01 算術(shù)篇
　　萬物皆數(shù)，若沒有數(shù)，則既不能描述也不能理解任何事物。
　　-畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，希臘數(shù)學(xué)家，公元前580—前500)
　　1.1 從2 + 2 = 4談起
　　一位聰明天真的小朋友問媽媽：“為什么2加2等于4?”媽媽答: “傻孩子，連這么簡(jiǎn)單的算術(shù)都不懂!”于是這位母親伸出左手的兩個(gè)指 頭，又伸出右手的兩個(gè)指頭，左右的兩個(gè)指頭往一起一并，說：“這就 叫2加2，你數(shù)一數(shù)，看是不是4?”孩子勉強(qiáng)點(diǎn)頭，接著又問：“可是4 是什么玩意兒呢?”媽媽欲言而無語。是呀，如果母親說這些指頭的數(shù) 目就叫做4，孩子再追問什么叫做999999999，那可就不好用指頭之類 的東西來比劃著解釋了！
　　事實(shí)上，反思我們小時(shí)候?qū)�加法的學(xué)習(xí)，確實(shí)是非理性的，完全是 老師和家長(zhǎng)向我們的腦子里灌進(jìn)去而記住了的七加八一十五，七加五一 十二之類的指令而已；認(rèn)真思考起來，究竟每個(gè)自然數(shù)是如何定義的， 加法是什么，為什么2 + 2 = 4，4 + 4 = 8，等等，確實(shí)是一個(gè)嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)問題。
　　原始人已有自然數(shù)的初始概念，他們用小石頭來記錄捕捉的獵物的個(gè)數(shù)（或用“結(jié)繩記事”法）。有人捕來一只野兔，他們就在小坑里放 上一顆石子，又有人捕來一只野兔，他們就在小坑中又投放一顆石子， 等等。事實(shí)上，這逐一地向小坑中投石子的過程恰是加法運(yùn)算的真諦， 投一顆石子就叫做加上1，1加1得到的數(shù)量就叫做2，2再加1得到的 數(shù)量就叫做3，等等。再后來，人們發(fā)現(xiàn)了加法的結(jié)合律，即1 + 1 + 1 + 1= (1+1) + (1 + 1)，等等。公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家引人零的符 號(hào)“0”，它是自然數(shù)的“排頭”。到了 19世紀(jì)，皮亞諾(G.Peano， 1858!1932)提出了五條算術(shù)公理，才從理論上徹底解決了什么是自然 數(shù)，為什么2 + 2 = 4等數(shù)學(xué)上的這些基本問題，他的三個(gè)概念與五個(gè)公 理是：
　　0，后繼和自然數(shù)，以及如下五條公理：
　　公理1，0是自然數(shù)。
　　公理2任何自然數(shù)的后繼是自然數(shù)。
　　公理3 0不是任何數(shù)的后繼。
　　公理4不同的自然數(shù)后繼不同。
　　公理5對(duì)于某一性質(zhì)，若0有此性質(zhì)，而且若某自然數(shù)有此性質(zhì) 時(shí)，它的后繼也有此性質(zhì)，則一切自然數(shù)都有此性質(zhì)。
　　具體地說，0的后繼中國人叫做一，美國人叫做one，1的后繼中 國人叫做二，美國人叫做two，等等。第五公理談的是數(shù)學(xué)歸納法。一 個(gè)自然數(shù)生出它的后繼的過程是加法，記成0 + 1 = 1，1 + 1 = 2，2 + 1 = 3，3 + 1 = 4，n+1= (n+1)，等等。
　　由皮先生的公理可以明確無誤地回答什么是自然數(shù)的問題，例如4 是什么？答：4是3的后繼，或曰4是3之“子” 3呢？ 3是2的后繼（2呢？ 2是1的后繼（1呢？ 1是0的后繼（0呢？ 0是祖宗，它不是誰 的后繼，是自然數(shù)的發(fā)源點(diǎn)。
　　2+2 = 4證明如下：
　　因?yàn)? + 1 = 2，所以2+2= (1 + 1) + (1 + 1)，由結(jié)合律得 2+2= (1+1 ) + (1+1 ) = (1+1+1 ) +1 又因 1 + 1 + 1= (1 + 1) +1 = 2 + 1 = 3 所以2+2 = 3 + 1，而3 + 1 = 4，故知2 + 2 = 4是正確的。
　　證畢。
　　有了加法的概念，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法則是幾個(gè)相同的數(shù)連 加的“簡(jiǎn)寫”，除法是乘法的逆運(yùn)算�？梢姡瑥钠な瞎�理出發(fā)已經(jīng)把+ 一X +的概念弄了個(gè)水落石出，不再是那種原始的直觀感覺（例如結(jié)繩 記事）或死記的九九表了。
　　查閱《現(xiàn)代漢語詞典》上加法詞目，詞典稱！ “加法（i@D，數(shù)學(xué)中的一種運(yùn)算方法%兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)合成一個(gè)數(shù)的方法'”這種解 釋實(shí)在科學(xué)’例如它只說“合成一個(gè)數(shù)”，并不說這個(gè)數(shù)（我們稱其為 和）是多少。事實(shí)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)于1 + 1的和未必總是算出2來的。遙 想原始人怎樣形成數(shù)量的概念，最初只是“有”與“無”兩個(gè)概念，他 們尚沒有“多少”的概念和斤斤計(jì)較的壞習(xí)氣。就是現(xiàn)代，有時(shí)也只需 考慮有與無，是與否，而不必細(xì)說有多少，例如我們要寫字，關(guān)心的是 有筆還是沒有筆，至于有筆時(shí)有幾枝，那都是一回事。如果這時(shí)規(guī)定0 代表無（或否），1代表有（或是），則應(yīng)有0 + 0 = 0，0+1 = 1，1 + 0 = 1，1+1=1。這個(gè)1+1=1的算式有點(diǎn)不習(xí)慣，但對(duì)于此處的實(shí)際背 景，如此定義加法是再合適不過了。這種1 + 1不等于2，而等于1的加 法稱為“邏輯和”，1 + 1 = 1，于是（n是自然數(shù)）。
　　再看某種電視機(jī)開關(guān)，你用指頭捅一下，它就為你播放節(jié)目，再捅 一下，它就關(guān)機(jī)了，如果把關(guān)機(jī)狀態(tài)記成0，把播放狀態(tài)記成1，則有 加法法則！
　　0+0=0 ，1+0=1 0+1=1 ，1+1=0
　　這種加法1 + 1≠2，1 + 1≠1，而是1 + 1 = 0。看見沒有，這就是數(shù)字之 妙，這種“數(shù)學(xué)志異”勝似《聊齋志異》！
　　1.2算術(shù)的基因和基理
　　算術(shù)四則運(yùn)算，人人都有體會(huì)，那就是加減法簡(jiǎn)單，乘法也不太 難，有個(gè)“九九歌”，背熟了去乘就是了。除法里“事兒”多，除得盡 還好，除不盡還要考慮約分與余數(shù)，等等，花樣不少。例如：100 + 4可 寫成
　　我們看到，除法實(shí)質(zhì)上是分子分母的約分，等到把分子分母的公共因子 都約光了，剩下的就是既約分?jǐn)?shù)，如果這時(shí)分母為1，就除盡了。分子 上的因子有兩個(gè)2，兩個(gè)5，這兩個(gè)因子不能再變小，當(dāng)然4和25，或 20，也是100的因子，但它們還可以變小，那些不能再變小的因子，即除了1與自身外，別的自然數(shù)除不盡的自然數(shù)，是最簡(jiǎn)單樸素的了，我 們稱這種數(shù)為素?cái)?shù)（樸素的素）或質(zhì)數(shù)（質(zhì)t卜的質(zhì)），1也是這類性質(zhì) 的數(shù)，但大家約定1不稱為素?cái)?shù)，因?yàn)槿绻��?取得素?cái)?shù)資格，例如 100則可以寫成100 = 1X1X1X1X1X X1X2X2X5X5，前方愛寫 幾個(gè)1就寫幾個(gè)1，這就很不妙，一個(gè)自然數(shù)寫成素?cái)?shù)之積的形式時(shí)， 形狀就不唯一了。經(jīng)驗(yàn)表明，如果不讓1參加，一個(gè)自然數(shù)若不是素 數(shù)，例如100，4什么的，可以唯一地寫成若干素?cái)?shù)的積，這一結(jié)論可 以用數(shù)學(xué)歸納法證明，這就是著名的算術(shù)基本定理。
　　大于1的不是素?cái)?shù)的自然數(shù)稱為合數(shù)，即由若干素?cái)?shù)相乘而成 的數(shù)。
　　素?cái)?shù)是合數(shù)的基因，任給大于1的自然數(shù)N，存在唯一的素?cái)?shù)列P1≤P2≤ ≤Pn，使得N唯一地寫成N = P1P2 Pn，此定理稱為算術(shù) 基本定理，算術(shù)中很多證明，尤其是涉及除法時(shí)，主要靠這條結(jié)論去 說理。
　　如果N是合數(shù)，則N=P1a1 P2a2 pmam，m≥1，P1，P2， ，Pm 是互異素?cái)?shù)，a1， ，am是正整數(shù)，其中P1 由于不超過N的合數(shù)的最小素因子不超過槡N，因此欲求不超過 N的一切素?cái)?shù)，只需把1，2， ，N中不超過槡N的素?cái)?shù)的倍數(shù)劃去 (篩除），剩下的就是素?cái)?shù)。
　　30<6，所以只考慮劃去2，3，5的倍數(shù)，剩的是不超過30的那些素 數(shù)：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。
　　顯然，這種方法只能寫出不超過N的自然數(shù)中素?cái)?shù)的清單，N后 面的自然數(shù)中還有不少素?cái)?shù)，例如30之后的31就是。歐幾里得第一個(gè) 證明，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。
　　事實(shí)上，若所有素?cái)?shù)為P1，P2， ，Pk，取N =P1P2 Pk + 1，N>1，設(shè)N本身是素?cái)?shù)，N能除P1P2 Pk + 1 (商為1)，又P1，P2， ，Pk 是所有素?cái)?shù)，則N是某個(gè)Pi，i∈ {1，2， ，k}，于是N 能除盡P1P2 pk，P1P2 pk+ 1被N除余1，與P1P2 pk+1矛盾。若N是合數(shù)，則N有一個(gè)素?cái)?shù)因子P，于是P =Pi，i∈{1，2， ，k}，P能除盡P1P2 pk，不能除盡P1P2 pk+1，即P不能除 盡N，與P是N之因子矛盾，可見全體素?cái)?shù)不是有限個(gè)。
　　素?cái)?shù)既然是算術(shù)中的基因，幾乎所有的算術(shù)命題當(dāng)中，都有素?cái)?shù)參 與其中，有關(guān)素?cái)?shù)的命題集中了算術(shù)學(xué)科的難點(diǎn)。廣為人知的難題很 多，例如下面兩個(gè)就是算術(shù)中難題的代表。
　　(1)關(guān)于孿生素?cái)?shù)的黎曼猜想：孿生素?cái)?shù)有無窮個(gè)
　　所謂孿生素?cái)?shù)，即相差為2的一對(duì)素?cái)?shù)，例如（3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，等等。
　　至今無人能證明或反駁這一猜想。
　　(2)哥德巴赫猜想
　　1742年6月7日，圣彼得堡中學(xué)教師，德國人哥德巴赫（Gold-bach)給瑞士數(shù)學(xué)家歐拉寫信提出如下猜想：
　　每個(gè)大于或等于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和；每個(gè)大于或等于9的 數(shù)都是 個(gè) 數(shù)之 。
　　兩素?cái)?shù)之和當(dāng)然是偶數(shù)，但是事情讓哥德巴赫反過來一提，可就給 數(shù)學(xué)界惹來了天大的麻煩。歐拉給哥德巴赫的回函中說：“我不能證明 它，但是我相信這是一條正確的定理。”歐拉無能為力的問題，別人怕 是很難解決了。在其后的150多年當(dāng)中，多少專業(yè)的和業(yè)余的數(shù)論工作 者，都興趣盎然地沖擊這一看似真實(shí)的命題，無奈人人不得正果。1900 年，數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖人物希爾伯特（Hilbert)在巴黎召開的世界數(shù)學(xué)家 大會(huì)上向20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出23個(gè)待解決的名題，其中哥德巴赫猜想 列為第八問題�？上�20世紀(jì)的百年奮斗仍然辜負(fù)了希爾伯特的期望。
　　奉勸閱歷尚淺、熱情十足的年輕朋友，不可受某些不懂?dāng)?shù)學(xué)的記者 們的誤導(dǎo)，隨便立志以攻克哥德巴赫猜想為己任，而應(yīng)當(dāng)從實(shí)際出發(fā)， 打好堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究的能力，再來考慮攀登哪個(gè)高 峰的問題。
　　這里面對(duì)的是一個(gè)數(shù)學(xué)問題，不能沿用物理學(xué)家訴諸反復(fù)若干次實(shí)驗(yàn)來證實(shí)的辦法，例如有人對(duì)不超過33X106的偶數(shù)逐一驗(yàn)證，哥德巴 赫猜想都是成立的，但那仍然不能解決問題。
　　下面是近百年來關(guān)于哥德巴赫猜想的大事記。
　　1912年，數(shù)學(xué)家朗道提出相近的弱猜想：
　　存在一個(gè)自然數(shù)M，使得每個(gè)不小于2的自然數(shù)皆可表成不超過 M個(gè)素?cái)?shù)之和。
　　此猜想于1930年證明為真；如果M<3就好多了。
　　1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫證明了哥德巴赫猜想的后半句 為真，即大于或等于9的奇數(shù)是三個(gè)素?cái)?shù)之和，這是關(guān)于哥德巴赫問題 的重大突破，引起了不小的轟動(dòng)。但前半句至2000年基本上未被解決。
　　我們約定：命題“大于等于6的偶數(shù)可表示成a個(gè)素?cái)?shù)之積加上p 個(gè)素?cái)?shù)之積”記成（a+戽，則哥德巴赫問題是：證明或反駁（1 + 1)。
　　1920年，朗道證明了（9 + 9)。
　　1924年，拉德馬哈爾證明了（7 + 7)。
　　1932年，依斯特曼證明了（6 + 6)。
　　1938年，布赫塔布證明了（5 + 5)。
　　1938年，華羅庚證明了幾乎所有的偶數(shù)都成立（1 + 1)。
　　1940年，布赫塔布等證明了（4 + 4)。
　　1947年，雷尼證明了（1+?)。
　　1955年，王元證明了（3 + 4)。
　　1957年，小維諾格拉多夫證明了（3 + 3)。
　　1957年，王元證明了（2 + 3)。
　　1962年，潘承洞證明了（1 + 5)。
　　1962年，潘承洞、王元證明了（1 + 4)。
　　1965年，布赫塔布、小維諾格拉多夫、邦比尼證明了（1 + 3)。
　　1966年，陳景潤(rùn)證明了（1 + 2)，于1973年發(fā)表。
　　盡管（1+2)離（1 + 1)只“一步之遙”，但一步登天的事談何容 易！從陳景潤(rùn)搞出（1 + 2)至今已有30多年，一直沒有人在這個(gè)陣地 上前進(jìn)半步，我國的陳景潤(rùn)仍然是此項(xiàng)世界紀(jì)錄的保持者。
　　培養(yǎng)出如陳景潤(rùn)這樣杰出的數(shù)學(xué)家，不但具有廣深扎實(shí)的數(shù)學(xué)素 質(zhì)，而且具有全身心奉獻(xiàn)科學(xué)事業(yè)的品質(zhì)，乃是我們教育工作者的一項(xiàng)