《高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）/普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材》：
　　第6章 向量代數(shù)與空間解析幾何
　　解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題.要把代數(shù)運(yùn)算引人到幾何中來(lái)，首先就要把幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化、數(shù)量化.在平面解析幾何中，通過(guò)坐標(biāo)法把平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，把平面上的圖形與方程對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)了用代數(shù)的方法來(lái)研究平面幾何的目的.空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來(lái)的.空間解析幾何對(duì)學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分和力學(xué)等課程有很大幫助，并且它本身的內(nèi)容對(duì)于解決一些實(shí)際問(wèn)題也是很有用的。
　　本章先引人向量的概念，根據(jù)線；性運(yùn)算建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用坐標(biāo)討論向量的運(yùn)算，并通過(guò)代數(shù)的方法研究空間中的一些常見的曲線和曲面。
　　6.1向量及其線性運(yùn)算
　　6.1.1向量概念
　　現(xiàn)實(shí)生活中，只有大小的量稱為數(shù)量；像位移、速度、加速度、力、力矩等這類既有大小，又有方向的量稱為向量（或矢量）.
　　我們通常用有向線段來(lái)表示向量，其長(zhǎng)度代表向量的大小，其方向表示向量的方向.以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量，記作^6（圖6.1），
　　有時(shí)也用一個(gè)黑體字母表示，例如，還可用6，6，6表示.向量的大小稱為向量的模，向量@與a的模分別記作||與|a|.
　　模等于1的向量稱為單位向量，與向量a方向相同的單位向量稱為向量a的單位向量，記作e。或6a.
　　模等于0的向量稱為零向量，記作0或$零向量是起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量，它的方向可以看作是任意的.
　　與向量a的模相同而方向相反的向量稱為漢的負(fù)向量，記作顯然.我們把向量看作是有向線段，若向量a與，所在的直線相互平行，就稱向量a與b相互平行，記作a/，類似地，我們可以說(shuō)一個(gè)向量與一條直線或一個(gè)平面平行等.
　　若兩個(gè)向量的模相等且方向相同，就稱向量a與b是相等的，記作a=b.
　　量是等與它的起點(diǎn)只它的和方?jīng)Q
　　在數(shù)學(xué)上，我們研究的正是這種與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，而只由模和方向決定的向量，這種向量稱為自由向量.自由向量可以任意平行移動(dòng)，移動(dòng)后的向量仍代表原來(lái)的向量.在自由向量的意義下，相等的向量都可以看作是同一個(gè)自由向量.由于自由向量起點(diǎn)可任取，在討論中我們可以按照需要選取某一點(diǎn)作為所研究的這些向量的公共起點(diǎn)，這種做法稱為把一些向量歸結(jié)到了共同的起點(diǎn)。
　　如果把彼此平行的一組向量歸結(jié)到共同的起點(diǎn)，這組向量一定在同一直線上，因此，把平行于同一直線的一組向量稱為共線向量.零向量與任何共線的向量組共線.
　　如果把平行于同一平面的一組向量歸結(jié)到共同的起點(diǎn)，這組向量一定在同一個(gè)平面上，因此，把平行于同一平面的一組向量稱為共面向量.零向量與任何共面的向量組共面。
　　A設(shè)有兩個(gè)非零向量a與fc，任取空間一點(diǎn)0，作OA=a，OB=ft，
　　記=規(guī)定0<1<1我們把1稱為向量a與b的夾角（圖6.2），記作<？，>或<3>，也可以記作
　　如果向量a與中有一個(gè)是零向量，規(guī)定它們的夾角可以在0到1之間任意取值.
　　圖62顯然，若兩向量a與平行，則=0或1而若=
　　1，就稱向量a與fc垂直，記作a丄b.
　　由于規(guī)定了零向量與任一向量間的夾角可以在0到1之間任意取值，因此，可以認(rèn)為零
　　6.1.2向量的線性運(yùn)算
　　向量的加法、減法以及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.
　　1.向量的加減法
　　定義6.1.1設(shè)有兩個(gè)向量a與fc，任取空間一點(diǎn)0為起點(diǎn)，作0A=a，AB=fc，則向量0B=c稱為兩向量a與fc的和，記作c=a+fc.
　　求兩已知向量的和的運(yùn)算稱為向量加法.
　　根據(jù)向量加法的定義，有=$，這種求兩個(gè)向量和的方法，稱為三角形法則（圖6.3）.
　　如果把兩個(gè)向量a與M3結(jié)到共同的起點(diǎn)0，作0A=a，（$=fc，并以0A與為鄰邊作O0ACB，那么對(duì)角線向量（6=0^+C^，這種求兩個(gè)向量和的方法稱為平行四邊形法則（圖6.4）.實(shí)際上，平行四邊形法則可歸結(jié)為三角形法則，只需進(jìn)行向量的平移即可。
　　特別地，有
　　向量的加法滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：
　�。�1）交換律：a+fc=fc+a；
　�。�2）結(jié)合律：（a+fc）十c=a十（（c）.
　　上述運(yùn)算規(guī)律通過(guò)三角形法則容易證明，留給讀者自行證明.
　　由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，因此任意有限個(gè)向量ai，a'， ，an的和，就可以i己作向量加法的三角y法則可以p廣得到任意有^個(gè)向量相加的法則：任取空間一點(diǎn)o為起點(diǎn)，首尾相連，作可得一條折線OA：A2 A？，則向量
　　OAn=a就是這n個(gè)向量a：，a2， ，1的和，即OAnzOAi+AA'H（A*#An.這種求和
　　的方法稱為多邊形法則.
　　前面已經(jīng)定義了負(fù)向量，向量的減法可以通過(guò)負(fù)向量來(lái)規(guī)定：
　　兩個(gè)向量a與b的差a—6=a+（—6）（圖6.5）.
　　根據(jù)向量減法的規(guī)定，可以得到向量等式的移項(xiàng)法則：0++.
　　向量加法還滿足下列不等式：
　　對(duì)于任何兩個(gè)向量a與6，根據(jù)向量加法的三角形法則及三角形兩邊之和大于第三邊，有a+b&a+b（當(dāng)a與6同向時(shí)等號(hào)成立）a—b\&a+b（當(dāng)a與6反向時(shí)等號(hào)成立）.
　　上述不等式還可以推廣到任意有限個(gè)向量的情況（讀者可根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法自行證明）
　　例6.1.1如圖6.6所示，在平行六面體ABCD—AiB1C1Dj中，設(shè)AB=a，AD=b，11：=（；，試用a，b，c來(lái)表
　　示向量16和1#C.
　　2.數(shù)與向量的乘法
　　在物理學(xué)中，我們非常熟悉的牛頓第二定律的數(shù)學(xué)形式/=_，這個(gè)表達(dá)式用到了數(shù)與向量之間的乘法關(guān)系，這種關(guān)系在物理學(xué)中經(jīng)常會(huì)被用到，再比如s=vt.
　　定義6.1.2實(shí)數(shù)A與向量a的乘積仍是一個(gè)向量，記作a，它的模為|a|=6||a|，
　　當(dāng)A>0時(shí)，其方向與漢相同，當(dāng)A<0時(shí)，其方向與a相反，這種運(yùn)算稱為數(shù)與向量的乘法，簡(jiǎn)稱數(shù)乘.
　　根據(jù)上述定義，顯然，當(dāng)6=0或a=0時(shí)，|Aa|=|A||a|=0，此時(shí)6a=0，它的方向可以是任意的；當(dāng)若已知向量a及其單位向量ea，根據(jù)數(shù)乘的定義，等式a=|ak顯然成立，所以當(dāng)時(shí)，有
　　數(shù)乘運(yùn)算滿足下面的運(yùn)算律
　�。�1）結(jié)合律：
　　（2）分配律：
　　其中，a，b為向量，A#為任意實(shí)數(shù).
　　由于向量Aa與a平行，因此我們常用向量與數(shù)的乘積來(lái)說(shuō)明兩個(gè)向量的平行關(guān)系.
　　定理6.1.1設(shè)有非零向量a，向量，平行于a的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)A，使b>=Aa.
　　證明一方面，若存在唯一的實(shí)數(shù)則根據(jù)數(shù)與向量的乘法定義，當(dāng)A>0時(shí)，b與a同向；當(dāng)A<0時(shí)，b與a反向，因此，b平行于a.
　　另一方面，若b平行于a則b與a或者同向，或者反向.DA與a同向時(shí)，取，=jb|；當(dāng)b與a反向時(shí)，取與Aa方向相同，且，因此b=Aa.
　　再證A的唯一性.設(shè)有b=A#a和b=A2a，兩.式相減有0=（Ai—A2）a，即6一6||a|=0，由于a為非零向量，所以Ai-2=0，即Ai=A.證畢.
　　例6.1.2利用向量證明連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的
　　一半。
　　由此例可見，我們可以利用向量運(yùn)算來(lái)證明一些幾何命題。
　　6.1.3空間直角坐標(biāo)系
　　在空間中取定一點(diǎn)o和三個(gè)兩兩相互垂直的有序單位向量i66，就確定了三條都以？為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸，依次記為x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.它們構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，稱為C/yz坐標(biāo)系或[0；c]坐標(biāo)系，點(diǎn)0稱為坐標(biāo)原點(diǎn)。
　　三個(gè)坐標(biāo)軸的正向通常符合右手螺旋規(guī)貝IJ，如圖6.8貝申出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向i的方向軸正方向），然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)90°，指向j的方向（y軸正方向），此日寸大拇指指向k的方向（軸正方向）。
　　每?jī)蓷l坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)面’按照坐標(biāo)面所包含的坐標(biāo)軸’分別稱為z0：y面、：yOz面6Or面.三張坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域稱為一個(gè)卦限，這八個(gè)區(qū)域分別稱為八個(gè)卦限，如圖6.9所示。
　　任意取定向量r，由于我們所的向量均指自由向量，因此可以將r的起點(diǎn)取作原點(diǎn)0，記0=r，M為r的終點(diǎn).以0M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體（圖6.10），
　　這個(gè)式子稱為向量r的坐標(biāo)分解式，k分別稱為向量r沿x軸，y軸，z軸方向的分向量.
　　通過(guò)上述討論可以看出，取定向量r，就確定了點(diǎn)M及一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z）；反過(guò)來(lái)，給定一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z），也可以確定一個(gè)向量r及一個(gè)點(diǎn)M.因此，向量r，點(diǎn)M，有序數(shù)組（x，y，z）三者之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.
　　定義6.1.3中的有序數(shù)組（x，y，z）稱為向量r關(guān)于坐標(biāo)系[0；i，j，k]的坐標(biāo)，記作r=（x，y，z）.
　　定義6.1.4對(duì)于坐標(biāo)系[0；i，j]中的任意一點(diǎn)M，向量0M稱為點(diǎn)M的向徑.向徑0M關(guān)于[0，j]的坐標(biāo)（r，y，z）稱為點(diǎn)M關(guān)于[0；i，j，k]的坐標(biāo)，記作M（x，y，z）.
　　坐標(biāo)軸上、坐標(biāo)面上及各個(gè)卦限當(dāng)中的點(diǎn)的坐標(biāo)各有特點(diǎn)，例如x軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)形式為（x，0，0）；：0y面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)形式為（x，y，0）第I卦限中任一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)均為正等，這里不一一列舉，請(qǐng)讀者自己試著分析總結(jié)。
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