第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)
函數(shù)是相互依賴的變量之間的確定性關(guān)系,是高等數(shù)學(xué)研究的主要對象極限是函數(shù)的無窮變化趨勢,是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和基本工具連續(xù)是函數(shù)的重要性態(tài),是高等數(shù)學(xué)研究的許多問題的基本條件和橋梁本章我們先回顧初等數(shù)學(xué)中函數(shù)的有關(guān)知識,然后介紹極限的概念、性質(zhì)、運算法則以及函數(shù)的一個重要性質(zhì)即連續(xù)性學(xué)習(xí)本章時,需要注意的是極限理論與方法,它是人們從有限中認識無限、從近似中認識精確、從量變中認識質(zhì)變的最基本的思想方法,幾乎貫穿了高等數(shù)學(xué)的全課程．
預(yù)備知識
在回顧復(fù)習(xí)函數(shù)的知識前,先介紹一些基礎(chǔ)知識．
首先,引進常用的邏輯符號與關(guān)系符號如下:
符號.:表示“對每一個”,“任取”,或“任意給定”,它是英文 Any(每一個)或 Al
(所有
的)字頭 A的倒寫．符號.:表示“存在一個”,“至少有一個”或“能夠找到”,它是英文 Exist(存在)的字頭 E
的反寫．符號.:表示“推出”或“蘊含”．符號.:表示“等價”或“充分必要”．符號＝Δ :表示“記為”．
Δ:
符號.表示“定義為”或“記為”．其次,給出變量、區(qū)間及鄰域的概念．,可以取不同數(shù)值的在某一過程中保持不變的數(shù)量稱為常量或常數(shù),用字母Ab等表示;
數(shù)量稱為變量,用字母x, 凡無特別說明,
y等表示今后,本書所言的數(shù)量都是指實數(shù)．只取有限個或可列無窮多個數(shù)值的變量稱為離散型變量如價格、產(chǎn)值等所謂可列無窮多個數(shù)值,是指這無窮多個數(shù)值可以寫成一個無窮數(shù)列的形式,如數(shù)值1,2,3,,以及
111,等可以取某區(qū)間上任何數(shù)值的變量稱為連續(xù)型變量,如溫度、時間等所謂
2,4,8 A,閉區(qū)間[b],,和[b);區(qū)間可以是有限區(qū)間,如開區(qū)間(b),,半開半閉區(qū)間(b],也可以是無限區(qū)間,如(,＋∞),(－∞,或(－∞,＋∞ 等在不需要細分的情A各種區(qū)間統(tǒng)稱
Ab])A況下,A
區(qū)間 ,常用I表示．為了研究變量的局部變化狀態(tài),今后還常用到鄰域的概念．若δ是正數(shù),稱開區(qū)間(為點A的δ鄰域,記作U(,δ),即
A－δ,＋δ)AU(,＝Aδ,＝ x||xA
Aδ)(A－A＋δ){－A|δ＜)δ}其中點A稱為這鄰域的中心,δ稱為這鄰域的半徑鄰域U(,表示與點A的距離小于δ 的一切點 x的全體 (圖1Ｇ0Ｇ1)．
圖1Ｇ0Ｇ1
任何有限開區(qū)間都可視為鄰域 例如 ,區(qū)間 (－1,3)＝U(1,2)．
若把鄰域 U(A,的中心點去掉 ,記作 UAδ),δ)所剩下的部分稱為點 A的去心 δ鄰域 ,.(,即
U.(,＝－)∪ (A＋δ){－|＜δ}
Aδ)(δ,,＝ x|0＜|xAA－AAA＋δ)
開區(qū)間 (δ,)稱為點AA的左δA鄰域,(A,稱為點 A的右 δ鄰域．在不必指明鄰域的半徑時 ,可把以點 A為中心的任何開區(qū)間稱為點 A的鄰域 ,記作
U(A),A的中心點去掉后所剩下的部分稱為點 A的去心鄰域 ,.()
把鄰域 U()記作 UA．
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué) 初等數(shù)學(xué)主要是對數(shù)量關(guān)系和空
間形式作靜止的分析 ,而高等數(shù)學(xué)則著重于以動態(tài)的觀點作研究 簡單地說 ,高等數(shù)學(xué)就是
研究變量變化規(guī)律的學(xué)科 不過 ,高等數(shù)學(xué)研究的變量一般不是指孤立的某個變量 ,而是若
干個相互依賴、相互制約的變量 同一變化過程中若干個相互依賴、相互制約的變量之間所
具有的確定性的關(guān)系 ,實質(zhì)上就是函數(shù)．
§11 函數(shù)概述
一、函數(shù)的基本概念
定義 設(shè)x和y是兩個變量 ,D是數(shù)集 若.x∈D,
y按照一定的法則總有確定的數(shù)值與之對應(yīng) ,則稱 y是x的函數(shù) ,記為
x),x),其中 x稱為自變量 ,y稱為因變量 ,D()f()
y＝f(x∈D 或 y＝y(tǒng)(x∈D
或記成 Df稱為函數(shù)的定義域 ,或f稱為函數(shù)的對應(yīng)法則．在函數(shù)定義中 ,.x∈D,對應(yīng)的 y值是確定的 ,但y值不一定是唯一的 若.x∈D,
y
有且只有一個值與它對應(yīng) ,則這類函數(shù)稱為單值函數(shù) ;y可以有多個值與它對
若 .x∈D,應(yīng),則這類函數(shù)稱為多值函數(shù) 例如 ,設(shè)x和y之間的對應(yīng)法則由方程 y2＝x給出 ,當(dāng)x≥0
時有 y＝±
與之對應(yīng) ,因此是一個多值函數(shù) 對于多值函數(shù) ,如果附加一些條件 ,可使得在此附加條件下 ,對每個 x∈D,對應(yīng)的 y值是唯一的 ,即為一個單值函數(shù) 例如 ,對于 y2＝
x,附加條件 y≥0 ,就得到一個單值函數(shù) y＝
;若附加條件 y≤0 ,就得到另一個單值函數(shù)
y＝－
由于多值函數(shù)可以分解為多個單值函數(shù)來研究 ,因此 ,今后凡是沒有特別說明時,函數(shù)都是指單值函數(shù)．x)稱為函數(shù) f(在xA點當(dāng)自變量在定義域內(nèi)取某一數(shù)值 A時,函數(shù) f(的對應(yīng)值 ,x)＝ 處的函數(shù)值 ,記為 f()或y當(dāng)自變量取遍定義域內(nèi)的一切數(shù)值時 ,相應(yīng)的函數(shù)值的全
A|x＝A體稱為函數(shù)的值域 ,記為 W或Wf,即
{x), 函數(shù)定義中 ,包含了自變量、因變量、定義域、對應(yīng)法則和值域這幾個因素 ,其中定義域 D與對應(yīng)法則 f稱為函數(shù)的兩要素．
函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍 在實際問題中 ,函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義來確定的 比如 ,圓的面積 A是半徑 R的函數(shù) A＝π R2,其定義域為 R＞0 若不考慮函數(shù)的實際意義 ,而抽象地研究用算式表達的函數(shù) ,這時函數(shù)的定義域是使函數(shù)中的所有算式都有意義的自變量的全部取值．
W＝ y|y＝f(x∈D}
1
－x111[()()111AB1＋∞ D1＋∞ ,,,,,．．．eee、、D這是一道四選一的單項選擇題 請讀者用直推法特取法淘汰法自行求解 答案是 ,、今后對高等數(shù)學(xué)的單項選擇題 還可用反演法圖解法和估值法等解答,．()f函數(shù)的兩要素中 對應(yīng)法則 是表示自變量與因變量之間關(guān)系的 是函數(shù)的核心 ,,(f理解這個核心的直觀方法是把對應(yīng)法則看作是一部機器 若在函數(shù) 的定義域中 ,x,()f把視為機器的輸入放進機器 則通過機器的處理產(chǎn)生了一個輸出 當(dāng)然 函數(shù)的定x,,x;義域就被看作是一切允許輸入的集合 函數(shù)的值域被看作是一切可能輸出的集合 在計算器中預(yù)先編好程序的函數(shù) 是把函數(shù)看作機器的一個很好例證 例如 在普通計算器上都有,, 鍵它表示進行開平方運算的函數(shù) 要對一個數(shù)進行開平方運算 首先輸入 到計算x,, ≥0＜0;器的顯示屏 然后按下鍵當(dāng)時函數(shù)值即被顯示出來 當(dāng)時由于 不在,x,x,x
x)當(dāng)
開平方函數(shù)的定義域內(nèi) ,即這個 x是一個不被認可的輸入 ,計算器將在顯示屏上顯示錯誤
[
信息 實際上 ,函數(shù)的 “函”就帶有 “袋子 ”、“盒子 ”、“箱子 ”的意思 ,因而函數(shù)的對應(yīng)法則 ,可
÷.C．
÷.∪
看成是將輸入的數(shù)字進行變化后再輸出的一種特殊的 “袋子 ”、“盒子 ”、“箱子 ”．兩個函數(shù)只有當(dāng)它們的定義域相同 ,且對應(yīng)法則也相同時 ,才稱這兩個函數(shù)是相同的．
nx() 1例函數(shù) 的定義域是 ＝y(tǒng).÷ . 223
注 函數(shù)與自變量和因變量所采用的表示符號無關(guān)．
例如 ,x－1不是同一個函數(shù) ,因為定義域不同 ;x－1與yx－1
y＝x＋1與y＝ －1y＝ x－1＝ x－1
è
也不是同一個函數(shù) ,因為對應(yīng)x法則不同 ;而y＝sin2x與u＝sin2v是相同的函數(shù)．為了表示 y是x的函數(shù) ,所采用的記號并不唯一 但是 ,若同時研究多個不同的函數(shù) ,為了避免混淆 ,則不能用同一個記號來表示不同的函數(shù)．表示函數(shù)的方法 ,通常有公式法、圖像法和表格法三種 ,另外還可以用語言文字的敘述表示 ,用電子計算機的語言表示等 將公式法和圖像法結(jié)合起來 (數(shù)形結(jié)合法 ),仍然是今后經(jīng)常用到的一種分析處理問題的基本方法 在平面直角坐標系 xO函數(shù) yf(的圖像 (是
y中,＝ x)或圖形 )
指點集
{(x,x),可簡記為 C:y＝f(x∈D顯然 (圖1Ｇ1Ｇ1),函數(shù)的圖像在 x軸和y軸上的投影分別就是函數(shù)的定義域和值域 例如 ,線性函數(shù) y＝kx＋b是一條斜率為 k,在y軸上的截距為 b的直線 ;二次函數(shù)圖1Ｇ1Ｇ1
C＝x),y)|y＝f(x∈D},
2(b,A－2,b
y＝Ax＋bx＋cA≠0 )是一條頂點為－4cb對稱軸為 x＝－的拋物線．
2A4A 2A
必要的修改后獲得圖像．
二、函數(shù)的基本特性
f
即x∈I.－x∈I)－x)＝－f(－x)＝f(
÷.è.:函數(shù)作圖的一般方法 研究函數(shù)性質(zhì) 描出一些特殊點 連線作圖并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進行,,、、在函數(shù)的性質(zhì)中奇偶性周期性單調(diào)性和有界性是比較簡單的這些特性與函數(shù)圖像,,的某種特征相匹配也可以說是函數(shù)的幾何特性．x,(),()IIDDIf在區(qū)間上有定義的一部分設(shè)函數(shù)可以是整個定義域也可以是關(guān)x,f(()(()),∈Iff于原點對稱若恒有或則x,xx1),23;C例如是常數(shù)都是偶函數(shù)都＝＝cs＝＝snxx,,x,,xyyyy2(()ff則稱是周期函數(shù)的一個周期,x．TTff若為的一個周期則正整數(shù)都是的周期若在周期中存在最小的正值,nn,就稱它為最小正周期通常周期函數(shù)的周期是指最小正周期,．i2πi2|i|π;例如的周期是的周期是＝sn＝cos＝sn＝sn,x,xx,x．)(.∈I＜f若xx,x2(()If則稱在上單調(diào)增加的或,x)()()單調(diào)減少區(qū)間單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)或區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)或單調(diào)區(qū)間．()()ff((21 ∈IIf＞注在上單調(diào)增加當(dāng)時恒有,,x,122())()I＜或在上的圖像是漸升或漸降的x．[)(]()20＋∞－∞0－∞＋∞;在例如上單調(diào)增加在上單調(diào)減少而在內(nèi)函＝,,,,,,y2數(shù)不是單調(diào)的可見函數(shù)的單調(diào)性具有局部性＝x,y．)(|≤.Kfxxx1x
稱f(x)是區(qū)間 I上的奇函數(shù) (或偶函數(shù) )．注 f()或偶函數(shù) )x∈I,－)±f()0. f()在I上
在I上是奇函數(shù) (恒有 f(xx＝x的圖像關(guān)于原x點(或y軸)對稱．
C(＝ y||,＝ oyxyx＝i
是奇函數(shù) y;＝kk≠0 ,yA2＋bc(b≠0 ),＝x,ylx都是非奇非
y＝ x＋b(b≠0 ),＝ xx＋ A≠0 ,y2 ＝n偶函數(shù) ;0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．設(shè)函數(shù) f()若.T＞0 ,有(且恒有 f(＝
x),x的定義域為 D,使得 .x∈D,x＋T)∈D,x＋T)
注 f(周期為 Tx∈I,x)x)的圖像在相鄰的每個長
x)恒有 f(
度為 T的區(qū)間上完全相同．
x)T為f(x＋T)－f(＝0. f(
,
yyyy設(shè)函數(shù) f()在區(qū)間 I上有定義 ,1,x2 當(dāng)x1＜x2時恒有 f(1 x)(或 f()＞f()),x)或單調(diào)減少 )I為f(的一個單調(diào)增加 (
x)或減少 )xx1≠xx－xx2－x1
0. f(
函數(shù)的單調(diào)性是相對于有定義的某區(qū)間而言的 ,只有在整個定義域上單調(diào)的函數(shù) ,在指明其單調(diào)性時才可以把相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間省略 ,如y＝ey＝lnx是單調(diào)增加函數(shù)．
x,
設(shè)函數(shù) f()在區(qū)間 I上有定義 ,若 .常數(shù) M(或 m),使得 .x∈I,恒有 f(或
x)≥m),xx)或有下界 ),或 m)x)x)≤M(
f(則稱 f(在I上有上界 (數(shù) M(稱為 f(在I上的一個上界 (或下界 )x)則稱 f(在I上有界或f(是I上的有界
若f(在I上既有上界又有下界 ,x)x)函數(shù) 否則 ,稱f()在I上無界．
x注 f()在I上有界 K＞0 ,使得 .x∈I,恒有 |f(x)在I上的圖像介
于兩條平行于 x軸的水平線之間．
yx在(1)在[上無界 ;＝1 0,無界 ,
如,＝ 0,上有界 ,1,＋∞ )yx在(1)在[1,＋∞ )上有界．
函數(shù)的有界性仍然與區(qū)間有關(guān) ,只有在整個定義域上討論有界性時 ,才可以省略具體的區(qū)間 如y＝sinx和y＝cos2x是有界函數(shù)．有界性定義中的上界 (或下界 ),即常數(shù) M(或m)可以不唯一 ,可以不必是 f(或 f(成立的最小 (值．x)≤M(
x)≥m)或最大 )
思考 :這兩者是否等價 ?
f在I上有最大最小值與 f在I上有界 ,
三、函數(shù)的基本運算
函數(shù)的基本運算包括四則運算 ,復(fù)合運算和反演運算三類．
xx
對常數(shù) k,函數(shù) f()和g()施行的以下運算
f(f(),x)),x)
x),)±g(f(g(f(
kxxx
x)稱為函數(shù)的四則運算 ,所得到的函數(shù)分別稱為函數(shù) f(的乘數(shù)函數(shù) ,函數(shù) f(與g(的和、差函數(shù) ,積函數(shù) ,商函數(shù)．x)x)x)
函數(shù)經(jīng)四則運算后 ,生成的新的函數(shù)的定義域一般是各構(gòu)成函數(shù)的定義域的交集 ,而對f(
g(
x)
商函數(shù) g(其定義域是 {|f∩D,g(．
x),xx∈Dgx)≠0 }
如,由正弦函數(shù) sinx,余弦函數(shù) cosx,可得到正切函數(shù) tAnx＝sinx,余切函數(shù) cotx＝
cosxcosx 11 22
sinx,正割函數(shù) secx＝cosx,余割函數(shù) cscx＝sinx由此并結(jié)合 sinx＋c osx＝1,可推出
1＋t An2 ＝sec2x,1＋c ot2 ＝csc2 ．注 把x一個復(fù)雜的函數(shù)x分解成x若干個簡單的函數(shù)的四則運算 ,這個過程稱為函數(shù)的分項(這里把乘除的因式也看作項 )如函數(shù) x(
同一個函數(shù)可能有不同的分項方法 ,x＋1 ),既可以當(dāng)成 x2與x的和 ,也可當(dāng)成 x與x＋1的積 函數(shù)的分項方法是高等數(shù)學(xué)中較基本的化簡方法．
設(shè)y是u的函數(shù) y＝f(),定義域為 Df,而u是x的函數(shù) u＝g(x),且在 I上有定義 ,若W＝{u|＝ x),,uf,y通過 u的聯(lián)系便成為 x的函數(shù) ,
ug(x∈I}且W.D那么 ,.x∈I,這個新的函數(shù)稱為由函數(shù) y＝f()和u＝ x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù) ,記為 yf[x)],其中 ,
ug(＝ g(y＝ u)稱為外層函數(shù) ,＝g(稱為內(nèi)層函數(shù) ,
f(ux)u稱為中間變量 由已知函數(shù)獲得復(fù)合函數(shù)的運算過程稱為復(fù)合運算．通俗地理解 ,復(fù)合函數(shù)就是函數(shù)套函數(shù) 復(fù)合函數(shù)也可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合而成 ,如y＝esin
就可以看作是由三個函數(shù) yeu,＝ivv
復(fù)合而成的 要注意 ,不
＝ usn,＝ y
是任何兩個函數(shù)都能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的 例如 ,＝
及u＝－x2－1就不能復(fù)合 (請思考這是為何 ?)．注 把一個復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)分解成若干個簡單的函數(shù)的復(fù)合運算 ,這個過程稱為函數(shù)的分層 復(fù)合函數(shù)的復(fù)合運算過程是由內(nèi)到外進行的 ,而分層過程與復(fù)合運算過程恰好是
反序的———由表及里逐步設(shè)中間變量,因此,復(fù)合函數(shù)的分層俗稱剝皮法正確而熟練掌握這一方法,將給今后學(xué)習(xí)帶來很多方便另外,研究復(fù)合函數(shù)時,還常常用到換元法(變量替換法)和還原法．
例2 設(shè)f1＝x＋1 x)
－2,求f(．
思路 利用換元x法,x結(jié)合函數(shù)與變量記號無關(guān)的特性．
u
故f(1＋x
例3 設(shè)fx－1 ＝3－x2－12,求f(sinx)．
xx
è
.÷ .
è 1＋1111＋uu() f解令則由題設(shè)得＝＝＝＝u,x,u112 ．－xuu2－)＝x12 ．－xè 1112 3思路若令 不便求出 可把直接還原成 的表達式－＝－－－xu,x,xx．2xxx2111() 32112ff解因為 所以－－＝－－＝－＝－xx,xuu．2èèxxx()22i1if故有 sn＝－sn＝cosxxx．(){),)(},(.∈|∈WIIfff設(shè)函數(shù) 若通過 都在區(qū)間 上有定義＝＝＝＝xxx,xyyyyy(),有唯一確定的 與對應(yīng) 則得到一個以 為自變量 該函數(shù)為因變量的函數(shù) ＝xxx,,yygy(),)()(()1ff－的反函數(shù) 由已知函數(shù)獲稱為函數(shù) 習(xí)慣上寫成 并記為＝＝＝,xxxxgyyg)).f所以函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線＝＝＝xyyy() 2－∞ 0注單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)一定有反函數(shù) 比如 函數(shù) 在內(nèi)的反函數(shù)為＝＝,x,yy()l＞0 －∞ ＋∞ ＞0;函數(shù) 的反函數(shù)為在e－＝＝nxxx,x,,yy．itt三角函數(shù) 在包含銳角的單調(diào)區(qū)間上 即函數(shù)＝sncsnc＝o＝A＝ox,x,x,x,yyyyππ[],i0πso,x,x,,－＝y(tǒng)22 ππ().0π∈∈ttAnco,x,xx,x,,－y＝y(tǒng)＝.22è 的反函數(shù) 依次記為,],[[],i1111∈∈ArcArc
ssnox,,x,xx,＝－＝－yy()),(∞∞∞∞∈∈tt＋＋ArnAocArc
xx,,x,,x＝＝－－yyππ5. 1iπt如由反三角函數(shù)的定義 可得ArcAn＝Arc
os
n－＝,,,÷346 ．.()、()()利用函數(shù)的四則運算 分項法復(fù)合運算 分層法 和反演運算 反演法 這些基本運算研究函數(shù)的某些性質(zhì) 有時可以起到化繁為簡的作用,．,()以函數(shù)奇偶性的四則運算為例 不難證得 在共同有定義的對稱區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的奇偶性,;＋＋＋奇奇奇偶偶偶奇偶非奇非偶＝＝＝,,
.÷ .
]
得反函數(shù)的運算過程稱為反演運算．由于f(－1(x,x是對稱的．
.÷ ÷ .
.÷ .
x
nx∈,y＝csx∈[
有如下的運算規(guī)律:
書單推薦
