定 價(jià)：36 元
叢書名：河南省“十二五”普通高等教育規(guī)劃教材
- 作者：祁傳達(dá)等著
- 出版時(shí)間：2014/8/1
- ISBN：9787030413178
- 出 版 社：科學(xué)出版社
- 中圖法分類：O13
- 頁碼：280
- 紙張：膠版紙
- 版次：1
- 開本：16K
大學(xué)文科數(shù)學(xué)貫徹導(dǎo)引的思想，結(jié)合文科生對高等數(shù)學(xué)的可接受性，力求讓廣大文科大學(xué)生接觸到更為廣泛、更具有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)．大學(xué)文科數(shù)學(xué)分三部分，包括微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，共含13章．內(nèi)容豐富，條理清楚，重點(diǎn)突出，難點(diǎn)分散，注重?cái)?shù)學(xué)思想的介紹，力求做到深入淺出．
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目錄
前言
第一部分 微積分
第1章 函數(shù)與極限 2
1.1 函數(shù)及其性質(zhì) 2
1.1.1 函數(shù)的概念 2
1.1.2 函數(shù)的幾種特性 4
1.1.3 函數(shù)的運(yùn)算 6
1.1.4 初等函數(shù) 7
1.2 數(shù)列的極限 12
1.2.1 數(shù)列的概念 12
1.2.2 數(shù)列極限的定義 12
1.2.3 收斂數(shù)列的性質(zhì) 14
1.3 函數(shù)的極限 16
1.3.1 鄰域 17
1.3.2 函數(shù)極限的概念 17
1.3.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 19
1.3.4 兩個(gè)重要的極限 20
1.3.5 無窮小量與無窮大量 22
1.4 函數(shù)的連續(xù)性 25
1.4.1 函數(shù)的連續(xù)性 25
1.4.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 26
1.4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 27
1.4.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 28
習(xí)題1 30
中外數(shù)學(xué)家簡介【1】 31
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 34
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 34
2.1.1 引例 34
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 35
2.1.3 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 37
2.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 38
2.2.1 部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 38
2.2.2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 39
2.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 40
2.2.4 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 41
2.2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 41
2.2.6 高階導(dǎo)數(shù) 42
2.3 函數(shù)的微分 43
2.3.1 微分的定義 43
2.3.2 函數(shù)可微的條件 44
2.3.3 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則 44
2.3.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 46
習(xí)題2 46
中外數(shù)學(xué)家簡介【2】 47
第3章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 50
3.1 微分中值定理 50
3.1.1 羅爾定理 50
3.1.2 拉格朗日中值定理 51
3.1.3 柯西中值定理 52
3.2 洛必達(dá)法則 53
3.2.1 型與型未定式 53
3.2.2 其他類型的未定式 55
3.3 函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的極值、最大值、最小值 56
3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性 57
3.3.2 函數(shù)的極值 57
3.3.3 函數(shù)的最大值與最小值 60
習(xí)題3 61
中外數(shù)學(xué)家簡介【3】 62
第4章 不定積分 65
4.1 不定積分的概念和性質(zhì) 65
4.1.1 原函數(shù)的概念 65
4.1.2 不定積分的概念 66
4.1.3 不定積分的幾何意義 67
4.1.4 不定積分的性質(zhì) 67
4.1.5 基本積分公式 68
4.2 不定積分的計(jì)算 69
4.2.1 第一換元法(湊微分法) 69
4.2.2 第二換元法 70
4.2.3 分部積分法 72
習(xí)題4 74
中外數(shù)學(xué)家簡介【4】 74
第5章 定積分 77
5.1 定積分的概念和性質(zhì) 77
5.1.1 引例 77
5.1.2 定積分的定義 79
5.1.3 定積分的幾何意義 81
5.2 定積分的性質(zhì) 82
5.3 定積分的計(jì)算 84
5.3.1 微積分基本公式 84
5.3.2 定積分的換元積分法 87
5.3.3 定積分的分部積分法 88
5.3.4 無窮區(qū)間上的廣義積分 89
5.4 定積分的應(yīng)用 91
5.4.1 定積分的微元法 91
5.4.2 幾何上的應(yīng)用 92
5.4.3 物理上的應(yīng)用 96
習(xí)題5 98
中外數(shù)學(xué)家簡介【5】 99
第6章 微分方程簡介 101
6.1 常微分方程的基本概念 101
6.2 可分離變量的常微分方程 103
6.3 一階線性微分方程 104
習(xí)題6 106
中外數(shù)學(xué)家簡介【6】 107
微積分發(fā)展簡史 110
第二部分 線性代數(shù)
第7章 行列式 114
7.1 n階行列式 114
7.1.1 二階和三階行列式 114
7.1.2 排列及其逆序數(shù) 118
7.1.3 n階行列式的定義 120
7.1.4 n階行列式的等價(jià)定義 122
7.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 123
7.2.1 行列式的性質(zhì) 123
7.2.2 行列式的計(jì)算 126
7.3 克拉默法則 128
7.3.1 行列式按行(列)展開 128
7.3.2 克拉默法則 132
習(xí)題7 135
第8章 矩陣 137
8.1 矩陣的概念 137
8.1.1 引例 137
8.1.2 矩陣的定義 140
8.1.3 幾類特殊的矩陣 142
8.2 矩陣的運(yùn)算 145
8.2.1 矩陣加法 145
8.2.2 數(shù)量乘積 147
8.2.3 矩陣乘法 150
8.2.4 方陣的冪 156
8.2.5 矩陣的轉(zhuǎn)置 159
8.2.6 方陣的行列式 160
8.3 矩陣的逆 161
8.3.1 可逆矩陣的概念 161
8.3.2 矩陣可逆的判定 164
8.3.3 可逆矩陣的性質(zhì) 167
習(xí)題8 169
第9章 線性方程組 171
9.1 消元法 171
9.1.1 線性方程組的有關(guān)概念 171
9.1.2 消元法 173
9.2 矩陣的初等行變換 176
9.2.1 矩陣的初等行變換 176
9.2.2 行階梯形矩陣 177
9.2.3 行最簡形矩陣 179
9.2.4 消元法求解線性方程組的矩陣表示 181
9.2.5 用初等行變換求矩陣的逆矩陣 183
習(xí)題9 185
第三部分 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)
第10章 隨機(jī)事件及概率 188
10.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 188
10.1.1 隨機(jī)試驗(yàn) 188
10.1.2 樣本空間 188
10.1.3 隨機(jī)事件 189
10.1.4 事件間的關(guān)系 189
10.1.5 事件間的運(yùn)算 190
10.1.6 事件的運(yùn)算法則 192
10.2 隨機(jī)事件的概率 193
10.2.1 頻率 193
10.2.2 概率的統(tǒng)計(jì)定義 194
10.2.3 概率的公理化定義及其性質(zhì) 195
10.3 條件概率 197
10.3.1 條件概率的定義 197
10.3.2 乘法定理 198
10.3.3 全概率公式 199
10.3.4 貝葉斯公式 201
10.4 事件的獨(dú)立性與獨(dú)立試驗(yàn)概型 202
10.4.1 事件的獨(dú)立性 202
10.4.2 獨(dú)立試驗(yàn)概型 205
習(xí)題10 206
第11章 隨機(jī)變量及其分布 209
11.1 隨機(jī)變量與分布函數(shù) 209
11.2 離散型隨機(jī)變量及其分布律 211
11.2.1 離散型隨機(jī)變量和概率分布 211
11.2.2 常用離散型隨機(jī)變量的分布 214
11.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 219
11.3.1 連續(xù)型隨機(jī)變量和密度函數(shù) 219
11.3.2 常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 221
習(xí)題11 227
第12章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 230
12.1 數(shù)學(xué)期望 230
12.1.1 數(shù)學(xué)期望的定義 230
12.1.2 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 232
12.2 方差 233
12.2.1 方差的定義 233
12.2.2 方差的性質(zhì) 234
習(xí)題12 236
第13章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本方法 238
13.1 總體與樣本 238
13.1.1 總體與樣本的定義 238
13.1.2 樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量 239
13.1.3 抽樣分布 241
13.2 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 247
13.2.1 矩估計(jì)法 248
13.2.2 最大似然估計(jì)法 249
13.2.3 估計(jì)量評選標(biāo)準(zhǔn) 252
13.3 參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 254
習(xí)題13 263
參考文獻(xiàn) 265
附表 266
第一部分 微 積 分
微積分學(xué)(cAlculus)在自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，是現(xiàn)
代大學(xué)教育的重要組成部分．微積分是在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)和解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)上建
立起來的，包括微分學(xué)、積分學(xué)兩大分支．微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變
化率的理論，它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)
行演繹．積分學(xué)包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方
法．微積分基本定理指出，微分和積分互為逆運(yùn)算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積
分的原因．我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來討論微積分，但是在教學(xué)中一般會(huì)
先引入微分學(xué)．在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，微積分學(xué)通常被稱為分析學(xué)，并被定義為研
究函數(shù)的科學(xué)．
本部分包括函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用
以及微分方程簡介6章內(nèi)容．第1章 函數(shù)與極限
初等數(shù)學(xué)研究的主要是常量及其運(yùn)算，而高等數(shù)學(xué)研究的主要是變量及變量
之間的依賴關(guān)系，函數(shù)正是這種依賴關(guān)系的體現(xiàn)，極限方法是研究變量之間依賴關(guān)
系的基本方法．本章將在復(fù)習(xí)高中所學(xué)的函數(shù)與極限概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步介紹兩
個(gè)重要極限、無窮小與無窮大的概念以及函數(shù)連續(xù)性．
1.1 函數(shù)及其性質(zhì)
1.1.1 函數(shù)的概念
在自然界中，某一現(xiàn)象中的各種變量之間，通常并不都是獨(dú)立變化的，它們之
間存在著依賴關(guān)系，我們觀察下面幾個(gè)例子．
例如，某種商品的銷售單價(jià)為p元，則其銷售額L與銷售量z之間存在這樣
的依賴關(guān)系：L一pl-．
又如，圓的面積S和半徑r之間存在這樣的依賴關(guān)系：S一7rr2．
不考慮上面兩個(gè)例子中量的實(shí)際意義，它們都給出了兩個(gè)變量之間的相互依
賴關(guān)系，這種關(guān)系是一種對應(yīng)法則，根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個(gè)變量在其變化范圍
內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量就有確定的值與之對應(yīng)．兩個(gè)變量間的這種對
應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)．
定義1.1 設(shè)有兩個(gè)變量z，v，D是一個(gè)數(shù)集．對任意的z∈D，存在一定規(guī)
律廠，使得v有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y稱為z的函數(shù)．記作y一、廠(z)，z∈D.
其中z稱為自變量，v稱為因變量．?dāng)?shù)集D禰為函數(shù)的定義域，函數(shù)v的取值范圍
V={y I y一．廠(z)，z∈D)稱為函數(shù)的值域．
在函數(shù)y一廠(z)中，當(dāng).c取定x。(/o∈D)時(shí)，則稱廠(z。)為y一廠(z)在r。
處的函數(shù)值，即
f(z。)一fci')一。一
有時(shí)，函數(shù)的值域也記作f(D)，即
廠(D)一{y I y一．廠(z)，l-∈D)．
函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定．
一種是對有實(shí)際背景的函數(shù)，根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定．例如，在自由落體運(yùn)動(dòng)中，設(shè)物體下落的時(shí)間為f，下落的距離為s，開始下落的時(shí)刻t-
0，落地的時(shí)刻f—T，則s與f之間的函數(shù)關(guān)系是
s一丟∥。，
這個(gè)函數(shù)的定義域就是區(qū)間[O，T]．
另一種是對抽象地用算式表達(dá)的函數(shù)，通常約定這種函數(shù)的定義域是使得算
式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域．在這種約定
之下，一般的用算式表達(dá)的函數(shù)可用“y一廠(z)”表達(dá)，而不必再顯式地表示出
“z∈D”．例如，函數(shù)v-／『=i7的定義域是閉區(qū)間[一1，1]，函數(shù)y一—7主i尹
的定義域是開區(qū)間（一1，1）．
例1.1確定函數(shù)廠(z)一／FF五二z2+ In(z -2)的定義域，并求f(3)和
-廠(f2)．
解該函數(shù)的定義域應(yīng)為滿足不等式組
3+2r -z2≥0，
r-2>0
的z值的全體．解此不等式組，得2
D一{z∈R12
且
f(3)一√可干i叉丐一32+In(3 -2)一Inl一o，
f(tv)一√丁干2t二t4+ In(t2—2)．
函數(shù)的定義域D和對應(yīng)法則-廠稱為函數(shù)的兩個(gè)要素，而函數(shù)的值域一般稱為
派生要素，由定義域和對應(yīng)法則確定．如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則也相
同．那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的，否則就是不同的．
例1.2判斷以下函數(shù)是否是同一函數(shù)，為什么？
(1)y一lnr2與y一2lnr，
解 (l)兩函數(shù)的定義域不同：
v—lrrr2，z∈{zlz≠0）；
因此，它們不是相同的函數(shù)．
(2)訓(xùn)一√i與y一√i．
v=2lnr, r∈ { r l z>ol ,
(2)雖然兩函數(shù)的自變量和因變量的符號不相同，但兩函數(shù)的對應(yīng)法則和定義
域均相同，因此是同一函數(shù)．
表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法（公式法），這在中學(xué)里大家
已經(jīng)熟悉．其中，用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集
{(z，v) y一廠(z)，z∈D)，稱為函數(shù)y一廠(z)，z∈D的圖形．
例1.3若函數(shù)l廠(z)在定義域不同的區(qū)間上用
不同解析式來表示，則稱函數(shù)廠(z)為分段函數(shù)．如
/<0.
f(r，一
z一0，
其圖像如圖I—1所示． 1， z>o．
1.1.2 函數(shù)的幾種特性
圖1 1例1.3的函數(shù)圖像 1．有界性
設(shè)函數(shù)y一廠(z)在集合D上有定義，如果存在
一個(gè)正數(shù)M，對于所有的z∈D恒有
-廠(z)≤M，
則稱函數(shù)f(r)在D上是有界的．如果不存在這樣的正數(shù)M，則稱函數(shù)廠(z)在D
上是無界的．這就是說，如果對于任何正數(shù)M，總存在z，∈I，使f(z．)>M，
那么函數(shù)-廠(z)在J內(nèi)無界．
例如，函數(shù)-廠(z)一sinz在（一00．+oo）內(nèi)是有界的，因?yàn)闊o論z取任何實(shí)數(shù)，
sinx≤1都能成立．這里M=1（當(dāng)然也可取大于1的任何數(shù)作為M，而
sinx≤M成立）．函數(shù)、廠(z)一』在區(qū)間(o，1)內(nèi)無界，因?yàn)椴淮嬖谶@樣的正數(shù)
M，使�！躆對于(o，1)內(nèi)的一切z都成立．事實(shí)上，對于任意取定的正數(shù)M
（不妨設(shè)M>1），則未才∈(o，1)，當(dāng)z．一未才時(shí)，去一2M>M．但是廠(z)一
』在區(qū)間(1，2)內(nèi)是有界的，如可取M一1，而使≥≤1對于區(qū)間(1，2)肉的
一切z值都成立．
9．單調(diào)性
設(shè)函數(shù)y一廠(z)在區(qū)間I內(nèi)有定義，如果對于I內(nèi)的任意兩點(diǎn)z，和z。，當(dāng)
Zl
fcr-i)<廠(1-2)，
則稱函數(shù)y一廠(z)在區(qū)間I內(nèi)是單調(diào)增加的，區(qū)間I稱為函數(shù)廠(z)的單調(diào)增區(qū)
間；如果對于J內(nèi)的任意兩點(diǎn)z．和z：，當(dāng)ll <-z。時(shí)，有
fcZi)>．廠(z2)，則稱函數(shù)y一f(-z)在區(qū)間J內(nèi)是單調(diào)減少的，區(qū)間J稱為函數(shù)廠(z)的單調(diào)減
區(qū)間．
例如，函數(shù)f(l-)一z2在區(qū)間[0，+c0）內(nèi)是單調(diào)增加的，在區(qū)間（一。。，O]內(nèi)
是單調(diào)減少的；在區(qū)間（一oo．+oo）內(nèi)函數(shù)l廠(z)一z2不是單調(diào)的．
如果函數(shù)y一廠(z)在區(qū)間I內(nèi)是增函數(shù)（或是減函數(shù)），則稱函數(shù)f(z)在區(qū)
間j內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間J稱為函數(shù)l廠(z)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)在區(qū)間J內(nèi)的單調(diào)增
加或單調(diào)減少的性質(zhì)，稱為函數(shù)的單調(diào)性．
顯然單調(diào)增加函數(shù)的圖像是沿z軸正向逐漸上升的，如圖l-2(A)所示；單調(diào)(A)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱 (b)偶函數(shù)圖像關(guān)瑚對稱
圖1 3奇偶函數(shù)的圖像
-廠(z)的周期，一般提到的周期均指最小正周期T．
例如，三角函數(shù)y - sini和y- cosr的周期都為2兀;y- tAnr，y- cotr的
周期都是兀．
周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)：在函數(shù)的定義域內(nèi)，每個(gè)長度為Z的區(qū)間上，函數(shù)的圖
形有相同的形狀．
1.1.3 函數(shù)的運(yùn)算
1．函數(shù)的四則運(yùn)算
設(shè)函數(shù)廠(z)，91(z)的定義域依次為D，，D。，D—Din D2≠移，則可以定義
這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：
和（差）廠±g:（廠±g）(z)一．廠(z)±g(z)，z∈D；
積 廠．g：（廠．g）(z)一廠(z)g(z)，z∈D；
商 等：（手）(z)一愛騫，z∈D\{rlg‘(T)一o）．
2．復(fù)合函數(shù)
設(shè)函數(shù)y一廠(“)的定義域?yàn)镈i，函數(shù)“一91(z)在D上有定義且g(D)[
Di，則由下式確定的函數(shù)
y一廠(g(z))， z∈D，
稱為由函數(shù)比一g(z)和函數(shù)y一廠(“)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)镈，變量u
稱為中間變量．
例如，y = f(u) - Arcslnu的定義域?yàn)閇-1，1]，“一g(r)一2√j二z2在
D=[-I，一等]U[雩．1]上有定義，且g(D)[[一1，1]，則g與廠可構(gòu)成復(fù)
合函數(shù)減
少函數(shù)的圖像是沿z軸正向逐漸下降的，如圖l-2(b)所示．
┏━━━━┳━━━┳━┓
┃ y一 ┃ ┃ ┃
┃，／ ┃／／j ┃ ┃
┣━━━━╋━━━┻━┫
┃ n 0 ┃ X ┃
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┏━┳━━━━┳━━━━┓
┃ ┃ V‘ ┃ ┃
┃ ┃＼＼ ┃ ┃
┃ ┃ ┃j＼＼～ ┃
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┃ “ 0 ┃ 工 ┃
┗━━━━━━┻━━━━┛
(A)單調(diào)增函數(shù)的圖像 (b)單調(diào)減函數(shù)的圖像
圖1 2單調(diào)函數(shù)的圖像
設(shè)函數(shù)y一廠(z)在集合D上有定義，如果對于任意的l-∈D，恒有
廠（一z）一廠(z)，
則稱函數(shù)f(z)為偶函數(shù)；如果對于任意的z∈D，恒有
f（一z）一一廠(z)，
則稱函數(shù)-廠(z)為奇函數(shù)．
例如，f(z)一z2是偶函數(shù)，因?yàn)閒(-:r)一（一z）2一z2一、廠(z)．而廠(z)一
z3是奇函數(shù)，因?yàn)閺S（一z）一（一z）3一一z3一一廠(z)。
奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱．如圖1-3 (A)，(b)
所示．
4．周期性
對于函數(shù)y一廠(z)，如果存在正數(shù)T，使得
f(z)一f(_r+T)
恒成立，則稱廠(z)為周期函數(shù)，稱T為函數(shù)周期．顯然nT（”是整數(shù)）也為函數(shù)
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