——是一個(gè)比啟發(fā)式教育還要好很多的角色。簡而言之，圖形能夠證明定理�！�
在PWWs的第1季的前言中，我建議老師能將PWWs介紹給學(xué)生們。第1季書的一些讀者向我咨詢，PWWs在課堂上以何種方式使用。來自各個(gè)學(xué)習(xí)水平的師生對于使用PWWs均有回復(fù)，包括在高中學(xué)習(xí)微積分的必修課程，大學(xué)教育的微積分學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)，以及教師的課前預(yù)習(xí)和授課中都有。PWWs經(jīng)常用于補(bǔ)充或甚至用來代替教科書上的證明，例如：勾股定理、整數(shù)求和的公式、關(guān)于正方形以及立方體方面的問題。其他的就廣泛地使用在常規(guī)作業(yè)中、額外加分的問題中、學(xué)生在課堂的自由發(fā)言當(dāng)中、甚至是在單元考卷和課堂項(xiàng)目中。
需要指出的是，該書如第1季一樣總有不完備的地方。它沒有包含所有的PWWs，它既沒有全部包含自1993年第1季出版后出現(xiàn)在各類出版物上的PWWs也沒有包含我編輯第1季書時(shí)搜集的所有PWWs。數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)期刊的讀者們肯定已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)在出版物中新的PWWs更加頻繁了，并且它們現(xiàn)在也會(huì)出現(xiàn)在互聯(lián)網(wǎng)上并以優(yōu)越的形式展示出來。
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