第1 章流體基本概念
1.1 概況
一般而言,計算流體力學(xué)屬于流體力學(xué)的一個分支領(lǐng)域,也習(xí)慣將其稱為計算流體動力學(xué)(computational.uiddynamics),因其所涉及的主要是流體運動問題的數(shù)值求解。計算流體力學(xué)實質(zhì)上是在流體力學(xué)的基礎(chǔ)上,通過與計算技術(shù)的融合,拓寬了我們認識新的流動現(xiàn)象的深度和廣度。
從另一個視角,計算流體力學(xué)也屬于偏微分方程理論和數(shù)值計算的范疇,由這些嚴格的數(shù)學(xué)分析和計算技術(shù)作為基礎(chǔ),才有可能順利地開展流動問題的求解,在這個過程中,自然也離不開如偏微分方程的理論分析、數(shù)值算法以及程序設(shè)計等具體內(nèi)容。
因此,首先從了解流體的物理背景開始,理解并熟悉流體運動的描述方法,熟練掌握流動控制方程的推導(dǎo),由此建立正確運用流動方程并靈活進行數(shù)值計算的必需基礎(chǔ)。
1.2 流體屬性
熱力學(xué)上,通常將物質(zhì)分為固體、液體和氣體三態(tài),很容易通過觀察由其形態(tài)判別和相互區(qū)分。在流體力學(xué)中,只有兩類物質(zhì),即流體和非流體(固體)。固體能夠承受外部施加的剪切力并保持靜止,而流體是不能的。但這也不是完全清晰的區(qū)分,例如,在室溫下的一桶瀝青,看起來硬得像石頭,在上面放一塊磚頭,也絲毫不受影響。但是,若是把磚頭一直放著,則過幾天沉到桶底,再要取出來就困難了。因此,瀝青通常劃歸流體。再看金屬鋁,在室溫下,鋁是固態(tài)的,可以做成任何形狀,并且只要不超過材料極限它可以承受任意的外加剪應(yīng)力。然而,一旦加熱以后,鋁就呈現(xiàn)液態(tài),在外加剪應(yīng)力作用下鋁液作連續(xù)的變形。但是,也不能將高溫作為區(qū)分金屬流體特征的標準,因為金屬鉛在室溫下就呈現(xiàn)出類似的黏性蠕動流特征。同時,我們還可以看到,水銀也是一種流體,而且在常見的物質(zhì)里面,相對于其密度而言,其黏度(運動黏度)是最小的。
這里所探討的是公認為流體的介質(zhì),例如,所有的氣體都可以認為是真正的流體,還包括一些常見液體,如水、油、酒精等。
在真正流體的范疇內(nèi),我們來定義和解釋它們的屬性。大致有如下四類:
(1)運動屬性(線速度、角速度、渦、加速度以及應(yīng)變率),嚴格地講,這些是流場屬性,而非流體屬性;
(2)傳輸屬性(黏度、導(dǎo)熱系數(shù)、質(zhì)量擴散度);
(3)熱力學(xué)屬性(壓力、密度、溫度、焓、熵、比熱容、普朗特數(shù)、體積模量、熱膨脹系數(shù));
(4)其他各種屬性(表面張力、汽化壓力、渦擴散系數(shù)、適應(yīng)系數(shù))。
第四項中的某些不屬于真正的屬性,但取決于流動條件、表面條件以及流體中的所含雜質(zhì)。使用第三項中的屬性也需要注意場合。嚴格意義上講,處于運動中的黏性流體并不處于熱平衡狀態(tài),這些屬性并不適用。所幸的是,其偏離平衡態(tài)并不遠,除了流體的弛豫時間很短且分子數(shù)較少,如稀薄氣體超音速流。其原理可以這樣理解,例如,從統(tǒng)計意義上,常壓下的氣體也是非常濃的,以1μm邊長立方體內(nèi)氣體為例,其中大約含有108 個分子,對于這一體積的氣體,當狀態(tài)發(fā)生變化,甚至在發(fā)生激波變化時,它也能迅速恢復(fù)平衡態(tài)。這是因為如此多的分子在短距離內(nèi)將發(fā)生大量的分子碰撞,碰撞后很快又恢復(fù)平衡,而液體更濃,所以完全可以假設(shè)它們是處于熱平衡態(tài)的。
1.2.1 運動屬性
對于流體,首先涉及的是流體的速度。而固體力學(xué)中,首先涉及的是質(zhì)點位移,這是因為固體中,質(zhì)點間以相對剛性的方式相聯(lián)系。
由剛體動力學(xué)考慮火箭運動軌跡,只需求解出任意三個不共線的質(zhì)點運動軌跡就可以了,因為任意其他質(zhì)點的運動軌跡都可以由已知三點軌跡推算而得出。這種追溯單個質(zhì)點軌跡的方法稱為拉格朗日運動描述,在固體力學(xué)中非常有用。
但是,考察火箭噴管排出的流體流動時,顯然不可能追溯上百萬的質(zhì)點軌跡。這里考察方式就很重要了,地面上的觀察者看到的是復(fù)雜的非定常流,而與火箭一同飛行的觀察者看到的是幾乎非常規(guī)則的定常流動。因此,在流體力學(xué)中采用如下措施通常是非常有用的:①選擇最便利的坐標系,使得觀察時的流動是定常的;
、 只研究作為位置和時間函數(shù)的速度場,而不追溯任何質(zhì)點軌跡。這種描述流動在每個固定點隨時間變化的函數(shù)方式,稱為歐拉方法。歐拉速度向量場可定義為如下直角坐標形式:
V(r,t)=V(x,y,z,t)=iu(x,y,z,t)+jv(x,y,z,t)+kw(x,y,z,t)(1-1)
求解三個隨(x,y,z,t)變化的標量函數(shù)u、v、w,通常是流體力學(xué)的主要任務(wù)。與固體力學(xué)采用位移分量描述不同,流體通常采用(u,v,w)三個速度分量來表征。相對而言,位移在流體中沒有太多實際用途,因此,也很少給出位移的變量描述。
歐拉方法,或者速度場無疑是描述流體力學(xué)問題的合適選擇,但又存在一個矛盾,即三個基本物理守恒定律:質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒,它們都以質(zhì)點為研究對象,即它們是拉格朗日屬性的。這三個定律都與一個質(zhì)點的某種屬性隨時間的變化率有關(guān)。令Q代表流體的任意屬性,而dx、dy、dz、dt分別代表這四個變量的任意變化,這樣,Q的總微元變化如下:
dQ =
Q
x
dx +
Q
y
dy +
Q
z
dz +
Q
t
dt (1-2)
因為我們追蹤一個質(zhì)點,那么空間增量如下:
dx=udt,dy=vdt,dz=wdt(1-3)代入式(1-2),可以得到一個質(zhì)點的Q屬性的時間導(dǎo)數(shù)為
Q
+ u
Q
x
+ v
Q
y
+ w
Q
z
(1-4)dQ
=
dt
t
其中,dQ/dt的名稱可以是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、質(zhì)點導(dǎo)數(shù),名字不同,意義都是要讓讀者產(chǎn)生一種感覺,即我們是追蹤一個質(zhì)點的。為加強這種感覺,通常給它一個特殊符號DQ/Dt,主要是便于記憶,而無其他意義。式(1-4)右端后三項稱為對流導(dǎo)數(shù),因
Q
為,當速度為0,或者Q沒有空間變化時,這三項就消失了。
項稱為局部導(dǎo)數(shù)。
t
注意到,式(1-4)可以寫為
Q
DQ +(V · .) Q (1-5)
=
Dt
t
其中,. 為梯度算子,展開如下:
i
x
y
+ k
z
(1-6)+ j
1.2.2 質(zhì)點加速度
如果Q就是V本身,可以得到第一個運動屬性,質(zhì)點的加速度矢量為
V
DV DuDvDw+(V · .) V (1-7)= i + j + k=
t
Dt Dt Dt Dt
u
t
、v
t
、w
注意到,該加速度與u、v、w,以及12個標量導(dǎo)數(shù)有關(guān),如
空間導(dǎo)數(shù),形如
ui
xj
,這里,i、j代表三個坐標軸方向。
,還有
t
D/Dt 中的對流導(dǎo)數(shù)項不幸地遇到數(shù)學(xué)上的困難,因為這些是關(guān)于速度變量的非線性項。于是,存在有限對流加速度的黏性流動方程在數(shù)學(xué)上是非線性的,并且從解析的角度也令人頭疼,例如,即使是穩(wěn)態(tài)層流,也存在非唯一解、疊加原理不適用等問題。需要注意的是,這些非線性項是加速度,不是黏性應(yīng)力。具有諷刺意味的是,黏性流動的主要障礙竟然是一個無黏項,而假設(shè)黏度為常數(shù)時,黏性應(yīng)力本身反而是線性的。
假設(shè)流體無黏,即無摩擦,同時又無旋,這時,加速度項仍然存在,但情況會發(fā)生樂觀的轉(zhuǎn)變:
(1-8)
此時,
壓力項是線性的。
1.2.3 其他運動屬性
寫
。我們來
y = vy
圖1-1流體微團的變形
分析這里所發(fā)生的變化。首先,由于平移運動,四邊形的角點由B點移到B. 點。其次,由于旋轉(zhuǎn),對角線從BD變到B.D.。再次,由于膨脹,微元體變得稍微大一點。最后,由于剪應(yīng)變,正方形變成菱形。
下面從定量角度進一步討論。這里為幫助理解,我們給出一個簡單的函數(shù)變化率,具體如下:
ui(x+Δx). ui(x)=
ui
x
Δx =
ui
x
dx (1-9)
其中,ui表示u的任一坐標分量。
下面進入正題,平移由B點的位移量udt和vdt來表示,平移速率分別為u和v。三維情形,分別為u、v和w。
對角線BD的旋轉(zhuǎn)率為dΩz=φ+dα. 45.。注意到,2φ+dα+dβ=90.,代入前式消去φ,可得
1
dΩz=(dα. dβ)(1-10)
2
其中,下標z表示旋轉(zhuǎn)軸平行于z軸。還可以推斷旋轉(zhuǎn)是逆時針的,因為從圖中觀察dα略大于dβ。下面給出dα和dβ的具體計算:
. .
. . .
.. .
. . .
.
v
x
dxdt
dx +
u
x
dxdt
v
x
dt
v
v
dα = arctan dt dt= arctan ≈ arctan=
1+
u
x
x
x
dt (1-11)
. .
. . .
. . .
. . .
.
u
y
dydt
dy +
v
y
dydt
u
y
dt
u
u
dβ = arctan dt dt= arctan ≈ arctan=
1+
v
y
y
y
dt
(1-12)
將式(1-11)和式(1-12)代入式(1-10),可得
v
u
1dΩz/dt=(1-13)
x .
y
2
類似地,沿x和y軸的旋轉(zhuǎn)率為
1
v
1
u
w
w
dΩx/dt=dΩy/dt=(1-14)
2 y . zz . x
這剛好是角速度向量dΩ/dt的三個分量。因為系數(shù)12 容易令人費解,習(xí)慣上常用一個2倍于它的量ω來表示,如下:dΩ
ω = 2 (1-15)
dt
,
2
這個新的量ω,在流體力學(xué)中是有重要物理意義的,稱為流體的渦量。將(1-13)和式(1-14)代入式(1-15),這樣,就將速度向量與渦量構(gòu)建了關(guān)聯(lián):ω=rotV=. × V(1-16)因此,渦量的散度為0,即divω=. · ω=div(rotV)=0(1-17)因此,純數(shù)學(xué)角度的渦向量代表無源場。如果ω=0,那么流動就是無旋的。下面討論剪應(yīng)變,通常將它定義為初始兩垂線之間夾角的平均增量,如圖1-1所示,AB線和BC線為初始兩垂線,那么平均角度增量,即剪應(yīng)變率為
1.dαdβ1
v
u
(1-18)+ +
εxy=
=
x
y
2dt dt 2
類似地,另兩個剪應(yīng)變率分量分別為
εzx
=
w
+
v
z
u
w
1 1 (1-19)+
εyz
=
y
z
x
2 2
同樣,類似固體力學(xué)原理,剪應(yīng)變率是對稱的,即εij=εji。第四個也是最后一個微團運動為膨脹或者拉伸應(yīng)變。同樣參考圖1-1,沿x方向的拉伸定義為微團水平方向邊長的增長率:
u
x
dxdtdx +
. dx
u
εxx
dt = dt (1-20)=
x
dx
同樣可得另兩個分量,這樣,所有三個分量為
εxx
=
u
x
,
εyy
=
v
w
z
(1-21)
εzz
=
,
y
將應(yīng)變率(包括拉伸和剪切)集中到一個對稱二階張量,可寫為
εij
=
. .
.
εxxεxyεxz
εyxεyyεyz
εzxεzyεzz
. .
.
(1-22)
盡管各分量大小隨所取坐標軸x、y、z而不同,應(yīng)變率張量與彈性體應(yīng)力張量和應(yīng)變率張量類似,遵循對稱張量的坐標變換原理。尤其是無論坐標軸怎么取,或
……