第1章緒論
　　本章介紹本書涉及的部分概念與知識(shí)。主要內(nèi)容包括多元Fourier變換、一元多分辨分析與正交小波簡介、二元多分辨分析與張量積小波簡介。
　　張量積小波離不開一元Fourier變換。修波也要用到Fourier變換，但與張量積小波不同的是修波用到多元Fourier變換，原因在于張量積小波是通過張量積得到的，因而可分離變量，只涉及一元Fourier變換，修波變量一般不可分離，只能用到多元Fourier變換。
　　修波的引進(jìn)旨在克服多元張量積小波的不足，所以，需要對(duì)張量積小波有基本的了解，而張量積小波又是從一元正交小波直接導(dǎo)出的，因此需要簡單介紹一元正交小波的內(nèi)容。
　　1。1Rn與Rn*及其中一些集合的可逆線性變換
　　本節(jié)中，首先介紹Rn與Rn*及其上的運(yùn)算、范數(shù)等，其次介紹Rn中一些集合的可逆線性變換，闡述這些集合經(jīng)可逆線性變換以后的性態(tài)，以為R"的分割及多元積分的變換做準(zhǔn)備。
　　1。1。1Rn與Rn*
　　設(shè)R=（-oo，oo）為實(shí)數(shù)集，R+=（0，oo）為正數(shù)集，Z={ ，—2，—1，0，1，2， 。}為整數(shù)集，Z+={1，2， 。}為正整數(shù)集。在分析數(shù)學(xué)和幾何中，對(duì)neZ+，R"為坐標(biāo)或分量為實(shí)數(shù)的n兀點(diǎn)或n維向量的集合，即。
　　在R？上定義“按坐標(biāo)或分量加”的加法：
　　按“按坐標(biāo)或分量乘”的數(shù)乘：
　　則R？成為一個(gè)線性空間。在此基礎(chǔ)上，再定義內(nèi)積：
　　則R"成為一個(gè)內(nèi)積空間。注意，由于內(nèi)積是一種“積”，遵循普通數(shù)字乘法的一些運(yùn)算規(guī)則，所以x，y的內(nèi)積有時(shí)也用a；1表示。本書中，根據(jù)需要選取內(nèi)積的表示方式。
　　若對(duì)x，yeRn，xy=（x，y）=0，則稱a：，y正交，Rn中互相正交的n個(gè)元素 ？，e？構(gòu)成Rn的一組正交基：Rn中的任一元素都可以表為這組基中元素的線性組合。
　　當(dāng)R"為一個(gè)線性空間時(shí)，可以定義多種范數(shù)，使其成為一個(gè)賦范線性空間，Rn上定義的常見范數(shù)如下。
　　無窮范數(shù)：
　　p范數(shù)：
　　特別地，當(dāng)P=2時(shí)，||x||2即x的2范數(shù)稱為其歐幾里得范數(shù)或歐氏范數(shù)。
　　有了范數(shù)，就可以定義距離，使R？成為一個(gè)距離空間。例如，\fx，y？R"，定義兩者的距離為
　　由2范數(shù)給出的R"上的幾何稱為歐幾里得幾何或歐氏幾何，此時(shí)的R"稱為歐幾里得空間或歐氏空間，而范數(shù)和內(nèi)積的關(guān)系為
　　本書中，若無特別說明，R"上的范數(shù)皆為這種范數(shù)，||x||2簡寫為hll。
　　若ei，e2， ，en為R"的一組正交基且此基中每個(gè)元素的范數(shù)為1，則稱其為R？的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的任一元的實(shí)數(shù)倍構(gòu)成的集合為R"的一個(gè)一維子空間，稱為一個(gè)坐標(biāo)軸，這n個(gè)坐標(biāo)軸構(gòu)成Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系。
　　許多時(shí)候，一個(gè)n兀點(diǎn)？？？，xn）GR"或n維行向量（a：i，X2，？？？，xn），以及1行n列矩陣（a：i；r2？？？Xn）（或記為）被認(rèn)為是同一事物。因?yàn)橛纱鷶?shù)學(xué)知道，當(dāng)將R"看成元素為實(shí)數(shù)的1行n列矩陣集合時(shí)，其上定義的加法、數(shù)乘和范數(shù)與上面介紹的對(duì)應(yīng)事物完全相同，只是按照矩陣的寫法，元素間不寫逗號(hào)，但有時(shí)為了避免諸如（123）的寫法容易產(chǎn)生誤解，元素間也加了逗號(hào)，如此，除了用方括號(hào)表示矩陣的情形，Rn中元是n元點(diǎn)、n維行向量還是1行n列矩陣，從形式到內(nèi)容，都可以不加區(qū)別了。
　　在將Rn看成元素為實(shí)數(shù)的1行n列矩陣集合時(shí)，其元素間的內(nèi)積除了像上面一樣表示，還可以用矩陣的乘法表示：
　　其中T表不轉(zhuǎn)置：
　　但在線性代數(shù)中，n維向量皆指列向量，即形如
　　的向量。由于在許多場合，如上面向量和形如；r=（；Ti，；T2， ，xn）的向量同時(shí)出現(xiàn)，此時(shí)，若用表示分量為實(shí)數(shù)的向量集合，就容易產(chǎn)生混亂。為此，一些資料將分量為實(shí)數(shù)的n維列向量集合記為R*，本書擬釆用這樣的記法，即
　　與Rn—樣，在上可以定義加法、數(shù)乘、內(nèi)積和范數(shù)等，如
　　可以看出，Rn與Rn*本質(zhì)上沒有區(qū)別，只不過前者元素的坐標(biāo)或分量橫排而后者元素豎排，僅需注意在兩者元素同時(shí)出現(xiàn)的場合，元素間的運(yùn)算按自然規(guī)則進(jìn)行。例如，設(shè)
　　為簡單起見，許多文獻(xiàn)對(duì)R"與R"*不加區(qū)別，而只在橫、列向量同時(shí)出現(xiàn)的場合，即時(shí)予以說明。以下介紹的一些內(nèi)容僅對(duì)R"進(jìn)行。
　　本書中，R"上的拓?fù)錇闅W氏拓?fù)�，可由圓形鄰域生成，其中
　　1。1。2Rn上的可逆線性變換
　　首先指出，由前面的介紹知道，Rn與Rra*本質(zhì)上相同，只是兩者元素的排列方式不同，所以，對(duì)R"與Rn*中元素的線性變換，本質(zhì)上也是相同的。只需注意在表示有關(guān)線性變換時(shí)，不因元素的排列問題導(dǎo)致混亂即可。
　　T為Rn上的可逆線性變換，則T為Rn到R”的線性映射。Rn最好的
　　一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為
　　由于仍為R"中元，故必可由上述基線性表出，即存在實(shí)數(shù)使
　　其中（ei，e2， ，en）僅是形式地將該組基寫為向量，可以看成分量自身又是向量的n維向量，這樣做的好處在于：這種向量可以像一般R"中元一樣進(jìn)行各種運(yùn)算。如此，
　　當(dāng)線性變換t為可逆線性變換時(shí)，對(duì)應(yīng)的矩陣r為可逆的矩陣。反之，由任一可逆矩陣T通過式（1。3）都可給出一個(gè)可逆線性變換，因此，在對(duì)可逆線性變換進(jìn)行處理時(shí)，往往直接處理其對(duì)應(yīng)的矩陣。
　　現(xiàn)在設(shè)y是R"中元x經(jīng)可逆線性變換T變換后的結(jié)果，，由Rn上的運(yùn)算規(guī)則，有可逆線性變換的復(fù)合仍為可逆線性變換。設(shè)為可逆線性變換，對(duì)應(yīng)的可逆矩陣仍分別記為，則對(duì)任意
　　可見，可逆線性變換的復(fù)合得到的可逆線性變換，對(duì)應(yīng)的矩陣為原變換對(duì)應(yīng)矩陣的反序乘積，這一現(xiàn)象也常常導(dǎo)致麻煩：數(shù)學(xué)中常將復(fù)合運(yùn)算寫為運(yùn)算的乘積，即將記為但由上式知，對(duì)應(yīng)的矩陣卻為，這為利用矩陣處理變換帶來一點(diǎn)麻煩。
　　下面討論：在什么條件下，R"的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基ei，e2， ，en經(jīng)可逆線性T變換后，得到的也為R"的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基？為此，必須要求
　　其中注意ei，e2， ，e為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，故設(shè)r上倒數(shù)第二個(gè)等式反映的關(guān)系為其中j為n階單位矩陣。由線性代數(shù)知道，這是r為正交矩陣的充要條件，正交矩陣的名稱也由此得到。
　　為了以后的需要，下面討論R-中的分割經(jīng)可逆線性變換后的結(jié)果。
　　先給出一個(gè)定義。
　　定義i。i滿足方程的構(gòu)成的集合稱為R？的一個(gè)超平面，其中不全為0。有時(shí)為敘述簡單起見直接稱
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