目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 基本概念和定義 1
1.1.2 一些典型偏微分方程 4
1.1.3 偏微分方程與常微分方程一些比較 6
1.1.4 學習偏微分方程的典型困難 7
1.2 三類典型方程的導出 7
1.3 定解條件與定解問題 12
1 3.1 初始條件 12
1.3.2 邊界條件 13
1.3.3 定解問題 15
1.4 定解問題的適定性 18
1 4.1 適定性概念 18
1.4.2 不適定定解問題的例子 19
1.5 線性疊加原理 21
習題1 24
第2章 二階線性偏微分方程的分類與標準型 26
2.1 兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類和標準型 26
2.2 多個自變量的二階線性偏微分方程的分類與標準型 36
習題2 41
第3章 波動方程的初值（柯西）問題與行波法 43
3.1 一維波動方程的初值（柯西）問題 43
3.1.1 達朗貝爾(d’A1embert)公式 43
3.1.2 波的傳播、依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域 45
3.1.3 無解弦的受迫振動和齊次化原理 47
3.1.4 半無界弦的振動問題 50
3.2 三維波動方程的初值問題 53
3 2.1 三維波動方程和球對稱解 54
3.2.2 三維波動方程的泊松(Poisson)公式與球對稱解 54
3.2.3 泊松公式的物理意義 58
3.2.4 非齊次方程的初值問題和推遲勢 59
3.3 二維波動方程的初值問題與降維法 60
3.4 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域和特征錐 64
習題3 66
第4章 分離變量法 70
4.1 正交函數(shù)系和函數(shù)傅里葉級數(shù)展開 70
4.1.1 正交函數(shù)系 70
4.1.2 傅里葉級數(shù) 72
4.2 齊次方程和齊次邊界條件的定解問題 81
4.2.1 波動方程的初邊值問題 83
4.2.2 熱傳導方程的初邊值問題 93
4 2.3 拉普拉斯方程的邊值問題 96
4.3 非齊次方程的定解問題 101
4.4 非齊次邊界條件的處理 104
4.5 施圖姆-劉維爾問題 108
4.5.1 施圖-姆劉維爾方程 109
4.5.2 施圖-姆劉維爾理論 110
4.6 雜例 113
習題4 119
第5章 傅里葉變換方法 126
5.1 傅里葉積分和傅里葉變換 126
5.2 傅里葉變換的性質 130
5.3 傅里葉變換的應用 135
刁題5 143
第6章 拉普拉斯變換方法 145
6.1 拉普拉斯變換的定義與性質 145
6.2 拉普拉斯變換的應用舉例 158
習題6 162
第7章 格林函數(shù)方法和δ函數(shù)方法 165
7.1 格林公式及應用 165
7.1.1 格林公式 165
7 1.2 格林公式的應用 166
7.2 格林函數(shù)及性質 171
7.3 一些特殊區(qū)域上的格林函數(shù)和狄利克雷問題的解 174
7.4 δ函數(shù)及性質、拉普拉斯方程的基本解 181
7.4.1 δ函數(shù)及性質 181
7.4.2 基本解 188
7.5 熱傳導方程和波動方程的基本解和格林函數(shù)方法 196
7.5.1 熱傳導方程的基本解和格林函數(shù)方法 196
7.5.2 波動方程的基本解和格林函數(shù)方法 200
習題7 201
第8章 極值原理和應用 205
8.1 熱傳導方程的極值原理和應用 205
8.2 拉普拉斯方程的極值原理和應用 213
習題8 217
第9章 能量積分方法和應用 219
9.1 熱傳導方程和調和方程中的能量方法與應用 219
9.2 波動方程的能量方法和應用 222
9.3 初值問題解的唯一性和穩(wěn)定性 226
習題9 231
第10章 貝塞爾函數(shù)和勒讓德函數(shù)及應用 233
10.1 貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù) 233
10.2 貝塞爾函數(shù)的性質 237
10.2.1 微分關系和遞推公式 238
10.2.2 半奇數(shù)階函數(shù) 241
10.2.3 貝塞爾函數(shù)的零點 242
10.2.4 貝塞爾函數(shù)的正交性初模值 245
10.2.5 函數(shù)的傅里葉-貝塞爾級數(shù) 247
10.3 貝塞爾函數(shù)應用舉例 248
10.4 勒讓德方程與勒讓德函數(shù) 255
10.4.1 勒讓德方程的通解 255
10 4.2 勒讓德多項式的遞推公式和性質 260
10.4.3 勒讓德多項式的正交性與模值 261
10.4.4 函數(shù)展開成勒讓德多項式的級數(shù) 263
10.5 勒讓德函數(shù)應用舉例 267
習題10 273
第11章 階擬線性偏微分方程 276
11.1 基本概念與初值問題的提法 276
11.2 一階線性偏微分方程的解法及正規(guī)形式的初值問題 284
11.2.1 階線性齊次偏微分方程的通解 284
11.2.2 一階線性齊次偏微分方程的初值問題 286
11.3 一階擬線性偏微分方程解法及初值問題 289
習題11 294
部分習題參考答案 296
參考文獻 307
附錄1 傅里葉變換表 308
附錄2 拉普拉斯變換表 309