第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何
　　空間解析幾何①是多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，在解決某些實(shí)際問題時也會直接用到它.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，空間解析幾何是平面解析幾何的推廣.向量代數(shù)是研究空間解析幾何的有力工具，利用它能夠把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化?數(shù)量化.
　　本章先介紹向量的概念和運(yùn)算，然后討論空間平面和直線方程的建立，最后介紹常見的空間曲面.
　　8.1 空間直角坐標(biāo)系
　　8.1.1 空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)
　　 如果在平面上建立直角坐標(biāo)系xOy，則平面上任一點(diǎn)的位置就可以用一個有序數(shù)組(x，y)來確定.因此為了確定空間中一點(diǎn)的位置，首先需要建立空間直角坐標(biāo)系.
　　在空間中取定一點(diǎn)O，以O(shè) 為公共原點(diǎn)作三條相互垂直的數(shù)軸Ox，Oy，Oz，這就構(gòu)成了一個空間直角坐標(biāo)系，記作Oxyz.點(diǎn)O 稱為坐標(biāo)原點(diǎn);數(shù)軸Ox，Oy，Oz 分別簡稱為x 軸(橫軸)?y 軸(縱軸)?z 軸(豎軸)，統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.坐標(biāo)軸的正向通常構(gòu)成右手系，即以右手握住z 軸，當(dāng)右手的四個手指從x 軸的正向以π2角度轉(zhuǎn)向y 軸的正向時，拇指的指向就是z 軸的正向(圖8-1).
　　任意兩條坐標(biāo)軸可以確定一個平面，其中x 軸與y 軸確定的平面記為xOy 面，y 軸與z軸確定的平面記為yOz 面，z 軸和x 軸確定的平面記為zOx 面，這三個平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面.
　　三個坐標(biāo)面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限.含有三個坐標(biāo)軸正向的卦限稱為第Ⅰ卦限，在xOy 平面上方的4個卦限依逆時針順序分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限.在xOy平面下方，與Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限相對的分別為Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(圖8-2).
　　取定了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建立起空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.
　　設(shè)M 為空間中的一點(diǎn)，過點(diǎn)M 作垂直于3個坐標(biāo)軸的平面，它們與x 軸?y 軸?z 軸的交點(diǎn)依次為P ，Q，R，這三點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z(圖8-3)，于是空間的一點(diǎn)M就唯一地確定了一個有序數(shù)組(x，y，z).
　　反之，給定一個有序數(shù)組(x，y，z)，可以在x 軸?y 軸?z 軸上取與x，y，z 相應(yīng)的點(diǎn)P ，Q，R，然后過點(diǎn)P，Q，R 分別作平面垂直于x 軸?y 軸?z 軸，這三個垂直平面的交點(diǎn)為M ，從而由有序數(shù)組(x，y，z)唯一地確定了空間的點(diǎn)M .因此空間的所有點(diǎn)與全體有序數(shù)組(x，y，z)之間就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，有序數(shù)組(x，y，z)稱為點(diǎn)M 的坐標(biāo)，其中x 稱為點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)，y 稱為點(diǎn)M 的縱坐標(biāo)，z 稱為點(diǎn)M 的豎坐標(biāo)，記為M(x，y，z).
　　8.1.2 空間兩點(diǎn)間的距離
　　設(shè)M1(x1，y1，z1)與M2(x2，y2，z2)為空間兩點(diǎn)，過M1 和M2 分別作垂直于三條坐標(biāo)軸的平面，這六個平面圍成的長方體以M1M2 為對角線(圖8-4).
　　設(shè)M1 與M2 的距離為d，根據(jù)勾股定理，有d2= M1M2 2= M1N 2+ NM2 2= M1P 2+ M1Q 2+ M1R 2.
　　圖8-4
　　由于M1P = P1P2 = x2-x1 ，
　　M1Q = Q1Q2 = y2-y1 ，
　　M1R = R1R2 = z2-z1 ，
　　所以
　　d= M1M2 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 .
　　這就是空間中兩點(diǎn)間的距離公式.
　　特別地，點(diǎn)M(x，y，z)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0，0)的距離為
　　d= x2+y2+z2 .
　　例1 在z 軸上求與兩點(diǎn)A (-4，1，7)和B(3，5，-2)等距離的點(diǎn).
　　解 因?yàn)樗�求的點(diǎn)在z 軸上，所以設(shè)該點(diǎn)為M(0，0，z)，有MA = MB ，
　　即(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2 = (0-3)2+(0-5)2+(z+2)2 .
　　解得z=149，所求的點(diǎn)為0，0，149
　　習(xí) 題 8-1
　　1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個卦限?
　　A(-1，2，3)， B(2，-2，1)， C(3，-1，-4)， D(-3，-1，1)， E(-2，1，-3)， F(-1，-2，-3).
　　2.在坐標(biāo)面上和在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征? 指出下列各點(diǎn)的位置:
　　A(2，0，1)， B(0，-1，1)， C(1，-4，0)， D(-2，0，0)， E(0，2，0)， F(0，0，-1).
　　3.求點(diǎn)M0(x0，y0，z0)關(guān)于各坐標(biāo)軸?坐標(biāo)面和坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).
　　4.求兩點(diǎn)A(2，-1，3)，B(3，1，-1)之間的距離.
　　5.求點(diǎn)A(4，-3，5)到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸的距離.
　　6.在yOz 面上，求與三個已知點(diǎn)A(3，1，2)，B(4，-2，-2)和C(0，5，1)等距離的點(diǎn).
　　8.2 向量代數(shù)
　　8.2.1 向量的概念
　　 在研究力學(xué)?物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時所遇到的量，一般可分為兩類.一類是只有大小的量，稱為數(shù)量，如時間?長度?質(zhì)量等;另一類是不僅有大小而且還有方向的量，稱為向量，如力?位移?速度等.
　　定義8.1 既有大小又有方向的量稱為向量.
　　我們用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的長度，有向線段的方向表示向量的方向.以A 為起點(diǎn)?B 為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作AB→(圖8-5).有時也用a，b，r或黑體字母a，b，r 來表示向量.
　　定義8.2 如果兩個向量的大小相等?方向相同，就稱這兩個向量是相等的.
　　從定義8.2可知，一個向量平移后仍與原來的向量相等，所以向量的起點(diǎn)可以在空間的任意一點(diǎn).與起點(diǎn)無關(guān)的向量稱為自由向量.我們研究的向量均為自由向量.
　　定義8.3 向量的大小稱為向量的模，向量AB→，a 的模分別記作|AB→|，|a|.
　　模等于1的向量稱為單位向量，模等于零的向量稱為零向量，記作0.零向量沒有確定的方向，也可以認(rèn)為它的方向是任意的.
　　定義8.4 與向量a 的大小相等而方向相反的向量稱為a 的負(fù)向量，記作-a.
　　 顯然，|-a|=|a|，-(-a)=a，-AB→=BA→.
　　定義8.5 設(shè)a，b 為兩個非零向量，任取空間一點(diǎn)O，作OA→=a，OB→=b，則∠AOB(0≤∠AOB≤π)稱為向量a 與b 的夾角(圖8-6)，記作(a，b) ∧ .
　　如果(a，b) ∧ =0或π，則稱向量a 與b 平行，記作a∥b.如果(a，b) ∧ =π2，則稱向量a 與b垂直，記作a⊥b.
　　8.2.2 向量的加減法
　　根據(jù)力學(xué)中力的合成法則，我們給出兩個向量加法運(yùn)算的定義.
　　定義8.6 設(shè)a，b 為兩個非零向量，平移a，b 使它們的起點(diǎn)重合于點(diǎn)A ，并以a，b 為邊作平行四邊形，則其對角線向量AC→(圖8-7)稱為向量a，b 的和，記作a+b.
　　這樣用平行四邊形的對角線來定義兩個向量和的方法稱為平行四邊形法則.從圖8-7
　　可以看出，a+b 也可以按下列方法得出:以向量a 的終點(diǎn)作為向量b 的起點(diǎn)，由a 的起點(diǎn)到b 的終點(diǎn)的向量就是a+b，這個方法稱為三角形法則(圖8-8).
　　圖8-7
　　圖8-8
　　顯然a+0=a， a+(-a)=0.
　　向量的加法符合下列運(yùn)算律:
　　(1)交換律 a+b=b+a;
　　(2)結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c).
　　向量的減法可以看成向量加法的逆運(yùn)算.
　　 圖8-9
　　定義8.7 若b+c=a，則稱c為a 與b 的差，記作c=a-b(圖8-9).
　　由圖8-9可以看出，把向量a 與b 的起點(diǎn)放在一起，則由b 的終點(diǎn)到a 的終點(diǎn)的向量即為a 與b 的差向量a-b.
　　利用負(fù)向量，可以把向量的減法運(yùn)算變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算.
　　如果c=a-b，即b+c=a，在等式兩邊各加b 的負(fù)向量-b，利用b+(-b)=0，得c=a+(-b)，即a-b=a+(-b).
　　這表明向量a 與b 的差等于a 與-b 的和.
　　由三角形兩邊之和大于第三邊，有
　　|a+b|≤|a|+|b| 及 |a-b|≤|a|+|b|，
　　其中等號在a 與b 同向或反向時成立.
　　8.2.3 向量與數(shù)的乘法
　　定義8.8 設(shè)λ 是一個實(shí)數(shù)，向量a 與λ 的乘積(簡稱數(shù)乘)是一個向量，記作λa，它的模為|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa 與a 同向;當(dāng)λ<0時，λa 與a 反向.
　　特別地，0a=0， 1a=a， (-1)a=-a.
　　向量與數(shù)的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律(λ，μ 為實(shí)數(shù)):
　　(1)結(jié)合律 λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a;
　　(2)分配律 (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb.
　　向量的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.
　　設(shè)a0 表示與非零向量a 同方向的單位向量，則不難得到a=|a|a0.
　　由此也有a0= aa，即一個非零向量a 除以它的模，其結(jié)果是一個與a 同方向的單位向量，這個過程稱為將向量a 單位化.
　　顯然，向量λa 與a 平行，因此可以用向量的數(shù)乘來描述向量平行的關(guān)系.
　　定理8.1 若向量a≠0，則向量b∥a 的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.
　　圖8-10
　　例1 在平行四邊形ABCD 中，M 是平行四邊形對角線的交
　　點(diǎn)(圖8-10)，設(shè)AB→=a，AD→=b，試用a 和b 表示向量MA→，MB→，MC→和MD→.
　　解 由于平行四邊形的對角線互相平分，所以
　　a+b=2AM→，2MA→=-(a+b)，
　　于是MA→=-12(a+b)，MC→=-MA→=12(a+b).
　　又因?yàn)閍-b=2MB→，所以MB→=12
　　(a-b)， MD→=-MB→=-12(a-b).
　　8.2.4 向量的坐標(biāo)表示
　　用幾何方法討論向量及其運(yùn)算比較直觀，但是計(jì)算不方便，而且有些問題僅靠幾何方法是很難解決的.我們現(xiàn)在引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示法，用代數(shù)方法討論向量及其運(yùn)算.
　　在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中，以i，j，k 分別表示沿x 軸?y 軸?z 軸正向的單位向量，這三個單位向量稱為基本單位向量.
　　圖8-11
　　設(shè)r 是一個給定的向量，若將r 的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)O 處，此
　　時r 的終點(diǎn)在點(diǎn)M 處，即r=OM→.設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為(x，y，z)，過M
　　作三個平面分別垂直于三條坐標(biāo)軸，依次交坐標(biāo)軸與P，Q，R 三點(diǎn)
　　(圖8-11)，不難看出
　　OP→=xi， OQ→=yj， OR→=zk，
　　根據(jù)向量的加法定義，有
　　OM→=OP→+PN→+NM→=OP→+OQ→+OR→=xi+yj+zk，
　　所以
　　r=OM→=xi+yj+zk.
　　上式稱為向量r 的坐標(biāo)分解式，xi，yj，zk 稱為向量r 沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.當(dāng)向量
　　r 給定時，分解式中的x，y，z 是唯一確定的，稱x，y，z 為向量r 的坐標(biāo)，記為r=(x，y，z).
　　向量r=OM→稱為點(diǎn)M 的向徑.上述定義表明，一個點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo).
　　例2 設(shè)向量a=M1M2 →，點(diǎn)M1 和M2 的坐標(biāo)分別為M1=(x1，y1，z1)和M2=(x2，y2，z2)，求向量a 的坐標(biāo).
　　圖8-12
　　解 由于M1M2 →=OM2 →-OM1 →(圖8-12)，而
　　r1=OM1 →=(x1，y1，z1)=x1i+y1j+z1k，
　　r2=OM2 →=(x2，y2，z2)=x2i+y2j+z2k，
　　所以a =M1M2 →=OM2 →-OM1 →
　　=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)
　　=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k，
　　即a=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).
　　由此可知，對于起點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量，其坐標(biāo)恰好等于向量終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)之差.
　　8.2.5 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算
　　利用向量的坐標(biāo)表達(dá)式，可得向量的加法?減法以及數(shù)乘的運(yùn)算如下.
　　設(shè)a=(ax，ay，az)， b=(bx，by，bz)，
　　即a=axi+ayj+azk， b=bxi+byj+bzk.
　　利用向量加法的交換律與結(jié)合律以及數(shù)乘向量的結(jié)合律與分配律，有
　　a±b =(axi+ayj+azk)±(bxi+byj+bzk)
　　=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k，
　　λa=λ(axi+ayj+azk) (λ 為實(shí)數(shù))
　　=(λax)i+(λay)j+(λaz)k，